第1章 §1.3 第1课时 两条直线平行（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“两条直线平行”核心知识点，系统梳理从平面几何倾斜角相等引入，到解析几何中斜率存在时k1=k2且b1≠b2、斜率不存在时均垂直x轴且截距不等的判定条件，再到应用条件解决平行判定、求方程及参数问题的概念-方法-应用学习支架。 该资料以过山车轨道为情境导入，用数学眼光观察现实世界，通过分类讨论斜率存在与否培养数学思维的逻辑性，例题与练习梯度设计助力用数学语言表达。课中激发学习兴趣，课后练习题覆盖不同题型，帮助学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第1课时　两条直线平行 [学习目标]　1.理解并掌握两条直线平行的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行.3.运用两直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题. 导语 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目．实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理．过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，你能感受到过山车中的平行吗？两条直线的平行用什么来刻画呢？ 一、两条直线平行的判定 问题　平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 提示　两直线平行，倾斜角相等． 知识梳理 两条直线l1，l2平行的等价条件： (1)当两条直线l1，l2斜率均存在时，方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2. (2)当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1∥l2⇔它们都与x轴垂直，且在x轴上的截距不相等． 注意点： (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合． (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)． (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在． 例1　判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5)． 解　(1)k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，故l1与l2不平行． (2)k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， 故l1∥l2或l1与l2重合． (3)k1＝＝－1，k2＝＝－1， k1＝k2. 又kAM＝＝－2≠－1， 则A，B，M不共线，故l1∥l2. (4)由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2. 反思感悟　判断两条直线是否平行的步骤 跟踪训练1　(1)已知直线l1经过点A(0,3)，B(5,3)，直线l2经过点M(2,5)，N(6,5)，判断直线l1与l2是否平行． 解　∵l1与l2都与y轴垂直，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2. (2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行． 解　由题意知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在．kAB＝＝，kCD＝＝，由于AB∥CD，所以kAB＝kCD，即＝，解得m＝－2.经验证，当m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2. 二、求与已知直线平行的直线方程 例2　求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程． 解　方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行， ∴k＝－， 又∵直线l经过点(1,2)， ∴所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 即3x＋4y－11＝0. 方法二　设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1)． ∵直线l经过点(1,2)， ∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11， ∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0. 反思感悟　(1)与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程． (2)与直线Ax＋By＋C1＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C2＝0，其中A，B不全为0，C1≠C2. 跟踪训练2　(1)已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为(　　) A．y＝－4x－7 B．y＝4x－7 C．y＝4x＋7 D．y＝－4x＋7 答案　D 解析　过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x， 即直线l的方程为y＝－4x＋7. (2)已知A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)三点，直线l过点B且与直线AC平行，求直线l的方程． 解　由题意可知kAC＝＝－2， 则kl＝－2， 又直线l过点B， ∴直线l的方程为y－1＝－2(x－3)， 即2x＋y－7＝0. 三、直线平行的应用 例3　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交；(2)平行；(3)重合． 解　∵直线l1：x＋my＋6＝0， 直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， ∴A1＝1，B1＝m，C1＝6， A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. (1)若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0， 即1×3－m(m－2)≠0， 即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0， 即m≠3，且m≠－1. 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交． (2)若l1∥l2，则有 即 即 即 ∴m＝－1. 故当m＝－1时，直线l1与l2平行． (3)若l1与l2重合，则有 即 ∴∴m＝3. 故当m＝3时，直线l1与l2重合． 反思感悟　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔或 跟踪训练3　已知直线l经过点P(3，－3)，在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0. (1)求直线l的一般式方程； (2)若直线l′：m2x＋(2m－3)y－3m－3＝0与直线l平行，求m的值． 解　(1)由题意设直线l的方程为＋＝1(a≠0)， 将点P(3，－3)代入得＋＝1，解得a＝6， ∴直线l的方程为－＝1， ∴直线l的一般式方程为x－y－6＝0. (2)若直线l′：m2x＋(2m－3)y－3m－3＝0与直线l平行，则m2×(－1)－1×(2m－3)＝0，∴m＝－3或m＝1， 当m＝－3时，直线l′：x－y＋＝0，满足题意； 当m＝1时，直线l′：x－y－6＝0与直线l重合，不满足题意， 综上所述，m＝－3. 1．知识清单： (1)两直线平行的条件． (2)由两直线平行求参数值． (3)求与已知直线平行的直线方程． 2．方法归纳：分类讨论、数形结合． 3．常见误区：研究两直线平行关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况． 1．已知直线l1的倾斜角为30°，又l1∥l2，则直线l2的斜率为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　C 解析　因为l1∥l2，所以＝tan 30°＝. 2．直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是(　　) A．1 B．－2 C．1或－2 D．－1或2 答案　B 解析　由已知，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1.当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2. 3．已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为(　　) A．－8 B．0 C．2 D．10 答案　A 解析　由已知，得＝－2，∴m＝－8. 4．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为________． 答案　±2 解析　由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．(多选)若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列选项中正确的是(　　) A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若k1＝k2，则l1∥l2 C．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 D．若α1＝α2，则l1∥l2 答案　AC 2．过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　) A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 答案　B 解析　斜率都为0且不重合，所以平行． 3．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)和点B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为(　　) A．0 B．1 C．6 D．0或6 答案　C 解析　由直线l的倾斜角为， 得直线l的斜率为－1， 因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1. 又直线l1经过点A(3,2)和点B(a，－1)， 所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6. 4．若直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案　C 解析　∵直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行， ∴解得m＝1. 5．已知直线l1：x－ay＋1＝0，l2：(a－1)x－12y－4＝0，则“a＝4”是“l1∥l2”的(　　) A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案　C 解析　由l1∥l2可知(a－1)(－a)＝－12，解得a＝4或a＝－3， 当a＝4时，l1：x－4y＋1＝0，l2：3x－12y－4＝0，l1∥l2成立， 当a＝－3时，l1：x＋3y＋1＝0，l2：－4x－12y－4＝0，即x＋3y＋1＝0，l1与l2重合， 所以若l1∥l2则a＝4， 所以“a＝4”是“l1∥l2”的充要条件． 6．已知直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，若l∥y轴，但不重合，则下列结论正确的是(　　) A．a≠1，b≠2，c≠0 B．a≠1，b＝－2，c≠0 C．a＝1，b≠－2，c≠0 D．a≠1，b≠－2，c≠0 答案　B 解析　∵直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，l∥y轴，但不重合，∴ 解得a≠1，b＝－2，c≠0. 7．(5分)直线l1的斜率k1＝，直线l2经过A(1,2)，B(a－1,3)两点，若l1∥l2，则a的值为________． 答案　 解析　直线l2的斜率k2＝＝， ∵l1∥l2， ∴k1＝k2， ∴＝， ∴a＝. 8．(5分)直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为______________． 答案　0或－1 解析　因为两直线无公共点，所以两直线平行．当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点；当a≠0时，由－＝－，解得a＝3或a＝－1.若a＝3，这两条直线均为x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去；若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点． 综上，a＝0或a＝－1. 9．(10分)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行． (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；(5分) (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3)．(5分) 解　(1)由题意知k1＝＝－， k2＝＝－. 因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. (2)由题意知k1＝tan 60°＝， k2＝＝. 所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合． 10．(10分)已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.若l1与l2平行，求a的值． 解　方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时， 两直线可化为l1：y＝－x－3， l2：y＝x－(a＋1)， l1∥l2⇔ 解得a＝－1， 综上可知，当a＝－1时，l1∥l2. 方法二　由A1B2－A2B1＝0， 得a(a－1)－1×2＝0， 由A1C2－A2C1≠0， 得a(a2－1)－1×6≠0， 所以l1∥l2⇔ 解得a＝－1， 故当a＝－1时，l1∥l2. 11．已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　) A．－1或0 B．0或1 C．1 D．2 答案　B 解析　当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD. 当m≠0时，kAB＝，kCD＝， 则kAB＝kCD，即＝，解得m＝1， 综上，m＝0或m＝1. 12．(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 答案　CD 解析　由两直线平行得，当k－3＝0，即k＝3时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行．当k－3≠0，即k≠3时，由＝≠，解得k＝5.综上，k的值是3或5. 13.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)三点为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是(　　) A．(－3,1) B．(4,1) C．(－2,1) D．(2，－1) 答案　A 解析　如图所示， 因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A. 14．(5分)已知两条直线的斜率分别为和－，若这两条直线互相平行，则实数a的最大值为________． 答案　 解析　因为两条直线互相平行，所以＝－，所以a＝－b4＋b2＝－2＋≤，当且仅当b2＝时取等号，故实数a的最大值为. 15．(5分)已知方程组无解，则实数m的值等于________． 答案　－4 解析　由题知，方程组无解， 所以直线x＋my＝2与直线mx＋16y＝8平行， 所以16－m2＝0，解得m＝±4， 当m＝4时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意， 当m＝－4时，两直线平行，方程组无解，满足题意． 16．(13分)在平面直角坐标系中，已知直线l1：ax＋by＋1＝0，l2：(a－2)x＋y＋a＝0. (1)求直线l2经过定点的坐标；(6分) (2)当b＝4且l1∥l2时，求实数a的值．(7分) 解　(1)∵(a－2)x＋y＋a＝0， ∴ax－2x＋y＋a＝0， ∴a(x＋1)＋(y－2x)＝0，令x＋1＝0且y－2x＝0，则x＝－1，y＝－2， ∴对任意a∈R，直线l2：(a－2)x＋y＋a＝0过定点(－1，－2)． (2)当b＝4时，直线l1：ax＋4y＋1＝0， 即y＝－x－， 又直线l2：(a－2)x＋y＋a＝0， 即y＝(2－a)x－a， ∵l1∥l2， ∴－＝2－a且－≠－a， ∴a＝. 学科网（北京）股份有限公司 $