第1章 §1.2 1.2.3 直线的一般式方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦直线的一般式方程核心知识点，系统梳理从直线特殊形式（点斜式、两点式等）过渡到一般式方程（Ax+By+C=0，A,B不同时为0）的脉络，通过问题链建立“直线与二元一次方程双向对应”的认知支架，涵盖定义、互化及含参数方程应用。 以笛卡尔问题引发探究（数学眼光），通过分类讨论参数（如例2判断直线象限）培养逻辑推理（数学思维），例题与练习分层设计，课中助教师高效授课，课后助学生巩固提升，提升方程互化与实际应用的数学表达能力（数学语言）。

1.2.3　直线的一般式方程 [学习目标]　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.3.理解并掌握含参数的直线的一般式方程.4.会进行直线方程的五种形式之间的转化． 导语 数学家笛卡尔在平面直角坐标系中研究两直线间的位置关系时，碰到了这样一个问题：平面直角坐标系中的任何一条直线能不能用一种优美的、统一的方程来表示？ 一、直线的一般式方程 问题1　任何一条直线的方程都是关于x，y的二元一次方程吗？ 提示　当直线与x轴不垂直时，直线的斜率存在，于是经过点P1(x1，y1)，斜率为k的直线的方程为y－y1＝k(x－x1)，即kx－y＋y1－kx1＝0，此方程是关于x，y的二元一次方程． 当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在，于是经过点P1(x1，y1)的直线的方程为x＝x1，即x＋0×y－x1＝0.此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程． 因此，平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)来表示． 问题2　关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示平面直角坐标系中的一条直线吗？ 提示　当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成 y＝－x－，它表示斜率为－，在y轴上的截距为－的直线． 当B＝0，A≠0时，方程Ax＋By＋C＝0可以写成 x＝－，它表示垂直于x轴的直线． 因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)都表示一条直线． 知识梳理 方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)叫作直线的一般式方程． 注意点： (1)直线的一般式方程是关于x，y的二元一次方程，方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列，x的系数一般不为分数和负数． (2)当A≠0，B＝0时，直线与x轴垂直，即直线与y轴平行或重合． (3)当A＝0，B≠0时，直线与y轴垂直，即直线与x轴平行或重合． 例1　根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5,3)； (2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4,2)，且平行于x轴． 解　(1)由点斜式，得直线方程为y－3＝(x－5)， 即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式，得直线方程为＝， 即2x＋y－3＝0. (3)由截距式，得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 反思感悟　求直线的一般式方程的策略 在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式． 跟踪训练1　(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式． ①斜率是－，且经过点A(8，－6)的直线方程为________________； ②在x轴和y轴上的截距分别是和－3的直线方程为________________； ③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为________________． 答案　①x＋2y＋4＝0　②2x－y－3＝0 ③x＋y－1＝0 (2)在y轴上的截距为－6，且倾斜角为45°的直线的一般式方程为______________． 答案　x－y－6＝0 解析　设直线的斜截式方程为y＝kx＋b(k≠0)，则由题意得k＝tan 45°＝1，b＝－6，所以y＝x－6，即x－y－6＝0. 二、直线的一般式方程化为其他形式的方程 例2　(1)已知直线Ax＋By＋C＝0(AB>0，BC>0)，则直线不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　直线Ax＋By＋C＝0化为y＝－x－， 又AB>0，BC>0，所以－<0，－<0，则直线不经过第一象限． (2)设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别确定m的值： ①直线l在x轴上的截距是－3； ②直线l的斜率是－1. 解　①当直线在x轴上的截距为－3时，有＝－3，且m2－2m－3≠0， 解得m＝－. ②当斜率为－1时，有－＝－1，且2m2＋m－1≠0，解得m＝－2. 延伸探究　对于本例(2)中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值． 解　∵直线l与y轴平行， ∴解得m＝. 反思感悟　含参数的一般式方程的处理方法 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不全为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 跟踪训练2　(1)直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B．2 C．1 D. 答案　D 解析　由题意得，直线与坐标轴的交点为(1,0)，(0，－1)，故所求三角形的面积为. (2)若a，b，c都大于0，则直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的(　　) 答案　D 解析　直线ax＋by＋c＝0化为y＝－x－，因为a，b，c都大于0，所以－<0，－<0，所以直线ax＋by＋c＝0的图象大致是图中的D. 三、直线一般式方程的应用 例3　已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限； (2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围． (1)证明　将直线l的方程整理为 y－＝a， ∴直线l的斜率为a，且过定点A，又点A在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限． (2)解　直线OA的斜率为 k＝＝3. 如图所示， 要使直线l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴a≥3. 延伸探究　本例中若直线l在y轴上的截距为2，求a的值，这时直线l的一般式方程是什么？ 解　把方程5ax－5y－a＋3＝0化成斜截式方程为y＝ax＋. 由条件可知＝2， 解得a＝－7， 这时直线l的一般式方程为7x＋y－2＝0. 反思感悟　已知含参直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤 跟踪训练3　直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； (2)若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围． 解　(1)①当a＝－1时，直线l的方程为y＋3＝0，显然不符合题意； ②当a≠－1时，令x＝0，则y＝a－2， 令y＝0，则x＝. ∵直线l在两坐标轴上的截距相等， ∴a－2＝， 解得a＝2或a＝0. 综上，a的值为2或0. (2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2， 故要使直线l不经过第二象限，只需 解得a≤－1. ∴实数a的取值范围为(－∞，－1]． 1．知识清单： (1)直线方程的一般式方程． (2)直线五种形式方程的互化． (3)直线一般式方程的应用． 2．方法归纳：分类讨论法、转化与化归． 3．常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况． 1．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　) A．30° B．60° C．150° D．120° 答案　C 解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 2．直线2x＋3y＋6＝0不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　A 解析　2x＋3y＋6＝0即y＝－x－2， ∴k＝－，在y轴上的截距为－2，∴直线不经过第一象限． 3．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，则该直线过定点________． 答案　(－2,1) 解析　直线l：kx－y＋1＋2k＝0， 即y－1＝k(x＋2)． 由直线的点斜式可知直线过定点(－2,1)． 4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________． 答案　3 解析　由已知得∴m＝3. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1．过点(2,1)，斜率k＝－2的直线方程为(　　) A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0 C．y－2＝－2(x－1) D．2x＋y－5＝0 答案　D 解析　根据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. 2．如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件(　　) A．bc＝0 B．a≠0 C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0 答案　D 解析　y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足的条件为b＝c＝0，a≠0. 3．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是(　　) 答案　C 解析　将l1与l2的方程化为l1：y＝ax＋b，l2：y＝bx＋a. A中，由l1的图象可知，a<0，b<0，由l2的图象可知，b<0，a>0，两者矛盾，故A错误； B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知，b>0，a>0，两者矛盾，故B错误； C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确； D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知，a>0，b>0，两者矛盾，故D错误． 4．直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　　) A．ab>0，bc>0 B．ab>0，bc<0 C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0 答案　B 解析　直线ax＋by＋c＝0化为y＝－x－，因为直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以－<0，－>0，所以ab>0，bc<0. 5．已知点A在直线x＋2y－1＝0上，点B在直线x＋2y＋3＝0上，同一平面内的点P满足条件：＋＝0，设点P(m，n)且m－n＋2<0，则的取值范围是(　　) A．[－5，－2) B. C．(－5，－2) D. 答案　C 解析　由题意知P为AB的中点，设A(1－2y1，y1)，B(－3－2y2，y2)， 则m＝－1－y1－y2，n＝， 代入m－n＋2<0得，y1＋y2>， ∴＝＝－2－， ∴∈(－5，－2)． 6．(多选)已知直线l的方程是Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则下列结论正确的是(　　) A．A2＋C2≠0 B．若C＝－A，则直线l过定点(1,0) C．若A·B<0且B·C>0，则直线l不过第二象限 D．若A·C>0，则直线l必过第二、三象限 答案　BCD 解析　选项A，例如y＝0(x轴)，可得A＝C＝0，B≠0，则A2＋C2＝0，故A错误； 选项B，若C＝－A，则Ax＋By－A＝A(x－1)＋By＝0， 当x＝1，y＝0时，式子恒成立， 所以直线l过定点(1,0)，故B正确； 选项C，若A·B<0且B·C>0，则y＝－x－，且－>0，－<0， 即直线l的斜率大于0，纵截距小于0， 所以直线l经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故C正确； 选项D，若A·C>0，则x＝－y－，且－<0， 即直线l的斜率不为0，横截距小于0， 所以直线l必过第二、三象限，故D正确． 7．(5分)已知直线3x＋4y－b＝0与两坐标轴围成的三角形的面积为，则b＝________. 答案　6或－6 解析　直线3x＋4y－b＝0交x轴于点，交y轴于点. 故与坐标轴围成的三角形的面积S＝××＝⇒b2＝36⇒b＝±6. 8．(5分)已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________． 答案　－ 解析　把(3,0)代入已知方程， 得(a＋2)×3－2a＝0， ∴a＝－6， ∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0， 令x＝0，得y＝－. 9．(10分)设直线l：ax＋y＋2－a＝0，根据下列条件分别确定a的值： (1)直线l的斜率为－2；(5分) (2)直线l在x轴和y轴上的截距相等．(5分) 解　(1)直线l的方程可化为y＝－ax＋a－2， ∵直线l的斜率为－2，∴－a＝－2，即a＝2. (2)由题意知a≠0， 直线l的方程可化为ax＋y＝a－2. 若a－2＝0，即a＝2，则直线l过点(0,0)， ∴直线l在x轴、y轴上的截距均为0，满足题意； 若a－2≠0，则＋＝1， ∴＝a－2，解得a＝1. 综上，a的值为2或1. 10．(12分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1,3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程． 解　设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y－1＝0上， ∴设点B坐标为(x,1)． 又点A坐标为(1,3)，D为AB的中点， 由中点坐标公式得点D坐标为. 又∵点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x＝5， ∴点B坐标为(5,1)． 同理可求出点C坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 11．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　) A. B.∪ C. D. 答案　D 解析　∵k＝－，∴－1≤k<0. ∴倾斜角的取值范围是. 12．设A(－2,2)，B(1,1)，若直线l：ax＋y＋1＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是(　　) A.∪[2，＋∞) B. C．(－∞，－2]∪ D. 答案　C 解析　由ax＋y＋1＝0得， y＝－ax－1， 因此直线l过定点P(0，－1)，且斜率k＝－a， 如图所示， 当直线l由直线PA按顺时针方向旋转到直线PB的位置时，符合题意． 易得kPB＝＝2，kPA＝＝－. 结合图形知，－a≥2或－a≤－，解得a≤－2或a≥. 13．(5分)已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)，则过P1(a1，b1)，P2(a2，b2)两点的直线方程为________________． 答案　2x＋3y＋4＝0 解析　∵两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2,3)， ∴2a1＋3b1＋4＝0,2a2＋3b2＋4＝0， 因此过P1(a1，b1)，P2(a2，b2)两点的直线的方程为2x＋3y＋4＝0. 14．(5分)若直线(m＋1)x＋(m2－m－2)y＝m＋1在y轴上的截距等于1，则实数m的值为________． 答案　3 解析　由题意可知直线过点(0,1)， 代入可得m2－m－2＝m＋1，变形可得m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1， 当m＝－1时，m＋1＝m2－m－2＝0，不满足题意，所以m＝3. 15.(5分)如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(－2,0)，C(1,0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则直线FH的一般式方程为_________________________. 答案　x＋4y－14＝0 解析　过点H，F分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N(图略)． ∵四边形ACGH为正方形， ∴Rt△AMH≌Rt△COA， ∵OC＝1， ∴AM＝OC＝1，∴OM＝OA＋AM＝3，又MH＝OA＝2， ∴点H的坐标为(2,3)，同理得到F(－2,4)， ∴直线FH的方程为＝， 化为一般式方程为x＋4y－14＝0. 16．(12分)已知直线l：ax＋by－1＝0，若a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}，求直线l不经过第二象限的概率． 解　由直线l：ax＋by－1＝0得y＝－x＋， 要使直线l：ax＋by－1＝0恰好不经过第二象限， 则或 即或 ∵a∈{－1,1}，b∈{－2，－1,1}， ∴a＝1，b＝－2或a＝1，b＝－1，共有2个结果． 而a，b的选择共有6个结果， 则根据古典概率的概率公式， 得所求的概率P＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $