第1章 §1.2 1.2.2 直线的两点式方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦直线的两点式方程与截距式方程，从“两点确定一条直线”的几何要素切入，推导两点式方程（强调x1≠x2且y1≠y2的适用条件），进而引出截距式方程，通过问题引导、注意点提示构建从具体到抽象的学习支架。 以植树定直线实例引入，用数学眼光抽象问题；推导中注重逻辑推理，分类讨论截距为0与否等情况培养数学思维；例题含基础与延伸题，助力用数学语言表达。课中辅助教师授课，课后通过练习与反思帮助学生查漏补缺。

1.2.2　直线的两点式方程 [学习目标]　1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程的形式特点和适用范围.2.了解直线的截距式方程的形式特点和适用范围.3.能正确利用直线的两点式、截距式求直线方程.4.能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题． 导语 生活中“两点确定一条直线”的例子随处可见，比如我们在植树时，只要定出两个树坑的位置就能够确定同一行的树坑所在的直线．那么在直角坐标系内，已知直线上两点，如何求直线的方程呢？ 一、直线的两点式方程 问题1　我们知道已知两点也可以确定一条直线，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　y－y1＝(x－x1)，即＝ 知识梳理 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程 ＝叫作直线的两点式方程． 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示． (2)两点式方程与这两个点的顺序无关． (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． 例1　(1)过(1,2)，(5,3)两点的直线方程是(　　) A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ (2)在平面直角坐标系中，已知直线l经过(－1,0)，(1,4)两点，则直线l的两点式方程是______________． 答案　(1)B　(2)＝ 解析　(1)直线过(1,2)，(5,3)两点， 所以由两点式得直线的方程为＝. (2)根据两点式方程可得＝. 反思感悟　利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程． (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程． 跟踪训练1　(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为____________． 答案　4x＋5y＋3＝0 解析　因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 所以＝，即＝， 化简得4x＋5y＋3＝0. (2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程． 解　由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在． ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 二、直线的截距式方程 问题2　若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由两点式得＝， 整理得＋＝1. 知识梳理 方程＋＝1，其中b称为直线在y轴上的截距，a称为直线在x轴上的截距．这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程． 注意点： (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程．与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示． (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． 例2　求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1， 即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝，所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 延伸探究 1．若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？ 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 设直线l的方程为＋＝1， 又l过点A(－3，－4)， 所以＋＝1， 解得a＝1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y－1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)， 所以－4＝k·(－3)，解得k＝. 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0. 2．若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解　(1)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 反思感悟　截距式方程应用的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 三、直线方程的灵活应用 例3　在平面直角坐标系中，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. (1)若＝，求直线l的截距式方程； (2)求当·取得最小值时直线l的方程． 解　设A(a,0)，B(0，b)，其中a>0，b>0. (1)∵＝， ∴(3－a,1)＝(－3，b－1)， 即解得 ∴直线l的截距式方程为＋＝1. (2)∵A，P，B三点共线， ∴＝， 整理得＋＝1， ∴·＝(3－a,1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)－10＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即a＝b＝4时，等号成立． ∴当·取得最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0. 反思感悟　直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率． (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距． (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程． (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决． 跟踪训练2　△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0)．求边AC和AB所在直线的方程． 解　∵A(0,4)，C(－8,0)， ∴直线AC的截距式方程为＋＝1， 即x－2y＋8＝0， ∵A(0,4)，B(－2,6)， ∴由直线的两点式方程，得直线AB的方程为 ＝， 即x＋y－4＝0. 1．知识清单： (1)直线的两点式方程． (2)直线的截距式方程． 2．方法归纳：分类讨论法、数形结合法． 3．常见误区：利用截距式求直线方程时忽略截距不存在及过原点的情况导致漏解． 1．在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 答案　A 2．已知直线l的两点式方程＝，则直线l的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　A 解析　由两点式方程＝， 知直线l过点(－5,0)，(3，－3)， 所以直线l的斜率为＝－. 3．过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为________________________． 答案　2x－y＝0或x－y＋1＝0 解析　当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为－＝1， 将点P(1,2)代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0. ∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 4．过(－1，－1)和(1,3)两点的直线在x轴上的截距为________，在y轴上的截距为________． 答案　－　1 解析　由已知得直线的方程为＝， 化简得2x－y＋1＝0， 令x＝0，得y＝1；令y＝0，得x＝－， 故直线在x轴、y轴上的截距分别为－，1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．过(－2,1)，(1,4)两点的直线方程为(　　) A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1 C．y＝x＋2 D．y＝－x－2 答案　A 解析　由直线的两点式得直线方程为＝， 整理得y＝x＋3. 2．已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　) A．1 B．－1 C．－2或－1 D．－2或1 答案　A 解析　显然a≠0. 把直线l：ax＋y－2＝0化为 ＋＝1. ∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，∴＝2，解得a＝1. 3．(多选)已知直线＋＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是(　　) A．|a|>|b| B.> C．(b－a)(b＋a)>0 D.> 答案　AB 解析　因为直线＋＝1经过第一、二、三象限，可得a<0，b>0， 由直线的斜率小于1，可得0<－<1，结合a<0，可得a<0<b<－a， 由绝对值的性质，可得|a|>|b|，所以A正确； 由幂函数y＝的单调性，得>，所以B正确； 由b－a>0，b＋a<0，所以(b－a)(b＋a)<0，所以C错误； 由<0，>0，所以<，所以D错误． 4．经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为(　　) A．2 B．－3 C．－27 D．27 答案　D 解析　由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0，令y＝0，得x＝27. 5．下列说法正确的是(　　) A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 C．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 D．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 答案　D 解析　选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过点P0(x0，y0)的直线不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示； 选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过点A(0，b)的直线不可以用方程y＝kx＋b表示； 选项C不正确，当直线与x轴平行或者与y轴平行时，虽然不经过原点但不可以用方程＋＝1表示； 选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示． 6．经过点P(－1,2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有(　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 答案　D 解析　当直线l经过原点时，直线方程为y＝－2x. 当直线l不经过原点时，设直线方程为＋＝1， 把点P(－1,2)代入可得＋＝1， 当a＝b时，＋＝1， 解得a＝1，b＝1，可得方程为x＋y＝1. 当a＝－b时，－＝1， 解得a＝－3，b＝3，可得方程为y－x＝3. 综上，满足条件的直线有3条． 7．(5分)如果直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，且点(1 011，b)在直线l上，那么b的值为________． 答案　2 023 解析　直线l的方程为＝，即2x－y＋1＝0，因为点(1 011，b)在直线l上，所以2×1 011－b＋1＝0，解得b＝2 023. 8．(5分)若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为________________________________________________________________________． 答案　＋y＝1或＋＝1 解析　设直线l在y轴上的截距为a(a≠0)， 则在x轴上的截距为a＋1(a≠－1)， 则直线l的方程为＋＝1， 代入点A(6，－2)得－＝1， 即a2－3a＋2＝0，解得a＝2或a＝1， ∴直线l的方程为＋y＝1或＋＝1. 9．(10分)如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系可用直线AB的方程表示． (1)求直线AB的方程；(5分) (2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李？(5分) 解　(1)由题图知点A(60,6)，B(80,10)， 则直线AB的方程为＝， 即x－5y－30＝0. (2)依题意，令y＝0，解得x＝30， 即旅客最多可免费携带30千克的行李． 10．(10分)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程． 解　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若直线l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)， 则直线l的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. ∵|a|·|a|＝18，即a2＝36， ∴a＝±6. ∴直线l的方程为x＋y±6＝0. 若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)， 故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0. ∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36， ∴a＝±6，∴直线l的方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. 11．(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为(　　) A．x＋y＝5 B．x－y＝5 C．x－4y＝0 D．x＋4y＝0 答案　AC 解析　当直线过原点(0,0)时，直线方程为y＝x， 即x－4y＝0； 当直线不过原点(0,0)时，可设直线方程为＋＝1. 把点(4,1)代入，解得a＝5， 所以直线方程为x＋y＝5. 综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0. 12．已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为(　　) A．2x－y＋4＝0 B．x＋2y＋4＝0 C．2x＋y－4＝0 D．x－2y＋4＝0 答案　D 解析　由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)，则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)，则所求直线方程为＝， 即x－2y＋4＝0. 13．直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案　B 解析　易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足． 14．(5分)过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当OA＋OB取最小值时，直线l的方程为____________________． 答案　x＋2y－6＝0 解析　设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)． 由点P在直线l上，得＋＝1， ∴OA＋OB＝a＋b＝(a＋b) ＝5＋＋≥5＋2＝9. 当且仅当＝，即a＝6，b＝3时取“＝”． ∴直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0. 15．(5分)已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________． 答案　3 解析　直线AB的方程为＋＝1，则x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y) ＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即当点P的坐标为时，xy取得最大值3. 16．(13分)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当||·||取得最小值时直线l的方程． 解　设A(a,0)，B(0，b)，且a>0，b>0， 则直线l的方程为＋＝1， 又直线l经过点M(2,1)，所以＋＝1， 根据题意，易知点M在线段AB上， 所以＝(a－2，－1)，＝(－2，b－1)， ||·||＝－· ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 ＝(2a＋b)－5 ＝＋≥2＝4， 当且仅当a＝b＝3时取等号， 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $