第1章 §1.1 直线的斜率与倾斜角（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦直线的斜率与倾斜角核心知识点，从实际坡度问题引入斜率概念，通过两点坐标推导斜率公式并明确其存在性，进而过渡到倾斜角定义及范围，建立两者从“数”到“形”的对应关系，形成完整学习支架。 资料以“问题链”驱动学习，如通过过一点直线倾斜程度的疑问引导用数学眼光观察，含参数斜率计算等例题培养数学思维中的分类讨论能力，知识梳理与练习题助力用数学语言精准表达，课中辅助分层教学，课后帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

[学习目标]　1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． 导语 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数条直线a，b，c，…，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？ 一、直线的斜率 问题1　交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝＝.若k>0，则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小．那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 提示　坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦． 问题2　若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，你能用一个量反应直线l的倾斜程度吗？ 提示　可以用的符号及大小反应直线l的倾斜程度． 知识梳理 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，是一个定值，我们将其称为直线l的斜率．k＝(x1≠x2)． (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在． 注意点： (1)当直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式． (2)当直线与y轴垂直时，斜率公式依然成立，此时k＝0. (3)直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关． 例1　如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)． (1)试计算直线l1，l2，l3的斜率； (2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率． 解　(1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在． 设它们的斜率分别为k1，k2，k3. 则由斜率公式得k1＝＝， k2＝＝－4，k3＝＝0. (2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，其斜率不存在；当a≠3时，其斜率k＝＝. 反思感悟　(1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”． (2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合． (3)斜率公式的用途：若直线l的斜率为k，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两个不同的点，由斜率公式可解决下列类型的问题：①由点P1，P2的坐标求k的值；②已知k及x1，y1，x2，y2中的三个量可求第四个量；③证明三点共线． 跟踪训练1　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． (1)A(2,3)，B(4,5)； (2)C(－2,3)，D(2，－1)； (3)P(－3,1)，Q(－3,10)； (4)E(a,2)，F(3,6)． 解　(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1. (2)存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1. (3)不存在．因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在． (4)当a＝3时，直线EF的斜率不存在； 当a≠3时，直线EF的斜率k＝. 二、直线的倾斜角 知识梳理 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角． (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0. (3)直线的倾斜角α的取值范围为[0，π)． 注意点： (1)从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小正角． (2)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角． (3)已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是由直线上的一点和这条直线的倾斜角可以确定直线的位置． 例2　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为－30° C．倾斜角为0°的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) 答案　AC 解析　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故A正确，B错误，C正确；当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误． (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．α－45° 答案　AB 解析　根据题意，画出图形，如图所示． 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 反思感悟　直线倾斜角的概念和范围 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的取值范围． 跟踪训练2　已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角． 解　∵直线l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B， ∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°. 三、倾斜角和斜率的应用 问题3　在直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°的过程中，其斜率如何变化？为什么？ 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大． 知识梳理 1．设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 2.直线的斜率与倾斜角之间的关系 一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为α，则 (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，α＝0°. (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，α＝90°. (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan α＝. 注意点： 正切函数在[0，π)上不单调． 例3　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解　如图，由题意可知 kPA＝＝－1， kPB＝＝1. (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)． (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 反思感悟　倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解． 跟踪训练3　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 解　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 1．知识清单： (1)直线斜率的定义和斜率公式． (2)直线的倾斜角及其范围． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清． 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案　ABC 2．若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　) A．2 B．1 C．－1 D．－2 答案　A 解析　由题意知tan 45°＝，解得m＝2. 3．若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为________． 答案　 解析　设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2)．∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 即－1＝－(m－2)，解得m＝. 4．直线l经过点A(2，y)，B(3，－)，且倾斜角范围是，则y的取值范围是________． 答案　(－∞，－2]∪[0，＋∞) 解析　因为倾斜角θ∈， 所以k＝tan θ∈[，＋∞)∪(－∞，－]． 又因为k＝， 所以y∈(－∞，－2]∪[0，＋∞)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．下列选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A．(4,2)与(－4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3，－1)与(2，－1) D．(－2,2)与(－2,5) 答案　D 解析　D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在． 2.如图，直线l的倾斜角为(　　) A．60°　　　　　 B．120° C．30°　　　　　 D．150° 答案　D 解析　由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 3．已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为(　　) A．－1 B．1 C．2 D. 答案　D 解析　由＝2，得m＝. 4．若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. 答案　C 解析　∵直线的斜率k∈(－∞，]， ∴k≤tan ， ∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪. 5.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k1<k3<k2 C．k3<k2<k1 D．k3<k1<k2 答案　B 解析　根据图象易得，k1<0，k2>k3>0，∴k1<k3<k2. 6．已知正△ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点P(x，y)是△ABC内部及其边界上一点，则的最大值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　正△ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)且顶点C在第一象限，故顶点C的坐标为(1＋，2)， 可看作△ABC内部及其边界上一点与点(－1,0)的连线斜率， 当P运动到点B(1,3)时，直线的斜率最大，故的最大值为＝. 7．(5分)已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为________． 答案　(3,0)或(0,3) 解析　由题意知，kPA＝－1，若点P在x轴上， 设点P的坐标为P(m,0)(m≠1)， 则＝－1，解得m＝3，即P(3,0)． 若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)， 则＝－1，解得n＝3，即P(0,3)． 综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3)． 8．(5分)若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________． 答案　(－2,1) 解析　由题意知，kAB＝＝. 因为直线的倾斜角为钝角， 所以kAB＝<0， 解得－2<t<1. 9．(12分)已知直线l经过A(－1，m)，B(m,1)两点．问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？(3分) (2)直线l与y轴平行？(3分) (3)直线l的倾斜角为45°？(3分) (4)直线l的倾斜角为锐角？(3分) 解　(1)若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k＝0， ∴m＝1. (2)若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在， ∴m＝－1. (3)由题意可知，直线l的斜率k＝1， 即＝1， 解得m＝0. (4)由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0， 解得－1<m<1. 10.(10分)如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率． 解　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC＝tan 30°＝， kBD＝tan 120°＝－. 11．如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案　B 解析　设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得到点A′(a－2，b＋2)， 于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1. 12．(多选)已知A(1，－2)，B(2,1)，若直线l恒过点(0，－1)且与线段AB相交，则直线l的斜率取值可能是(　　) A．－ B．－2 C．0 D．2 答案　AC 解析　设P(0，－1)， 则kAP＝＝－1， kBP＝＝1，如图， 由图可知，当－1≤k≤1时，直线l与线段AB相交． 13．(5分)已知O(O为坐标原点)是等腰Rt△OAB的直角顶点，点A在第一象限，∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为________． 答案　或－ 解析　设直线AB与x轴的交点为C(图略)， 则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC ＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°. 所以kAB＝tan 30°＝或kAB＝tan 120°＝－. 14．(5分)已知直线l经过点(2,1)和，则直线l的斜率为________；若m>0，则直线l的倾斜角θ的取值范围为________． 答案　－m－＋3　{θ|0°≤θ≤45°或90°<θ<180°} 解析　由题易知直线l的斜率存在，故θ≠90°. 则k＝tan θ＝＝－m－＋3. 当m>0时，tan θ＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当m＝，即m＝1时，等号成立． 所以0°≤θ≤45°或90°<θ<180°， 即直线l的倾斜角θ的取值范围是{θ|0°≤θ≤45°或90°<θ<180°}． 15．已知函数f(x)＝log3(x＋2)，若a>b>c>0，则，，的大小关系为(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 答案　B 解析　作出函数f(x)＝log3(x＋2)的大致图象，如图所示． 由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0， 所以<<. 16．(12分)已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围． 解　的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率． 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上， 且1≤x≤3， 所以可设该线段为AB，且A，B， 又kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $