专题04 二次根式（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北京版

专题04 二次根式 题型1 二次根式有意义的条件（常考点） 题型8 二次根式乘除混合运算 题型2 二次根式参数问题 题型9 同类二次根式 题型3 二次根式的性质化简 题型10 分母有理化（难点） 题型4 复合二次根式化简（难点） 题型11 二次根式加减运算 题型5 最简二次根式 题型12 二次根式混合运算 题型6 二次根式乘法 题型13 二次根式化简求值（易错点） 题型7 二次根式除法 题型14 二次根式的应用（难点） 题型一 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 题型二 二次根式参数问题（共3小题） 4．若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 5．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 6．已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝ ． 题型三 二次根式的性质化简（共4小题） 7．化简： ． 8．计算： ． 9．已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，化简 ． 10．二次根式化成最简结果为（   ） A． B． C． D． 题型四 复合二次根式化简（共4小题） 11．观察以下等式： 第1个等式：＝； 第2个等式：＝； 第3个等式：＝； 第4个等式：＝； 第5个等式：＝； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 12．像，，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：再如：请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且，，为正整数，求的值． 13．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 14．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 题型五 最简二次根式（共3小题） 15．下列二次根式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 16．下列各式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 17．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 题型六 二次根式乘法（共3小题） 18．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 19．计算 (1)， (2)； 20．已知，，求式子的值． 题型七 二次根式除法（共3小题） 21．计算的结果是 ； 22．计算： （1） ； （2） ； （3） ； 23．计算： ． 题型八 二次根式乘除混合运算（共4小题） 24．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 25．计算：． 26．计算：． 27．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 题型九 同类二次根式（共3小题） 28．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 29．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 30．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 题型十 分母有理化（共5小题） 31．在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 32．阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； (2)利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； (3)当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 33．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，． 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)比较大小：______；（用“＞”、“=”或“＜”填空） (3)设有理数、满足：，则________； (4)已知，求的值． 34．在二次根式的运算中，小燕同学发现以下等式具有某种规律： ① ② ③ …… 请你观察这些等式，利用你发现的规律，回答以下问题： (1)化简：________，________ (2)计算： (3)化简：________． 35．阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 题型十一 二次根式加减运算（共3小题） 36．下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 37．计算： ． 38．化简计算： ． 题型十二 二次根式混合运算（共4小题） 39．计算． (1)； (2)． 40．计算： (1) (2) 41．计算： (1)； (2)． 42．观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式： ； 根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）． 题型十三 二次根式化简求值（共4小题） 43．已知 ，，求的值． 44．已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 45．已知，，求的值． 46．定义，任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“扩充数”． (1)若，直接写出，的“扩充数”； (2)如果，，为，的“扩充数”，求（用含的式子表示）； (3)在（1）的条件下，先化简，再求值：． 题型十四 二次根式的应用（共4小题） 47．观察计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 48．阅读理解： 转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的：解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： (1)已知关于的方程有一个根是，那么的值为____； (2)仿照以上方法，解方程：； (3)代数式的值能否等于8？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 49．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 50．如图，从一个大正方形中截取面积为和的两个小正方形，余下部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 1 / 38 1 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次根式 题型1 二次根式有意义的条件（常考点） 题型8 二次根式乘除混合运算 题型2 二次根式参数问题 题型9 同类二次根式 题型3 二次根式的性质化简 题型10 分母有理化（难点） 题型4 复合二次根式化简（难点） 题型11 二次根式加减运算 题型5 最简二次根式 题型12 二次根式混合运算 题型6 二次根式乘法 题型13 二次根式化简求值（易错点） 题型7 二次根式除法 题型14 二次根式的应用（难点） 题型一 二次根式有意义的条件（共3小题） 1．式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据被开方数不能为负数即可解答． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ∴， 即， 故答案为：． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 3．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式．根据二次根式有意义的条件得，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 题型二 二次根式参数问题（共3小题） 4．若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答． 【详解】解：∵63=7×9， ∴， ∵是整数， ∴正整数n的最小值是7， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键． 5．已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 6．已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝ ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】根据二次根式的意义，结合题意，求出一个符合题意的值，即可． 【详解】解：∵当n=2时，=， ∴n=2符合题意， 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查二次根式，掌握二次根式的被开方数是非负数以及二次根式的意义，是解题的关键． 题型三 二次根式的性质化简（共4小题） 7．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了化简二次根式． 由化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 8．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查负整数指数幂，二次根式的加减，绝对值，分别根据负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值进行化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：． 故答案为： 9．已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，二次根式的性质．解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．根据数轴上得到的a，b的大小去绝对值，然后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，， 则，， ． 10．二次根式化成最简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 题型四 复合二次根式化简（共4小题） 11．观察以下等式： 第1个等式：＝； 第2个等式：＝； 第3个等式：＝； 第4个等式：＝； 第5个等式：＝； … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)第n个等式，证明见解析 【分析】（1）根据题意写出第6个等式； （2）根据二次根式的性质、二次根式的混合运算法则证明结论． 【详解】（1）第6个等式：； （2）第个等式：． 证明： ， ∵左边=右边， 故该等式成立． 【点睛】本题考查的是数字的变化规律，掌握二次根式的性质、二次根式的混合运算法则是解题的关键． 12．像，，…这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：再如：请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且，，为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)14或46． 【分析】（1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合整除的意义求解． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：， 且， 且， ，，为正整数， 当，时； 当，时，． 所以的值为：14或46． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，解题的关键是结合完全平方公式进行求解． 13．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数、使，，这样，那么便有．例如：化简解：首先把化为，这里，；由于，，即 ． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】先把各题中的无理式变成的形式，再根据范例分别求出各题中的、，即可求解． 【详解】解：（1）； （2）． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式的应用，掌握二次根式的性质以及完全平方公式是解题的关键． 14．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 题型五 最简二次根式（共3小题） 15．下列二次根式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义即可判断． 最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；（3）被开方数不含分母． 【详解】A．含有能开的尽的因式16，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； B．含有能开的尽的因式4，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； C．里有分母，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； D．为最简二次根式，故选项正确，符合题意； 故选：D． 16．下列各式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义，需满足被开方数不含能开方的因数且分母不含根号，据此逐一分析各选项即可确定答案． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 17．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 是最简二次根式，符合题意；     B． ，不是最简二次根式，符合题意；     C． ，不是最简二次根式，符合题意；     D． ，不是最简二次根式，符合题意． 故选A． 题型六 二次根式乘法（共3小题） 18．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，无理数的估算， 先根据乘法分配律计算并化简，再根据的近似值可得答案. 【详解】解：原式 . ∵， ∴， ∴. 故选：B. 19．计算 (1)， (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法进行计算即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键． 20．已知，，求式子的值． 【答案】 【分析】直接将，代入进行计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求代数的值、二次根式的乘法，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键． 题型七 二次根式除法（共3小题） 21．计算的结果是 ； 【答案】 【分析】直接运用二次根式的除法法则进行计算即可得解. 【详解】， = =. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键. 22．计算： （1） ； （2） ； （3） ； 【答案】 2 【分析】本题考查二次根式的除法运算，化简二次根式： （1）（2）直接用除法法则计算； （3）先把带分数化为假分数，再利用二次根式的性质化简； 【详解】解：（1）原式； （2）原式； （3）原式； 故答案为：（1）2（2）（3） 23．计算： ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的除法运算．根据二次根式的除法运算法则解答即可． 【详解】解：． 故答案为：5． 题型八 二次根式乘除混合运算（共4小题） 24．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，利用二次根式的性质化简，掌握运算法则是解题的关键． 利用二次根式的乘除运算法则，利用二次根式的性质化简，分别判断即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，由于等号右边被开方数是负数，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 25．计算：． 【答案】 【分析】根据乘法公式和二次根式的运算性质计算即可； 【详解】原式； 【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，结合乘法公式计算是解题的关键． 26．计算：． 【答案】 【分析】首先利用二次根式除法以及乘法法则转化成一个二次根式，然后对二次根式进行化简即可． 【详解】解：原式=4 =4 = 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，正确理解法则，正确化简二次根式是关键． 27．小君想到了一种证明等式成立的方法． 证明过程如下： 设，，则，． 等号左边，等号右边； ∵，， ∴， ∴等号右边， ∴等号左边等号右边， ∴等式成立． (1)小艳利用同样的方法求出方程的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程． 解：设，，则________，________．将原无理方程转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下： (2)请直接写出方程的解为________． 【答案】(1)9；1；． (2) 【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）依据题意，由、，则，，又，则可求出m，n，进而完成解答； （2）解法一：依据题意，由，从而， 则，故，然后整理后求解即可． 解法二：设，由题意得，，计算可得，进而可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 联立，解得： ∴． ∴． 故答案为：9；1． （2）解法一：∵， ∴， ∴， ∴． ∴，解得：． 经检验：是原方程的解． 解法二：设， ∵， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得：． 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 题型九 同类二次根式（共3小题） 28．下列各式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简，同类二次根式的定义等知识点，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 根据同类二次根式的定义，化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此逐项分析判断即可． 【详解】解：∵，，是最简二次根式，， 四个数中，只有与是同类二次根式， 故选：B． 29．下列二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 30．若最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据题意得出二次根式与是同类二次根式，根据被开方数相等得出，求解即可得解． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型十 分母有理化（共5小题） 31．在解决问题“已知求的值”时，小明是这样分析与解答的： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． (3)已知，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了分母有理化，完全平方公式，平方差公式． （）进行分母有理化即可求解； （）仿照题例即可求解； （）仿照题例即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ． 32．阅读下面材料： 我们知道把分母中的根号化去叫分母有理化，例如：． 类似的把分子中的根号化去就是分子有理化，例如：． 请根据上述材料，解决下列问题： (1)把下列各式分子有理化： ①_____； ②_____； (2)利用分子有理化的方法，比较和的大小，并说明理由； (3)当_____时，代数式有最_____值（填“大”或“小”）为_____． 【答案】(1)①；②； (2)，理由见解析 (3)1，大，． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件，熟练掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据阅读材料中的方法进行分子有理化即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后再比较即可； （2）先根据阅读材料中的方法进行分子有理化，然后确定最值即可解答． 【详解】（1）解：① ； ②． 故答案为：，． （2）解：，理由如下： 由， ， 又∵， ∴． ∴． （3）解： ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值，即有最大值． 故答案为：1，大，． 33．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，． 两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么我们称这两个代数式互为有理化因式． 请运用有理化因式的知识，解决下列问题： (1)化简：__________； (2)比较大小：______；（用“＞”、“=”或“＜”填空） (3)设有理数、满足：，则________； (4)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 (4)4 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键． （1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解； （2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解； （3）先利用有理化因式的定义化简，根据化简结果列一元二次方程组求解即可； （4）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据的值得出的值，即是结果． 【详解】（1）解：的有理化因式是， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ， 而， ∴， ∵和都是大于0的数， ∴， 故答案为：． （3）解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． （4）解：设，， 则， ∵， ∴，即． 34．在二次根式的运算中，小燕同学发现以下等式具有某种规律： ① ② ③ …… 请你观察这些等式，利用你发现的规律，回答以下问题： (1)化简：________，________ (2)计算： (3)化简：________． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，根据规律求解即可． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴，． 故答案为：，； （2）解： ． （3）解： ． 35．阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”；与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下： ，， 因为，． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由，可知，而， 当时，分母有最小值，所以的最大值是． 解决下述问题： (1)________； (2)比较和的大小； (3)求的最大值． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根号化去．也考查了平方差公式． （1）利用分母有理化得到，即可解答； （2）将变形为，变形为，利用即看判断； （3）根据二次根式有意义的条件得到由，则，利用分母有理化得到，由于时，有最小值3，从而得到y的最大值． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ∵， ∴； ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴时，有最小值， ∴的最大值为． 题型十一 二次根式加减运算（共3小题） 36．下列各式中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则进行判断． 【详解】解：A：已经是最简结果，并不等于，故该选项不合题意； B：，故该选项不合题意； C：，正确，故该选项符合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：C ． 37．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 先根据二次根式的性质化简，再计算减法即可． 【详解】解：； 故答案为：． 38．化简计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加法，先把二次根式化简后再合并即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型十二 二次根式混合运算（共4小题） 39．计算． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，完全平方公式和平方差公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 40．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算二次根式的乘、除法，再计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 41．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算： （1）先把各二次根式化简，然后再进行合并即可； （2）原式根据二次根式的除法以及平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 42．观察所给等式寻求规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 直接写出第4个等式： ； 根据上述规律，化简： （直接写出化简后的结果）． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及实数的运算，根据所给等式，观察各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为；；；…， 所以第n个等式可表示为 当时， 第4个等式为 由上述规律可知， 原式 故答案为：， 题型十三 二次根式化简求值（共4小题） 43．已知 ，，求的值． 【答案】14 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及完全平方公式应用，平方差公式应用． 根据题意将代数式变形，再将已知代入即可． 【详解】解：，将 ，代入上式得， 原式， ， ． 44．已知，，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用已知得出，的值，进而结合完全平方公式计算得出答案； （2）结合平方差公式计算得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2） ． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键． 45．已知，，求的值． 【答案】 【分析】先求出，然后把所求式子分解因式后再整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次根式的代入求值，正确变形、准确计算是解题的关键． 46．定义，任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“扩充数”． (1)若，直接写出，的“扩充数”； (2)如果，，为，的“扩充数”，求（用含的式子表示）； (3)在（1）的条件下，先化简，再求值：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】(1)利用“扩充数”的定义可直接求得； (2)利用“扩充数”的定义求出x的值，再判断； (3)先化简，再求值即可． 【详解】（1）解：由“扩充数”的定义可得， ； （2）解：由“扩充数”的定义可得， ， ， ， ； （3）解： 当时， 原式． 【点睛】本题考查了整数的混合运算和分式的化简求值，关键是能根据定义表示出“扩充数”，然后利用运算法则进行计算． 题型十四 二次根式的应用（共4小题） 47．观察计算： （1）_____ ____ ____（填“>” “<”“=”） 归纳发现： （2）由（1）中的各式比较与的大小，并说明理由． 实践应用： （3）设计师要对某区域进行设计改造，将该区域用篱笆围成一个长方形花圃，如图，该花圃恰好可以借用一段墙体，若要围成一个面积为的花圃，则所用的篱笆至少需要______． 【答案】（1）>，>，=；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，体现了由特殊到一般的思想方法，解题的关键是联想到完全平方公式，利用平方的非负性求证． （1）分别进行出对应小题中两个式子的结果，再比较大小即可； （2）根据第（1）问填大于号或等于号，所以猜想；根据，可由完全平方公式得到，据此可证明结论； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，需要篱笆的长度为米，利用第（2）问的公式即可求得最小值． 【详解】解：（1）①，， ∵， ∴； ②，， ∵， ∴； ③， ∴ 故答案为：>，>，=； （2）猜想，理由如下： 当，时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）设花圃的平行于墙的一边长为a米，宽为b米，则， ∴， 根据（2）的结论可得：． ∴篱笆至少需要40米． 故答案为： 48．阅读理解： 转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的：解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： (1)已知关于的方程有一个根是，那么的值为____； (2)仿照以上方法，解方程：； (3)代数式的值能否等于8？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)2 (2) (3)不能；理由见解析 【分析】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键． （1）根据方程解的定义把代入方程，解关于a的无理方程即可； （2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解； （3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可． 【详解】（1）解：把代入方程得， 两边平方得， 解得， 经检验，是方程的解； （2）解：， 两边平方得：， 整理得：， 解得：，， 经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根， ∴原方程的根是； （3）解：不能． ， 原方程变形得， 两边平方得， 整理得， 两边平方得， 此方程无解， ∴代数式的值不等于8． 49．有一块矩形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)求矩形木板的面积； (2)木工乙想从矩形木板中裁出一个面积为，宽为的矩形木料，则该矩形木料的长为_______； (3)木工丙想从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出_________根这样的木条． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，正方形面积的计算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的各边长，再求出结果即可； （2）根据矩形面积公式列式计算即可； （3）根据，，得出最多能截出5根这样的木条． 【详解】（1）解：∵木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为：， ∴，， ∴矩形木板的面积为； （2）解：该矩形木料的长为： ； （3）解：∵， 又∵， ∴从矩形木板中截出长为、宽为的矩形木条，最多能截出5根这样的木条． 50．如图，从一个大正方形中截取面积为和的两个小正方形，余下部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【详解】解：从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， 大正方形的边长是， 留下部分（即阴影部分）的面积是． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键． 7 / 11 7 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $