专题05 三角形及其性质、全等三角形（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北京版

专题05 三角形 题型1 三角形三边关系 题型8直角三角形两锐角互余 题型2 求第三边的取值范围 题型9三角形的角平分线 题型3 三边关系的应用（易错点） 题型10三角形的中线 题型4 三角形内角和的证明 题型11三角形的高线 题型5 内角和与外角和定理应用 题型12全等三角形 题型6 折叠问题 题型13全等三角形综合（难点） 题型7角平分线相关的计算 题型一 三角形三边关系（共3小题） 1．下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（    ） A．3dm，5dm，8dm B．8cm，8cm，18cm C．3dm，3dm，5dm D．3cm，4cm，8cm 3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 题型二 求第三边的取值范围（共3小题） 4．若三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的取值范围是 ． 5．已知三条线段的长分别是4，8，，若它们能构成三角形，则偶数的最大值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 6．若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长不可能是（    ） A． B． C． D． 题型三 三边关系的应用（共3小题） 7．已知a，b，c是三角形的三边，化简 ． 8．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D． 9．已知，，为的三条边，化简：= ． 题型四 三角形内角和的证明（共2小题） 10．在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法．    小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证： 证明：延长，过，点C作．   ，． ， ．    请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程． 11．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形三个内角的和等于”为主题开展数学活动．某小组三位同学在纸上画出三角形并剪下，然后通过观察、实验的方法得到了“三角形三个内角的和等于”的结论，实验方法如下： 实验方法1：将撕下，然后拼接摆放如图． 实验方法2：将撕下，然后拼接摆放如图． 实验方法3：将撕下，然后把点A和点C重合拼接摆放如图． 受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：方法1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用所学过的知识就可以解决问题了． 小明的证明过程如下： 已知：如图，求证： 证明：延长到D，过点C作． ∵， ∴___________（两直线平行，内错角相等），（　　） ∵（平角定义）． ∴． 请你参考小明解决问题的方法1的思路，从方法2和方法3中任选一种，画图并标注字母，写出证明该结论的过程． 题型五 内角和与外角和定理应用（共3小题） 12．如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数． 13．如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 14．如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)当时，的度数为_____； (2)求的度数（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 题型六 折叠问题（共3小题） 15．如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为 ． 16．如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则 ． 17．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    题型七 角平分线相关的计算（共3小题） 18．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 19．如图，是的角平分线，，交于，求． 20．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 题型八 直角三角形两锐角互余（共3小题） 21．在中，已知是直角，若，则的度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 22．在Rt△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B＝55°，则∠A的度数是（    ） A．55° B．45° C．35° D．25° 23．如图，是的上的高，平分，若，，求和的度数．    题型九 三角形的角平分线（共3小题） 24．如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为（　　） A．70 B．74 C．76 D．80 25．如图，CD，CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝ °． 26．如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则 cm． 题型十 三角形的中线（共3小题） 27．如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 28．如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为8，则图中阴影部分的面积为 ． 29．如图，在中，点D是边的中点，，的面积是4，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十一 三角形的高线（共3小题） 30．下列各图中，作边边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 31．下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 32．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 题型十二 全等三角形（共2小题） 33．如图，两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 34．如图，，点D、E、M在同一直线上，且，，则的长为 ． 题型十三 全等三角形综合（共2小题） 35．如图，在△ABC中，BA=BC．点D为△ABC 外一点，连接DA，∠DAC恰好为25°．线段AD沿直线AC翻折得到线段．过点C作AD的平行线交于点E，连接BE．    （1）求证：AE=CE； （2）求的度数． 36．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形． 37．如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明． 1 / 38zxxk.com 1 / 38zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角形 题型1 三角形三边关系 题型8直角三角形两锐角互余 题型2 求第三边的取值范围 题型9三角形的角平分线 题型3 三边关系的应用（易错点） 题型10三角形的中线 题型4 三角形内角和的证明 题型11三角形的高线 题型5 内角和与外角和定理应用 题型12全等三角形 题型6 折叠问题 题型13全等三角形综合（难点） 题型7角平分线相关的计算 题型一 三角形三边关系（共3小题） 1．下列各组线段中，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，解题关键是掌握三角形三边关系． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，能组成三角形，故C符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 2．下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（    ） A．3dm，5dm，8dm B．8cm，8cm，18cm C．3dm，3dm，5dm D．3cm，4cm，8cm 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A、 ，不能构成三角形，不符合题意； B、， 不能构成三角形，不符合题意； C、 ，能构成三角形，符合题意； D、， 不能构成三角形，不符合题意． 故选：C． 3．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（    ）． A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边之间的关系．三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．本题中只要把每组数中较小的两条边长相加，如果和大于最长的一条边，则三边即可组成三角形． 【详解】解：A、，、、不能组成三角形，故A选项不符合题意； B、，、、不能组成三角形，故B选项不符合题意； C、，、、能组成三角形，故C选项符合题意； D、，、、不能组成三角形，故D选项不符合题意； 故选：C． 题型二 求第三边的取值范围（共3小题） 4．若三角形的两边长分别是3和7，则第三边长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系定理是解题关键．根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系：， 解得：． 故答案为：． 5．已知三条线段的长分别是4，8，，若它们能构成三角形，则偶数的最大值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴偶数m的最大值是10． 故选：B． 6．若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三条边长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设它的第三条边长为， ∴， 解得：， ∴选项中不在此范围内，符合题意， 故选：． 题型三 三边关系的应用（共3小题） 7．已知a，b，c是三角形的三边，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系、化简绝对值和整式的加减，正确化简绝对值是解题的关键． 根据三角形三边关系得到，再化简绝对值，合并同类项即可求解． 【详解】∵，是一个三角形的三条边长， 故答案为：． 8．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值非负性、算术平方根的非负性以及三角形三边关系，由题意得；分类讨论若等腰三角形的三边长为：，若等腰三角形的三边长为：，利用三角形三边关系加以验证即可； 【详解】解：∵，， ∴； 若等腰三角形的三边长为：， ∵，不能构成三角形， ∴此种情况不存在； 若等腰三角形的三边长为：， 则等腰三角形的周长为：, 故选：A 9．已知，，为的三条边，化简：= ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可． 【详解】解：，，为的三条边 ， ， 故答案为：． 题型四 三角形内角和的证明（共2小题） 10．在证明“三角形的内角和是180°”的结论时，有如下两种实验方法．    小明受实验方法1的启发，形成了证明该结论的思路，写出了已知、求证，并进行了证明，如下： 已知：，，是的三个内角． 求证： 证明：延长，过，点C作．   ，． ， ．    请你参考小明的思路，写出实验方法2的证明过程． 【答案】见解析 【分析】过点A作，则，根据，等量代换即可得． 【详解】解：如图所示，过点A作，    ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握这些知识点． 11．综合与实践课上，老师让同学们以“三角形三个内角的和等于”为主题开展数学活动．某小组三位同学在纸上画出三角形并剪下，然后通过观察、实验的方法得到了“三角形三个内角的和等于”的结论，实验方法如下： 实验方法1：将撕下，然后拼接摆放如图． 实验方法2：将撕下，然后拼接摆放如图． 实验方法3：将撕下，然后把点A和点C重合拼接摆放如图． 受到实验方法1的启发，小明形成了证明该结论的想法：方法1的拼接方法直观上看，是把和移动到的右侧，且使这三个角的顶点重合，如果把这种拼接方法抽象为几何图形，那么利用所学过的知识就可以解决问题了． 小明的证明过程如下： 已知：如图，求证： 证明：延长到D，过点C作． ∵， ∴___________（两直线平行，内错角相等），（　　） ∵（平角定义）． ∴． 请你参考小明解决问题的方法1的思路，从方法2和方法3中任选一种，画图并标注字母，写出证明该结论的过程． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得到，再利用平角的定义得到，从而得到； 选择实验方法3进行证明，过C点作的平行线，如图1，根据平行线的性质得到，即，然后利用等量代换得到． 【详解】证明：延长到D，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：1；两直线平行，同位角相等； 选择实验方法3进行证明： 已知：如图， 求证： 证明：过C点作的平行线，如图1， ∵， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 题型五 内角和与外角和定理应用（共3小题） 12．如图，在中，平分，，垂足为，交于点，若，，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，垂直定义，等角的余角相等，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到， 由三角形的内角和定理得出，再根据三角形的外角定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．如图，中，D为边上一点，过D作，交于E；F为边上一点，连接并延长，交的延长线于G，且． (1)求证：平分； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形的外角定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，，，等量代换可得，即可得解； （2）根据三角形的内角和求出，即得，根据对顶角相等得到，再根据三角形的外角定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)当时，的度数为_____； (2)求的度数（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，三角形内角和为是解题的关键． （1）先根据题意得到，再由三角形内角和定理求出，则； （2）同理求出，则由三角形外角的性质得到； （3）先得到，再由三角形内角和定理得到，即可求出． 【详解】（1）解：，， ∴， ∵是中边上的高线， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是中边上的高线， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型六 折叠问题（共3小题） 15．如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质．由折叠的性质可得，由可得，由三角形外角性质可得，即可求解． 【详解】解：折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 故答案为：． 16．如图，和是分别沿着边翻折形成的，若，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查折叠性质、三角形的内角和定理和外角性质，先根据三角形的内角和定理，结合已知求得、的度数，再根据折叠性质求得，的度数，然后利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由折叠性质得，， ∴， 故答案为：80． 17．如图，在中，，，D、E分别在、上，将沿折叠得，且满足，则 ．    【答案】/76度 【分析】本题考查了直角三角形的性质，图形的折叠，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 先求出，根据折叠的性质得到，由平行的性质得到，然后根据平角的定义得，据此可得的度数． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型七 角平分线相关的计算（共3小题） 18．如图，已知：点是内一点，，分别平分，． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图①，求证：大于； (3)如图②，作外角，的平分线，相交于点．试探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出，再根据角平分线的定义，即可求解； （2）延长交于D，如图所示，根据三角形的外角性质可得，，即可求证； （3）根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和即可解答． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵，分别平分，， ∴，， ∴； （2）解：延长交于D，如图所示： ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵的外角，的角平分线交于点Q， ∴，， ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线，解题的关键是掌握三角形的内角和为，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 19．如图，是的角平分线，，交于，求． 【答案】 【分析】考查的是平行线的性质、角平分线的性质及三角形内角与外角的关系，根据三角形外角的性质得到的度数是关键； 利用三角形的外角性质先求，再根据角平分线的定义，可得，运用平行线的性质得的度数． 【详解】∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 20．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1)30° (2)25° 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义和三角形外角的性质，根据已知得出度数是解题关键． （1）直接根据角平分线的定义以及三角形内角和定理可得答案； （2）根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质可的结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴． 题型八 直角三角形两锐角互余（共3小题） 21．在中，已知是直角，若，则的度数是（　　） A．55° B．45° C．35° D．25° 【答案】A 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，进行计算即可． 【详解】解：在中，是直角， ， ∴的度数是； 故选A． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，是解题的关键． 22．在Rt△ABC中，已知∠ACB是直角，∠B＝55°，则∠A的度数是（    ） A．55° B．45° C．35° D．25° 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵∠ACB是直角， ∴∠ACB=90°， ∵∠B＝55°， ∴∠A=90°-∠B=35°． 故选：C 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 23．如图，是的上的高，平分，若，，求和的度数．    【答案】， 【分析】由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故∠，． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴． ∵是的上的高，， ∴； ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义，属于简单题，熟悉三角形的内角和是180°是解题关键． 题型九 三角形的角平分线（共3小题） 24．如图，直线，点A，B分别是，上的动点，点G在上，，和的角平分线交于点D，若，则m的值为（　　） A．70 B．74 C．76 D．80 【答案】D 【分析】先由平行线的性质得到，再根据三角形内角和定理和角平分线的定义求出m的值． 【详解】解：过点C作， ，， ， ， ， ， 由题意可得为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质和三角形内角和定理是解题的关键． 25．如图，CD，CE 分别是△ABC 的高和角平分线，∠A＝28°，∠B＝52°，则∠DCE＝ °． 【答案】12 【分析】根据三角形内角和定理得∠ACB=100°，再由角平分线定义得∠ACE=50°，利用三角形外角的性质得∠CED=78°，再利用角的和差关系得出答案． 【详解】解：∵∠A=28°，∠B=52°， ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-28°-52 °=100°， ∵CE是△ABC的角平分线， ∴∠ACE=∠ACB=50°， ∴∠CED=∠A+∠ACE=28°+50°=78°， ∵CD是高， ∴∠CDE=90°， ∴∠DCE=90°−∠CED=90°−78°=12°， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 26．如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则 cm． 【答案】30 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到，证出，同理，则的周长即为，可得出答案． 【详解】解：， ， 平分， ， 同理：， 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出，是解题的关键． 题型十 三角形的中线（共3小题） 27．如图，中，是上的中线，是中边上的中线，若的面积是，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形面积的求法，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积．据此求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是上的中线， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∵的面积是， ∴， ∴的面积是． 故答案为：． 28．如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为8，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据中线平分三角形的面积，进行求解即可． 【详解】解：∵点D、E、F分别为边、、的中点， ∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：阴影部分的面积为2． 故答案为：2． 29．如图，在中，点D是边的中点，，的面积是4，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与相交于点O，连接，根据三角形的中线性质可得，，从而可得，再根据已知可得，从而可得，然后根据图形面积的和差关系进行计算，即可解答， 本题考查了三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：设与相交于点O，连接 ∵点D是边的中点，的面积是4， ∴， ，故B不正确，不符合题意， ∵， ∴， ∴，故C不正确，不符合题意， ∵，， ∴，故A不正确，不符合题意， ，故D正确，符合题意， 故选：D． 题型十一 三角形的高线（共3小题） 30．下列各图中，作边边上的高，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，据此求解即可． 【详解】解：由三角形的高的概念可知， Ａ、不是点B到边上的垂线段，不正确； Ｂ、不是点B到边上的垂线段，不正确； Ｃ、不是点B到边上的垂线段，不正确； Ｄ、是点B到边上的垂线段，正确； 故选：D． 31．下列四个图中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高线定义即可得出答案． 【详解】解：根据三角形的高线定义可知，选项D中的线段是的高， 故选：D 32．用三角板作的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了画三角形的高，过三角形的一个顶点作其对边的垂线，顶点与垂足的连线段叫做对边上的高，据此可得答案． 【详解】解：由三角形高的定义可得，四个选项中只有D选项中的图形符合题意， 故选：D． 题型十二 全等三角形（共2小题） 33．如图，两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 根据两个三角形全等即可得出的对边为，进而可得出，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴对边为， ∴， 故选：． 34．如图，，点D、E、M在同一直线上，且，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．利用全等三角形的性质可得，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：12． 题型十三 全等三角形综合（共2小题） 35．如图，在△ABC中，BA=BC．点D为△ABC 外一点，连接DA，∠DAC恰好为25°．线段AD沿直线AC翻折得到线段．过点C作AD的平行线交于点E，连接BE．    （1）求证：AE=CE； （2）求的度数． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）由翻折的性质可得∠DAC=∠EAC=25°，由平行线的性质可得∠DAC=∠ACE=25°，根据等量代换和等边对等角即可证明； （2）根据三角形内角和定理可得∠AEC=130°，利用SSS可以证明，根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CEB ，易得结果． 【详解】（1）证明：由题意可知∠DAC=∠EAC=25° ∴ ∴∠DAC=∠ACE=25° ∴∠EAC=∠ACE ∴AE=CE （2）由（1）可知， ∵在△AEB和△CEB中 ∴ ∴∠AEB=∠CEB ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，利用折叠的性质和平行线的性质得出∠EAC=∠ACE是本题的关键． 36．在正方形网格中，网格线的交点叫做格点，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形． （1）在图1中计算格点三角形的面积是__________；（每个小正方形的边长为1） （2）是格点三角形． ①在图2中画出一个与全等且有一条公共边的格点三角形； ②在图3中画出一个与全等且有一个公共点A的格点三角形． 【答案】（1）6；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）用割补法求解即可； （2）根据“SSS”画图即可； （3）根据“SSS”画图即可； 【详解】解：（1）5×3-×3×3-×2×2-×5×1=6， 故答案为：6； （2）①如图，即为所求， ②如图，即为所求， 【点睛】本题考查了“格点三角形的定义”以及全等三角形的判定方法，熟练掌握“SSS”是解答本题的关键． 37．如图（1）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到图（2）的位置时，、、有怎样的关系？并加以证明． 【答案】(1)①见解析  ②见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了余角的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）①根据证明即可得证． ②根据，利用全等的性质证明即可； （2）根据证明即可得证． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵ ∴． 1 / 10zxxk.com 1 / 10zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $