第4章 §4.1 第2课时 数列的递推公式（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦数列的递推公式、由递推公式求通项公式及数列的单调性与最值，通过剧场座位数实例导入，承接上节课数列概念与通项公式，以问题链引导学生发现相邻项关系，配合知识梳理、例题解析及跟踪训练搭建学习支架。 其亮点在于结合数学眼光观察现实问题，如周期数列求项，运用归纳、累加等数学思维方法推导通项，通过符号表达与公式推导强化数学语言。实例丰富且方法系统，助力学生培养逻辑推理能力，教师可借助此资料提升教学效率。

第2课时 第4章 <<< 数列的递推公式 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项. 2.进一步理解数列与函数的关系. 学习目标 同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时的问题1. 导 语 一、数列的递推公式 二、由递推公式求通项公式 课时对点练 三、数列的单调性与最值 随堂演练 内容索引 数列的递推公式 一 提示　20,22,24,26,28. 写出前五排座位数. 问题1 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位. 提示　第n＋1排比第n排多2个座位. 第n排与第n＋1排座位数有何关系？ 问题2 提示　能.an＋1＝an＋2. 第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ 问题3 一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用_________来表示，那么这个公式就叫作这个数列的_________. 一个公式 递推公式 知识梳理 通项公式反映的是an与n之间的关系；递推公式反映的是数列中任意两个或多个相邻项之间的推导关系，根据数列中的首项(或前几项)和递推公式，即可依次求出数列中的每一项. 注 意 点 <<< 10 例 1 … 所以{an}是周期为4的数列， 11 递推公式反映的是相邻两项(或多项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性. 反 思 感 悟 12 跟踪训练 1 √ 13 二 由递推公式求通项公式 例 2 √ 15 方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为 又a1＝1， 16 a1＝1， 17 … 18 √ 19 反 思 感 悟 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式. (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； ②an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的，且不为0)，使用累乘法或迭代法. 由递推公式求通项公式的常用方法 跟踪训练 2 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 又a1＝1也符合上式， 21 ＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式， 所以an＝en－1，n∈N*. (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 22 数列的单调性与最值 三 在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？ 提示　函数. 问题4 24 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为正整数的函数. 知识梳理 25 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式. (2)数列还可以用列表法、图象法表示. 注 意 点 <<< 26 　　　已知数列{an}的通项公式是an＝　　　　　　n∈N*.试问该数列有 没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 例 3 27 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 则a1<a2<a3<…<a9＝a10 且a10>a11>a12>…， 28 解得9≤n≤10. 又n∈N*，则n＝9或n＝10. 29 反 思 感 悟 (1)研究数列单调性的方法 ①定义法：通过判断an＋1－an与0的大小关系来得出an＋1与an的大小关系，从而得到an的单调性. ②转化为函数的单调性：令an＝f(n)，通过研究函数f(x)的单调性来确定f(n)即an的单调性. (2)求数列最值的方法 ①数列的单调性法：通过研究通项公式an的单调性来研究最大(小)项. 反 思 感 悟 　　　　　已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是 A.3 　　　B.4 　　　　C.5 　　　　D.6 跟踪训练 3 √ 因为an＝(n2－6n＋9)－4＝(n－3) 2－4， 所以当n＝3时，an取得最小值. 32 1.知识清单： (1)数列的递推公式. (2)由递推公式求数列的通项公式. (3)数列的单调性与最值. 2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法. 3.常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式. 课堂小结 随堂演练 四 1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为 A.5 　　　　B.6 　　　　C.7 　　　　D.8 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8. √ 1 2 3 4 A.是常数列 B.不是单调数列 C.是递增数列 D.是递减数列 由反比例函数的性质得{an}是递减数列. √ 1 2 3 4 3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 024的值为 √ 1 2 3 4 an·an＋2＝an＋1(n∈N*)， 由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1， 由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，所以a2 024＝a337×6＋2＝a2＝2. 4.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，则该数列从第____项开始递增，该数列的最小值为______. an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36， 即这个数列有最小值，最小值为－36. 1 2 3 4 4 －36 课时对点练 五 1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是 A.15 　　　　B.255 　　　　C.16 　　　　D.63 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63， a5＝255. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以数列{an}是一个周期为3的周期数列， 故a2 024＝a674×3＋2＝a2＝－1. 4.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于 A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋1－an＝－1. ∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n. 当n＝1时，a1＝2也符合上式. 故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*). 5.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是 A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2 D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 结合图形易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4， ∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2. A.不是单调数列 B.是递减数列 C.是递增数列 D.是常数列 所以{an}是递增数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 7.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝______. a1a2…a8＝82， 　① a1a2…a9＝92， 　② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，且数列{an}的通项公式是关于n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设an＝kn＋b(k≠0)， ∴an＝4n－2，n∈N*. (2)求a2 024. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a2 024＝4×2 024－2＝8 094. (1)求a2，a3，a4； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … 54 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n＝1时，a1＝1满足上式， 55 11.数列{an}的通项公式为an＝kn2＋n＋1，则“k>　 ”是“{an}为递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 由题意得数列{an}为递增数列等价于对任意n∈N*，an＋1－an＝[k(n＋1)2＋n＋2]－(kn2＋n＋1)＝2kn＋k＋1>0恒成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.4 　　　B.3＋10lg 3 　　　C.13 　　　D.12＋2lg 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a10＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a10－a9) ＝3＋lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋…＋lg 10－lg 9 ＝3－lg 1＋lg 10＝3＋1＝4. 13.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022等于 A.a2 021 B.a2 022 C.a2 023 D.a2 024 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)， 则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 022＝a5＋a6＋…＋a2 022＝a2 021＋a2 022＝a2 023. 14.若数列{an}满足a1＝2，a2＝3，an＋an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 023的值为_____. 由题意知a1＋a3＝a2，则a3＝a2－a1＝1，a2＋a4＝a3，则a4＝a3－a2＝－2，a3＋a5＝a4，则a5＝a4－a3＝－3，a6＝a5－a4＝－1，a7＝a6－a5＝2，a8＝a7－a6＝3，…， ∴数列{an}为周期数列，且周期T＝6，又2 023＝6×337＋1， ∴a2 023＝a1＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 拓广探究 15.在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝______. 依题意得数列{an}是周期为3的数列， 且a1＝1，a2＝2，a3＝4， 因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 若a4＝4，求m所有可能的取值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故m所有可能的取值为4,5,32. 64 所以a2 023＝a4×505＋3＝a3＝－. 　若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 023. 因为a1＝2，an＋1＝，n∈N*， 所以a2＝＝＝－3，a3＝＝＝－， a4＝＝＝，a5＝＝＝2＝a1， 　 已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列的第3项是 A.1 B. C. D. 因为a1＝1，an＋1＝an＋，则a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝. 　(1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，则an等于 A. B. C. D. 由此可得数列的一个通项公式为an＝. a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝， a3＝＋－＝2－＝， a4＝＋－＝2－＝， a5＝＋－＝2－＝， 方法三　(累加法)　an＋1－an＝－， 方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－，a3＝a2＋－，…， an＝an－1＋－(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2). 又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). 因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). a2－a1＝1－，a3－a2＝－，a4－a3＝－， an－an－1＝－(n≥2)， 以上各项相加得an＝1＋1－＋－＋…＋－. 所以an＝(n≥2). (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an(n∈N*)，则an等于 A.n＋1 B.n C. D. 由题意，因为数列{an}满足an＋1＝an(n∈N*)，所以＝， 所以an＝··…···a1＝××…×××1＝. ＝－＋1. 所以an＝－＋1，n∈N*. 　(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an. 因为an＝an－1＋－(n≥2)， 所以an－an－1＝－. ＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1 因为ln an－ln an－1＝1，所以ln ＝1， 即＝e(n≥2). 所以an＝··…··a1 (n＋1)·n， 方法一　an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9. 方法二　根据题意，令 即 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×9. ②不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值. 在数列{an}中，an＝＝1＋， 2.在数列{an}中，an＝，则{an} 由a5＝，a6＝，得a7＝1，由a6＝，a7＝1，得a8＝2， A.2 B.1 C. D. 由a3＝2，a4＝1，得a5＝，由a4＝1，a5＝，得a6＝， 因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，故数列{an}从第4项开始递增. 2.数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是 A.an＋1＝2an B.an＋1＝－2an C.an＋1＝an D.an＋1＝－an 3.在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n∈N*)，则a2 024等于 A. B.－1 C.2 D.3 当n＝1时，a2＝1－＝－1， 当n＝2时，a3＝1－＝2， 当n＝3时，a4＝1－＝＝a1，…， 因为an＋1－an ＝－＝>0， 6.已知数列{an}的通项公式是an＝，则{an} ②÷①得，a9＝＝. 8.若数列{an}的通项公式为an＝n－7(n∈N*)，则该数列中的最小项的值为__________. 12－14 令＝t(t>0)， 则y＝t2－7t＝2－，对称轴为直线t＝， 由复合函数的单调性可知，an在上单调递减，在上单调递增， 又n∈N*，当n＝12时，a12＝12－14； 当n＝13时，a13＝13－7， 因为12－14<13－7，所以最小项的值为12－14. 则有解得 10.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*). ∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝＝， a3＝＝， a4＝＝. ∴当n≥2时，－＝，－＝， －＝， ∴－＝(n－1)， ∴＝(n－1)＋＝. 由an＋1＝得＝＝＋，即－＝， ∴an＝(n∈N*). ∴an＝， － 即k>－对任意n∈N*恒成立， 因为－<0，且当n→＋∞时，－→0，所以k≥0， 所以“k>－”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件. 12.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋lg，则a10等于 依题意，在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋lg， 即an＋1－an＝lg ＝lg(n＋1)－lg n， 16.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝ 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)， 若a1为偶数，则＝2，a1＝4； 若a3为偶数，则＝4，a3＝8. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)， 若a2为偶数，则＝1，a2＝2. 若a1为偶数，则＝16，a1＝32. 若a2为偶数，则＝8，a2＝16. $