第2章 §2.2 直线与圆的位置关系（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线与圆的位置关系，通过“位置关系类型判断切线方程求解弦长计算”的问题链导入，以表格梳理相交相切相离的特征，结合例题示范几何法与代数法，构建从概念到应用的学习支架。 其亮点在于融合数学思维与数学语言，如例1对比距离半径关系与判别式推理培养逻辑思维，例2分点在圆上圆外讨论切线渗透分类思想，结合台风影响问题体现数学眼光。练习分层且解析详尽，助力教师高效教学，提升学生直观想象与问题解决能力。

§2.2 第2章 <<< 直线与圆的位置关系 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离. 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(重点) 学习目标 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系. 导 语 一、直线与圆位置关系的判定 二、直线与圆相切的有关问题 课时对点练 三、直线截圆所得弦长问题 随堂演练 内容索引 直线与圆位置关系的判定 一 提示　相离、相切、相交. 直线与圆有哪几种位置关系？ 问题1 如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 问题2 提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解，或转化为圆心到直线的距离与半径大小的关系. 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 ____个 ___个 ____个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 d r d r d r 判定方法 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ 0 Δ 0 Δ 0 两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜ 知识梳理 直线与圆的位置关系常用几何方法判断. 注 意 点 <<< 9 已知直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝2，当b为何值时，直线与圆有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？ 例 1 10 消去y得2x2＋2bx＋b2－2＝0， 判别式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2). 当－2＜b＜2时，Δ＞0，直线与圆有两个公共点. 当b＝2或b＝－2时，Δ＝0，直线与圆只有一个公共点. 当b＜－2或b＞2时，Δ＜0，直线与圆没有公共点. 11 当d＜r，|b|<2，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，直线与圆有两个公共点. 当d＝r，|b|＝2，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，直线与圆只有一个公共点. 当d＞r，|b|＞2，即b＜－2或b＞2时，直线与圆相离，直线与圆没有公共点. 12 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断该定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系，但此方法有一定的局限性，必须是过定点的直线系，且该定点要在圆内部，当定点在圆外部或圆上时，还需要用前两个方法判断. 直线与圆的位置关系的判断方法 反 思 感 悟 13 　(1)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则 A.l与C相交 B.l与C相切 C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能 跟踪训练 1 √ 14 将点P(3,0)代入圆的方程， 得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P(3,0)在圆内. ∴过点P的直线l必与圆C相交. 15 (2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是 A.(0,2] 　　B.(1,2] 　　C.(0,2) 　　D.(1,2) √ ∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. 16 二 直线与圆相切的有关问题 　 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为 A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0 C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0 例 2 √ 由题意知x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，且点P在圆上， ∴切线方程为y－3＝－2(x－3)， 即2x＋y－9＝0. 18 (2)过点A(－1,4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为_______________________. y＝4或3x＋4y－13＝0 19 因为(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1， 所以点A在圆外. 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足题意. 设直线l的斜率为k，则切线l的方程为y－4＝k(x＋1)， 即kx－y＋4＋k＝0. 因此，所求直线l的方程为y＝4或3x＋4y－13＝0. 20 反 思 感 悟 (1)点(x0，y0)在圆上. ①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为　　，由点斜式可得切线方程. ②若斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0. 直线倾斜角的概念和范围 反 思 感 悟 (2)点(x0，y0)在圆外. ①当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程. ②过圆外一点的切线有两条.当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况. (1)经过点(5,15)，可作圆x2＋y2＝r2的两条切线，已知其中一条切线的方程为x＝5，则另一条切线的一般式方程为_________________. 跟踪训练 2 4x－3y＋25＝0 23 由题意得圆x2＋y2＝r2的圆心为(0,0)，r＝5， 设另一条切线的方程为y－15＝k(x－5)， 即kx－y－5k＋15＝0， 24 (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为 √ 25 直线截圆所得弦长问题 三 求直线与圆相交时弦长的两种方法： 知识梳理 (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， ＝________________，或AB＝_______________(直线l的斜率k存在且不为0). 知识梳理 (1)弦长公式的前提是判别式大于零. (2)斜率不存在时AB＝|y1－y2|. 注 意 点 <<< 29 例 3 30 31 则OM⊥AB(O为坐标原点)， 32 (2)过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程. 33 圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25， ①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意； ②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0. 34 反 思 感 悟 (1)求直线与圆的弦长的三种方法：代数法、几何法及弦长公式. (2)利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况. 　　　　　直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦长为4　 ，求l的方程. 跟踪训练 3 36 根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y－5＝k(x－5)，与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)， 消去y， 得(k2＋1)x2＋10k(1－k)x＋25k(k－2)＝0. 由Δ＝[10k(1－k)]2－4(k2＋1)·25k(k－2)>0， 解得k＞0. 37 由斜率公式，得y1－y2＝k(x1－x2). 故直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 38 方法二　如图所示，OH是圆心到直线l的距离，OA是圆的半径，AH是弦长AB的一半. 在Rt△AHO中，OA＝5， ∴直线l的方程为x－2y＋5＝0或2x－y－5＝0. 39 1.知识清单： (1)直线与圆的三种位置关系. (2)圆的切线方程. (3)弦长公式. 2.方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法. 3.常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是 A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 √ 1 2 3 4 又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0). ∴直线与圆相交但不过圆心. 1 2 3 4 2.(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是 A.－2 　　B.－12 　　C.2 　　D.12 √ √ 圆的方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 1 2 3 4 4 1 2 3 4 4.若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离，则m的取值范围是___________ _______. m＜－2或 m＞2 因为直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝2相离， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是 A.相切 　　 B.相交 　　C.相离 　　D.不确定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， ∴a2＋b2＞1. 则直线与圆O的位置关系是相交. 2.已知圆(x－2)2＋y2＝9，则过点M(1,2)的最长弦与最短弦的弦长之和为 A.4 　　　 B.6 　　　C.8 　　　D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 3.(多选)若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2　 ，则实数a的值为 A.－1 　　　B.3 　　　 C.0 　　　D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若直线l：x－3y＋n＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＝0交于A，B两点，A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则实数m的值为 A.1 　　 B.－1 　　C.－3 　　D.3 √ 由题意得圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心C的坐标为(－1,2)，由题意可得A，B关于直线3x＋y＋m＝0对称，则直线3x＋y＋m＝0过圆心，所以3×(－1)＋2＋m＝0，解得m＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)， 设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k＝0(k>0)， 则当该直线与圆O相切时，小路长度最小， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 点(－2,3)关于x轴的对称点Q的坐标为(－2，－3)， 圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)， 半径r＝1. 设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k， 则切线方程为y＝k(x＋2)－3， 即kx－y＋2k－3＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为____________. x－y＋5＝0 由圆的方程可得，圆心为P(－1,2)， 所以直线方程为y－3＝x＋2， 即x－y＋5＝0. 8.过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)， 即x＋y－1＝0， 9.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)， 即kx－y－4k－1＝0， 所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)， 其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)， 因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为 A.x2＋y2－2y－2＝0 B.x2＋y2＋2y－2＝0 C.x2＋y2－2y－1＝0 D.x2＋y2＋2y－1＝0 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1)， 且直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积， 则点(0，－1)是圆C的圆心， 又圆C与直线x＋y＋3＝0相切， 因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2， 即x2＋y2＋2y－1＝0. 12.已知坐标原点到直线l的距离为2，且直线l与圆(x－3)2＋(y－4)2＝49相切，则满足条件的直线l有 A.1条 　　　B.2条　　　 C.3条 　　　D.4条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　显然直线l有斜率， 即b2＝4(k2＋1)， 　① 又直线l与圆相切， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故满足条件的直线l只有一条. 方法二　如图，设圆心为P(3,4)， 则OP＝5，又O到直线l的距离为2，且半径为7， P到l的距离为7， 即当OP⊥l时符合题意， 且只有这种情况符合题意， 故满足条件的直线l只有一条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆M的标准方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝52， 圆心M(3，－4)，半径为5，要满足题意， 14.在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝　相交于A，B两点，且△ABC为正三角形，则实数a的值是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线与圆心为C的圆相交于A，B两点， 且△ABC为正三角形，圆心C(1，a)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分. 其他位置符合条件时需－1＜b≤1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2.且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为 (1)求圆C的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求所有定点的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(m，－m－4)， ∵PA为圆C的切线， ∴PA⊥AC， 即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆. 设圆上任一点Q(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0， ∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2,0). d＝ 方法一　由 方法二　圆的半径r＝，圆心O(0,0)到直线y＝x＋b的距离为d＝. 由题意得，圆心到直线的距离为d＝>， ∴kPC＝，∴切线的斜率k＝－2， 圆心(2,3)到切线l的距离为＝1， 解得k＝0或k＝－， － 所以＝5，解得k＝， 所以另一条切线的方程为x－y－＋15＝0，即4x－3y＋25＝0. A.1 　　　B.2 　　　 C. 　　　　 D.3 圆心C(3,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝2. 所以切线长的最小值为l＝＝. (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为AB，则有2＋d2＝r2， 即AB＝___________. 2 则AB＝ |x1－x2| |y1－y2| (1)求直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长. 所以公共点的坐标为(－，1)，(0,2)， 所以直线x－y＋2＝0被圆x2＋y2＝4截得的弦长为＝2. 方法一　直线x－y＋2＝0和圆x2＋y2＝4的公共点坐标就是方程组 的解. 解这个方程组，得 所以AB＝2AM＝2＝2＝2. 方法二　如图，设直线x－y＋2＝0与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，弦AB的中点为M， 又OM＝＝， 由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3. 由点到直线的距离公式，得3＝， 解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0. 方法一　联立方程组 两边平方，整理得2k2－5k＋2＝0，解得k＝或k＝2，符合题意. 又x1＋x2＝－，x1x2＝， 则AB＝＝ ＝ ＝＝4. ∴＝， 解得k＝或k＝2.  AH＝AB＝×4＝2， 则OH＝＝. 圆心到直线的距离d＝＝<1. 由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1，解得b＝2或b＝12. 3.直线x＋2y－5＋＝0被圆x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为______. 圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1,2)到直线x＋2y－5＋＝0的距离d＝＝1，所以弦长为2＝4. 所以>，解得m<－2或m>2. ∴圆心O(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r， 设圆心为C，则C(2,0)，过点M的弦为直径时，长度最长为2×3＝6，过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，最短为2＝2＝4，所以6＋4＝10. 设圆的弦长为l，半径为r，圆心到直线的距离为d，则l＝2， 由弦长为2，可得d＝， 即＝，解得a＝0或a＝4. 5.如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m) A.100 B.100 C.150 D.150 此时＝45， 解得k＝1(负值舍去)，此时求得小路长度为100 m. A.或 B.或 C.或 D.或 所以圆心(3,2)到切线的距离d＝＝r＝1，解得k＝或k＝. 所以kPC＝＝－1，故直线l的斜率为k＝1， 圆心O(0,0)到直线l的距离为d＝＝， 则有AB＝2＝2 ＝. 则＝2，解得k＝－， 圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，即4x＋7y－28＝0. 圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝＝，而半径r＝3， 则圆C的半径r＝＝. 设l：y＝kx＋b，则＝2， 所以＝7， ② 联立①②得，k＝－，b＝－， 所以直线l的方程为y＝－x－. 13.若圆M：x2＋y2－6x＋8y＝0上至少有3个点到直线l：y－1＝k(x－3)的距离为，则k的取值范围是 A.[－，0)∪(0，] B.[－，] C.(－∞，－]∪[，＋∞) D.(－∞，－)∪(，＋∞) 由圆的几何性质得圆心M(3，－4)到直线l：y－1＝k(x－3)的距离不超过，则≤， 解得k2≥3，即k≥或k≤－. 半径r＝＝， 所以圆心到直线ax＋y－2＝0的距离d＝＝，解得a＝0. 15.若直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足 A.|b|＝ B.－1＜b≤1或b＝－ C.－1≤b＜1 D.非以上答案 曲线x＝含有限制条件，即x≥0， 在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示. 相切时，b＝－， 2. 设圆心C(a,0)(a>0)，则圆心到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝， 由题意可得，d2＋()2＝22，即＋3＝4， 解得a＝2或a＝－(舍去). 则·＝0， ∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)， ∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0， 令 解得或 $