第2章 §2.1 第3课时 轨迹问题（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦轨迹问题，系统讲解定义法、直接法、代入法求轨迹方程。通过“轨迹与轨迹方程区别”的问题导入，结合圆的定义等旧知，以问题链搭建学习支架，衔接三种方法的探究。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言。定义法例1借几何直观发现轨迹为圆，直接法例2通过逻辑推理列距离比方程，代入法例3用坐标转化培养模型意识。跟踪训练与分层练习结合，学生能深化理解并解决实际问题，教师可高效实施教学。

第3课时 第2章 <<< 轨迹问题 1.掌握定义法求轨迹方程. 2.掌握直接法求轨迹方程.(重点) 3.理解代入法求轨迹方程.(难点) 学习目标 一、定义法求轨迹方程 二、直接法求轨迹方程 课时对点练 三、代入法求轨迹方程 随堂演练 内容索引 定义法求轨迹方程 一 提示　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式. 轨迹和轨迹方程有什么区别？ 问题 满足条件的点M所构成的 即为动点M的轨迹，对应的 即为动点M的轨迹方程. 曲线 方程 知识梳理 　　 已知圆C：x2＋y2＝5，过点M(2,0)的直线与圆C交于A，B两点，求弦AB的中点的轨迹方程. 例 1 7 如图，设P为弦AB的中点， 则CP⊥AB，取线段CM的中点D， 当直线AB的斜率不存在及斜率为0时，P分别与M，C重合，亦有PD＝1. 故弦AB的中点P的轨迹是以D(1,0)为圆心，1为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝1. 8 (1)当动点满足到定点的距离等于定长时，直接求圆心、半径得圆的方程. (2)注意轨迹与轨迹方程不同. 反 思 感 悟 9 　如图所示，长度为6的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段AB的中点M的轨迹方程为__________. x2＋y2＝9 跟踪训练 1 连接OM(图略)，设M(x，y)，因为△AOB是直角三角形，所以OM＝ AB＝3为定值，故M的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，故线段AB的中点M的轨迹方程为x2＋y2＝9. 10 二 直接法求轨迹方程 　已知动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为 ，则动点M的轨迹方程为__________________. 例 2 x2＋y2＋2x－3＝0 设动点M(x，y)， 化简得点M的轨迹方程为x2＋y2＋2x－3＝0. 12 反 思 感 悟 直接法求轨迹方程，就是设出动点的坐标(x，y)，然后根据题目中给出的等量关系或通过已知条件找到的等量关系，列出x，y之间的关系并化简，得出方程. 提醒：求出曲线的方程后要注意验证方程的纯粹性和完备性. 直接法求轨迹方程的两种常见类型及解题策略 　　　　　已知点B(1,1)是圆x2＋y2＝4内的一点，P，Q为圆上的动点.若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程. 跟踪训练 2 14 设线段PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，PN＝BN. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2， ∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4， 整理得x2＋y2－x－y－1＝0， ∴线段PQ的中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 15 代入法求轨迹方程 三 　已知动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求点P的轨迹方程. 例 3 设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点， 又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1， ∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1. 17 反 思 感 悟 代入法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x，y)，相关动点M(x0，y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理，得所求轨迹方程. 其步骤可总结为“一设、二找、三代、四整理”. 　　　　　已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程. 跟踪训练 3 19 以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)， 则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0). ∵AD＝3， 将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36. 20 ∵点C不能在x轴上，∴y≠0. 综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心， 6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点. 轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0). 21 1.知识清单： (1)定义法求轨迹方程. (2)直接法求轨迹方程. (3)代入法求轨迹方程. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：将求轨迹方程与求轨迹混淆. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若Rt△ABC的斜边的两端点A，B的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C的轨迹方程为 A.x2＋y2＝25(y≠0) B.x2＋y2＝25 C.(x－2)2＋y2＝25(y≠0) D.(x－2)2＋y2＝25 √ 1 2 3 4 线段AB的中点为(2,0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点， 即(x－2)2＋y2＝25(y≠0). 1 2 3 4 2.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是 A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1 √ 1 2 3 4 设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)， 因为点Q在圆x2＋y2＝4上， 化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1. 3.已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，则点M的轨迹方程是_____________. 1 2 3 4 x2＋y2＝16 设M(x，y)， 整理可得点M的轨迹方程为x2＋y2＝16. 1 2 3 4 4.设圆x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是_______________________. x2＋y2－4x＋2y＋1＝0 由条件知A(2，－1)，设M(x，y)， 则P(2x－2,2y＋1)，由于P在圆上， 则(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0， 整理得x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 课时对点练 五 1.已知A，B是圆O：x2＋y2＝16上的两点，且AB＝6，若以AB为直径的圆M恰好经过点C(1，－1)，则圆心M的轨迹方程是 A.(x－2)2＋(y＋1)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝9 C.(x＋1)2＋(y－1)2＝9 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是 A.点 　　　B.直线 　　　 C.线段 　　　D.圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，∴(1－a)2＋(0－b)2＝1， ∴(a－1)2＋b2＝1， ∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆. 3.在平面内，A(－a,0)，B(a,0)，C是动点，若　　　＝2，则点C的轨迹为 A.线段 　　 B.射线 　　 C.圆 　　 D.直线 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设C(x，y)， 得(x－a)(x＋a)＋y2＝2， 即x2＋y2＝a2＋2，所以点C的轨迹为圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是 A.x2＋y2＝4 B.x2－y2＝4 C.x2＋y2＝4(x≠±2) D.x2－y2＝4(x≠±2) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x，y)，由条件知PM⊥PN，且PM，PN的斜率肯定存在，故kMP·kNP＝－1. 即x2＋y2＝4，又当P，M，N三点共线时，不能构成三角形，所以x≠±2，即所求轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A，B的距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M的轨迹是圆.若两定点A，B的距离为3，动点M满足MA＝2MB，则点M的轨迹围成区域的面积为 A.π 　　　B.2π 　　　C.3π 　　　D.4π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则可取B(3,0). 设M(x，y)， 即(x－4)2＋y2＝4， 故点M的轨迹为圆，该圆的面积为4π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2)，底边的一个端点是B(3,5)，则底边另一个端点C的轨迹方程是 A.(x－4)2＋(y－2)2＝10 B.(x＋4)2＋(y－2)2＝10 C.(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5) D.(x＋4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又点A，B，C构成三角形，即三点不可共线， 则轨迹中需去掉点B(3,5)及点B关于点A对称的点(5，－1)， 所以点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(x≠3，x≠5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知圆O：x2＋y2＝4及一点P(－1,0)，Q在圆O上运动一周，PQ的中点M形成轨迹C，则轨迹C的方 程为_______________. 设M(x，y)，则Q(2x＋1,2y)， 因为Q在圆x2＋y2＝4上， 8.圆x2＋y2＝8内有一点P(2，－1)，AB为过点P的弦，则AB的中点Q的轨迹方程为___________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x2＋y2－2x＋y＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设AB的中点为Q(x，y)， 若斜率存在且不为0， 所以kOQ·k＝－1， 点(2，－1)，(2,0)，(0,0)，(0，－1)也满足， 所以点Q的轨迹方程为x2＋y2－2x＋y＝0. 9.在边长为1的正方形ABCD中，边AB，BC上分别有一个动点Q，R，且BQ＝CR.求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系. 如图所示，则点A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)， 设动点P(x，y)，Q(t,0)(0≤t≤1)， 由BQ＝CR知，AQ＝BR，则R(1，t). 当t≠0时，直线AR：y＝tx， ① 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当t＝0时，点P与原点重合，坐标(0,0)也满足上述方程. 故点P的轨迹方程为x2＋y2－y＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知圆C：x2＋y2－8x＋12＝0，点O是坐标原点，点A是圆C上一动点. (1)求线段OA的中点M的轨迹方程； 设M(x，y)，则A(2x,2y)，因为点A在圆C上，所以4x2＋4y2－16x＋12＝0，化简得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1. 所以点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1，它是圆心为D(2,0)，半径为1的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在等腰三角形ABC中，若一腰的两个端点分别是A(4,2)，B(－2,0)，A为顶点，则另一腰的一个端点C的轨迹方程是 A.x2＋y2－8x－4y＝0 B.x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10) C.x2＋y2＋8x＋4y－20＝0(x≠－2，x≠10) D.x2＋y2－8x－4y＋20＝0(x≠－2，x≠10) √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设另一腰的一个端点C的坐标为(x，y)， 由题设条件知AC＝AB，即(x－4)2＋(y－2)2＝(4＋2)2＋(2＋0)2，x≠10，x≠－2. 整理，得x2＋y2－8x－4y－20＝0(x≠－2，x≠10)，即为端点C的轨迹方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 化简得(x－3)2＋y2＝8， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以线段AB为直径的圆 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当点C与点A，B均不重合时， 设O为线段AB的中点， 14.在平面直角坐标系xOy中，已知点P(2,4)，过点P的直线l与圆O：x2＋y2＝4交于不同的两点A，B.若线段AB的中点为M，则点M的轨迹方程为 _____________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点M(x，y)， ∵M是线段AB的中点， ∴MO⊥MP， ∴x(x－2)＋y(y－4)＝0， 即x2＋y2－2x－4y＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又∵M在圆O的内部， 15.树林的边界是直线l(如图CD所在的直线)，一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处，AB＝BC＝a(a为正常数)，若兔子沿AD方向以速度2μ(μ为正常数)向树林逃跑，同时 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 狼沿线段BM(M∈AD)方向以速度μ进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子，则兔子的所有不幸点(即 可能被狼吃掉的点)的区域面积S(a)＝________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,2a)，B(0，a)，设M(x，y)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.平面上有一条长度为定值k(k>0)的线段AB，到线段AB两个端点距离的平方和为k的点的轨迹是什么图形？说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点，建立平面直角坐标系， 因为点P到线段AB两个端点距离的平方和为k， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则PD＝CM＝1， ∵动点M与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为， ∴＝， ∴即 ∴ ① ∴(x0＋2)2＋y＝9. ② 所以C到点(2,0)的距离为AB＝5， 所以点C(x，y)满足＝5(y≠0)， 则解得 所以x＋y＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4， 则＝2， 设圆心M的坐标为(x，y)，则(x－1)2＋(y＋1)2＝2，即(x－1)2＋(y＋1)2＝9.  · 所以＝(x＋a，y)，＝(x－a，y)， 由·＝2， 依题意有，＝2，化简整理得，x2＋y2－8x＋12＝0， 设C(x，y)，由题意知，AB＝＝， 因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，于是有CA＝AB＝， 即点C的轨迹是以A为圆心，为半径的圆， 2＋y2＝1 所以(2x＋1)2＋4y2＝4，即2＋y2＝1， 所以轨迹C的方程是2＋y2＝1. 则AB的斜率为k＝，又OQ⊥AB， 即·＝－1，整理得x2＋y2－2x＋y＝0， 直线DQ：＋y＝1，则1－y＝， ② ①×②消去t，得y(1－y)＝tx·，化简得x2＋y2－y＝0. (2)设P(x，y)是(1)中轨迹上一点，求的最大值和最小值. 设Q(0，－2)，所以＝PQ，由平面几何知识知， DQ－1≤PQ≤DQ＋1 ，又DQ＝2， 所以PQmin＝2－1，PQmax＝2＋1. 12.已知定点P1(－1,0)，P2(1,0)，动点M满足MP1＝MP2，则构成△MP1P2面积的最大值是 A. 　　B.2 　　 C. 　　D.2 设M(x，y)，由MP1＝MP2, 即M在以(3,0)为圆心，2为半径的圆上运动， 可得＝·， 又　　 ＝P1P2·|yM|＝|yM|≤2， 即△MP1P2面积的最大值是2. 13.在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若|＋|＝||，则点C的轨迹为____________________. 则＋＝2. 因为|＋|＝||，所以||＝2||， 所以||＝||，所以AC⊥BC， 当点C与点A或B重合时也满足|＋|＝||，所以点C的轨迹为以线段AB为直径的圆. (x－1)2＋(y－2)2＝5 又∵＝(x，y)，＝(x－2，y－4)， 联立解得或 ∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－2)2＝5. π 由≤，得2≤， 整理得x2＋2≤， ∴M在以为圆心，以a为半径的圆上及圆的内部， ∴S(a)＝π×2＝π. 则A，B，设P(x，y)为曲线上的任意一点， 所以PA2＋PB2＝k，即2＋y2＋2＋y2＝k， 化简可得x2＋y2＝， 当0<k<2时，>0，曲线x2＋y2＝的轨迹为以原点为圆心， 以为半径的圆， 当k＝2时，＝0，曲线x2＋y2＝ 的轨迹为点(0,0)， 当k>2时，<0，曲线x2＋y2＝的轨迹不存在. $