第2章 §2.1 第2课时 圆的一般方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件围绕圆的一般方程展开，涵盖概念、充要条件、圆心半径及应用，通过问题链（方程表示圆的条件等）结合配方提示，从圆的标准方程自然过渡，搭建知识支架帮助学生理解。 其特色是问题驱动与实际应用结合，通过配方推导培养数学思维，拱形桥支柱高度等实例提升数学眼光，例题训练规范数学语言表达。小结归纳方法，学生能提升推理与应用能力，教师可高效开展教学。

第2课时 第2章 <<< 圆的一般方程 1.掌握圆的一般方程及其特点. 2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.(重点) 3.能用圆的一般方程解决一些实际应用问题. 学习目标 前面我们已经讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题. 导 语 一、圆的一般方程的理解 二、求圆的一般方程 课时对点练 三、圆的一般方程的实际应用 随堂演练 内容索引 圆的一般方程的理解 一 如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 问题1 当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 问题2 1.圆的一般方程的概念 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0( )叫作圆的一般方程. 2.圆的一般方程对应的圆心和半径 D2＋E2－4F＞0 圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为 ____________，半径长为_________________. 知识梳理 (1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项. (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0. (3)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点 当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 注 意 点 <<< 9 　　 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围； 例 1 由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 10 (2)写出圆心坐标和半径. 11 若原点在圆C：x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0外，求实数m的取值范围. 延伸探究 由已知得m2＋5m>0， 得m>0或m<－5， 12 (1)由圆的一般方程的定义，在x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0中，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解. (3)若点(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0上(内、外)，则　　　＋Dx0＋Ey0＋F＝0(<0、>0). 圆的一般方程的辨析 反 思 感 悟 13 　(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标 和半径分别为________________. 方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)， 跟踪训练 1 14 (2)若点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____. 9π 15 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴该圆的面积为9π. 16 二 求圆的一般方程 　已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求它的外接圆的方程，并求其外心坐标. 例 2 18 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. ∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0，即(x＋3)2＋(y－1)2＝25， ∴△ABC的外心即△ABC的外接圆圆心为(－3,1). 19 反 思 感 悟 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F. 应用待定系数法求圆的方程 　　　　　圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是______________________. 跟踪训练 2 x2＋y2－4x－4y－2＝0 21 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 所以所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0. 22 圆的一般方程的实际应用 三 　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB＝20 m，拱高OP＝4 m.建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m). 例 3 24 以点O为坐标原点AB，OP所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则P(0,4)，B(10,0)，A(－10,0)， 设圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，因为点A，B，P在圆上， 故圆拱所在圆的方程为x2＋y2＋21y－100＝0， 将P2的横坐标x＝－2代入圆的方程得y≈3.86(m). 故支柱A2P2的高度约为3.86 m. 25 反 思 感 悟 解应用题的步骤 (1)建模. (2)转化为数学问题求解. (3)回归实际问题，给出结论. 　　　　　 一隧道内设双行线公路，隧道截面由一段圆弧和一个长方形构成，如图所示，已知隧道总宽度AD为6　 m，侧墙EA，FD的高为2 m，弧顶高MN为5 m，试建立适当的直角坐标系，求圆弧所在圆的一般方程. 跟踪训练 3 27 设EF与MN交于点O，以点O为坐标原点，以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系(图略)， 设圆弧所在圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 故所求圆的一般方程为x2＋y2＋6y－27＝0. 28 1.知识清单： (1)圆的一般方程的理解. (2)求圆的一般方程. (3)圆的一般方程的实际应用. 2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法. 3.常见误区：忽略圆的一般方程表示圆的条件. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示的图形是 A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 √ 方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0，可化为x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，即(x－1)2＋(y＋2)2＝0， 则方程2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0表示点(1，－2). 1 2 3 4 2.若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则实数m的取值范围是 √ 3.若圆x2＋y2－2kx＋2y－4＝0关于直线2x－y＋3＝0对称，则实数k＝________. 1 2 3 4 －2 由条件可知，直线2x－y＋3＝0经过圆的圆心(k，－1)， 则2k－(－1)＋3＝0，解得k＝－2. 1 2 3 4 4.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F＝_____. 4 以(2，－4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x－2)2＋(y＋4)2＝16， 即x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故F＝4. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，若方程表示圆， 则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0， 2.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为 A.3 　　　B. 　　　　C.5 　　　D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0， 即(x＋a)2＋y2＝a2－9， 它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5， 3.(多选)下列结论正确的是 A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B.圆的一般方程和标准方程可以互化 C.方程x2＋y2＋2x－6y＋10＝0表示圆 D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则　　　＋Dx0＋Ey0＋F>0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ A，B显然正确； C中方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝0，所以表示点(－1,3)，故C错误； D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0，若圆O的半径小于8，则m的取值范围是 A.(－7,13) B.(－∞，－3)∪(9，＋∞) D.(－7，－3)∪(9,13) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为圆O的方程为x2＋y2－2mx＋4my＋4m2＋6m＋27＝0， 所以圆O的标准方程为(x－m)2＋(y＋2m)2＝m2－6m－27， 故0<m2－6m－27<82， 解得－7<m<－3或9<m<13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是 A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5 C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5， ∴圆心C(2，－1). 设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)， ∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若方程x2＋y2－ax＋by＋c＝0表示圆心为(1,2)，半径为1的圆，则a＋b＋c＝____. 2 则a＋b＋c＝2. 8.过坐标原点，且在x轴和y轴上的交点分别为(2,0)和(0,3)的圆的方程为____________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x2＋y2－2x－3y＝0 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 由题意知，圆过点(0,0)，(2,0)和(0,3)， 所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－3y＝0. 9.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆. (1)求t的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 圆的方程化为[x－(t＋3)]2＋[y＋(1－4t2)]2＝1＋6t－7t2. (2)求这个圆的圆心坐标和半径； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知圆的方程为x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0. (1)求此圆的圆心与半径； x2＋y2＋2(m－1)x－4my＋5m2－2m－8＝0可化为[x＋(m－1)]2＋(y－2m)2＝9， 所以圆心为(1－m,2m)，半径r＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求证：无论m为何实数，方程表示圆心在同一条直线上且半径相等的圆. 由(1)可知，圆的半径为定值3， 即2a＋b＝2. 所以无论m为何实数，方程表示的是圆心在直线2x＋y－2＝0上，且半径都等于3的圆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0关于直线x－y－1＝0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，则a的值为 A.0 　　　B.1 　　　C.2　　　 D.3 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为 A.(－∞，－2) B.(－∞，－1) C.(1，＋∞) D.(2，＋∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，曲线C的方程可化为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4， 因此曲线C是圆心为(－a,2a)，半径为2的圆. ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴a的取值范围是(2，＋∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台O的北偏东45°方向40　 m处设立观测点A，在平台O的正西方向240 m处设立观测点B，已知经过O，A，B三点的圆为圆C，规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则圆C的一般方程为 A.x2＋y2－240x＋320y＝0 B.x2＋y2＋240x－320y＝0 C.x2＋y2＋120x－160y＝0 D.x2＋y2＋240x－160y＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得A(40,40)，B(－240,0)， 设圆C的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0)， 因为圆C经过O，A，B三点， 所以圆C的一般方程为x2＋y2＋240x－320y＝0. 14.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中， 所以圆的一般方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0. 令x＝0，则y2＋4y－20＝0， 由根与系数的关系得y1＋y2＝－4； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令y＝0，则x2－2x－20＝0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2. 15.已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则SP＋SQ的最小值为 A.7　　　 B.8 　　　C.9 　　　 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1， 所以圆心为M(1,5)，半径为1. 如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)， 连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S， 此时SP＋SQ的值最小， 否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q， 由于P与P′关于x轴对称， 所以SP＝SP′，S′P＝S′P′， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以SP＋SQ＝SP′＋SQ＝P′Q<S′P′＋S′Q＝S′P＋S′Q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆. 最小覆盖圆满足以下性质： ①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆. ②锐角△ABC的最小覆盖圆就是其外接圆. 已知曲线W：x2＋y4＝16，A(0，t)，B(4,0)，C(0,2)，D(－4,0)为曲线W上不同的四点. (1)求实数t的值及△ABC的最小覆盖圆的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得t＝－2， 由于△ABC为锐角三角形，所以其外接圆就是△ABC的最小覆盖圆. 设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 所以△ABC的最小覆盖圆的方程为x2＋y2－3x－4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； 因为线段DB的最小覆盖圆就是以DB为直径的圆， 所以线段DB的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16. 又因为OA＝OC＝2<4(O为坐标原点)， 所以点A，C都在圆内. 所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求曲线W的最小覆盖圆的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知曲线W为中心对称图形. 且－2≤y0≤2. 提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆. 提示　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. . 解得m<，即实数m的取值范围为. 将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 又由例题知m<， 所以0<m<.  x＋y 可化为2＋2＝， ， 故圆心坐标为，半径为. 圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， ∴－＋1＋1＝0，得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3， 将A，B，C三点坐标代入上式得解得 则圆心坐标为， 由题意知解得 所以解得 则有E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3). 由圆心在y轴上，F(3，0)，M(0,3)在圆上， 得解得 A.m＜ B.m≤ C.m＜2 D.m≤2 由D2＋E2－4F＞0得(－1)2＋12－4m＞0，解得m＜. 1.(多选)若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为 A.－2 　　 　B.0 　　　C.1 　　　 D. 解得a<1，又a∈， 则a的值可以为－2,0，. 故它的半径为＝＝4.  x＋y C.(3－2，－3)∪(9,3＋2) 则解得故C′(－2,3)， A. 　　　B. 　　　C. 　　　 D.  x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准方程为2＋(y＋1)2＝1－k2， 所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 由题意得解得 所以解得 由7t2－6t－1<0，得－<t<1. 故t的取值范围是. 由(1)知，圆的圆心坐标为(t＋3,4t2－1)，半径为. r＝＝≤. 所以r的最大值为，此时t＝， 故圆的标准方程为2＋2＝. 且圆心(a，b)满足方程组 由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M，圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N(2,0)，且两圆关于直线x－y－1＝0对称，则×1＝－1，解得a＝2. ∴解得a>2， 所以解得 得解得 故(SP＋SQ)min＝P′M－1＝－1＝9. 则解得 设P(x0，y0)，则x＋y＝16. 所以OP2＝x＋y(O为坐标原点)， 故OP2＝x＋y＝16－y＋y＝－2＋， 所以当y＝时，OPmax＝， 所以曲线W的最小覆盖圆的方程为x2＋y2＝. $