第2章 §2.1 第1课时 圆的标准方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦圆的标准方程、点与圆的位置关系及实际应用，通过问题导入圆的定义与要素，推导方程后梳理要点，结合例题与跟踪训练，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点是以问题链培养数学眼光，通过几何法与待定系数法例题训练数学思维，实际应用题强化数学语言表达。课堂小结归纳方法与误区，助力学生提升逻辑推理和应用能力，教师可直接利用系统例题与练习提升教学效率。

第1课时 第2章 <<< 圆的标准方程 1.掌握圆的定义及标准方程.(重点) 2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系. 3.能用圆的标准方程解决一些实际应用问题. 学习目标 人们向往圆满的人生，对于象征着团圆、和谐、美满的中秋圆月更是情有独钟！有诗道：“明月四时好，何事喜中秋？瑶台宝鉴，宜挂玉宇最 导 语 高头.放出白毫千丈，散作太虚一色，万象入吾眸.星斗避光彩，风露助清幽.”圆是完美的图形，这节课我们继续学习在平面直角坐标系下有关圆的知识. 一、圆的标准方程 二、点与圆的位置关系 课时对点练 三、圆的标准方程的实际应用 随堂演练 内容索引 圆的标准方程 一 提示　平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 确定圆的要素：圆心和半径， 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 问题1 提示　如图，设圆上任一点M(x，y)，则MA＝r， 已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，请推导出该圆的方程. 问题2 化简可得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径. (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) x2+y2=r2(r>0) 知识梳理 (1)圆的标准方程是关于x，y的二元二次方程. (2)确定圆的标准方程需三个独立条件以确定方程中的a，b，r. (3)当圆心在原点即C(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆. (4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 注 意 点 <<< 9 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为_____________________. ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切， ∴该圆的半径为5， ∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. 例 1 (x＋5)2＋(y＋3)2＝25 10 (2)经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程为____________________. (x－4)2＋(y＋3)2＝25 11 方法一　(待定系数法) 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 即圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 12 方法二　(几何法) 由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. 又弦的垂直平分线过圆心， 即圆心坐标为(4，－3)， 即圆的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 13 (1)几何法：确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 求圆的标准方程的方法 反 思 感 悟 14 (2)待定系数法： 反 思 感 悟 15 　(1)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是____________________. (x－1)2＋(y－2)2＝25 ∵AB为直径， ∴AB的中点(1,2)为圆心， 跟踪训练 1 ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 16 (2)已知圆C的圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆C的标准方程为_____________________________. 设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)， ∴圆C的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25 17 二 点与圆的位置关系 点M0(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2内的条件是什么？在圆 (x－a)2＋(y－b)2＝r2外的条件又是什么？ 问题3 点与圆的位置关系 知识梳理 20 位置关系 d与r的大小 图示 点P的坐标的特点 点在圆外 d _ r   (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点在圆上 d＝r   (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 点在圆内 d r   (x0－a)2＋(y0－b)2 r2 ＞ ＞ ＜ ＝ ＜ 知识梳理 21 　已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？ 例 2 22 ∴圆心M的坐标为(0,1)， ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50. ∴点A在圆内. 23 ∴点B在圆上. ∴点C在圆外. ∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外. 24 反 思 感 悟 (1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小. (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)已知圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2) A.在圆C外 B.在圆C内 C.在圆C上 D.不能确定 跟踪训练 2 √ 26 (2)若点A(a,2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则实数a的取值范围为 A.[1,5] B.[2,5] C.[3,5] D.[4,5] √ 因为点A(a,2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，所以(a－1)2＋(2＋1)2≤5a且a>0，化简得a2－7a＋10≤0，解得2≤a≤5. 27 圆的标准方程的实际应用 三 　已知某圆拱桥，当水面距拱顶2米时，水面宽12米，当水面下降 1米后，水面宽多少米？ 例 3 29 以拱顶为坐标原点，以过拱顶且与圆拱相切的直线为x轴，以过拱顶的竖直直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则O(0,0)，A(6，－2). 设圆的标准方程为x2＋(y＋r)2＝r2(r＞0). 将A(6，－2)的坐标代入方程得r＝10， ∴圆的标准方程为x2＋(y＋10)2＝100. 当水面下降1米后，可设点A′(x0，－3)(x0＞0). 30 反 思 感 悟 解决圆的标准方程的实际应用题时应注意以下几个方面 　　　　　 一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过 A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m 跟踪训练 3 √ 32 建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h， 则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝3.62， 把点A的坐标代入上式可得，0.82＋h2＝3.62， 33 1.知识清单： (1)圆的标准方程. (2)点与圆的位置关系. (3)圆的标准方程的实际应用. 2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法. 3.常见误区：几何法求圆的标准方程时出现漏解情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标为 A.(2,1) B.(2，－1) C.(－2,1) D.(－2，－1) √ 结合圆的标准方程可知，圆C的圆心坐标为(2，－1). 1 2 3 4 2.以(2 023,2 023)为圆心，2 024为半径的圆的标准方程为 A.(x－2 023)2＋(y－2 023)2＝2 0242 B.(x＋2 023)2＋(y＋2 023)2＝2 0242 C.(x－2 023)2＋(y－2 023)2＝2 024 D.(x＋2 023)2＋(y＋2 023)2＝2 024 √ 由圆的标准方程知(x－2 023)2＋(y－2 023)2＝2 0242. 3.若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的外部，则a的取值范围为________ __________. 1 2 3 4 a＞1或 1 2 3 4 4.如图，是一个圆曲隧道的截面，点O为截面圆的圆心，若路面AB宽为 10米，净高CD为7米，则此隧道圆的半径是______米. 1 2 3 4 ∵OD⊥AB， 在Rt△OAD中，设半径OA＝R米， 则OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 2.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为 A.15米 B.13米 C.9米 D.6.5米 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设圆心为O，半径为r， 则由勾股定理得OB2＝OD2＋BD2， 即r2＝(r－4)2＋62， 所以拱桥的直径为13米. 3.点P(m,3)与圆(x－2)2＋(y－1)2＝2的位置关系为 A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.与m的值无关 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(m－2)2＋(3－1)2＝(m－2)2＋4>2， ∴点P(m,3)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝2外. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即26a<26， 又a≥0，解得0≤a<1. A.0<a<1 B.0≤a<1 C.a>1 D.a＝1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝25，则下列说法正确的是 A.圆M的圆心为(4，－3) B.圆M的圆心为(－4,3) C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的线段长为6 √ √ √ 由圆M：(x－4)2＋(y＋3)2＝52， 得圆心为(4，－3)，半径为5，故A，C正确，B错误； 令x＝0，得y＝0或y＝－6，故圆M被y轴截得的线段长为6，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为 A.(x＋2)2＋(y－2)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝1 C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D.(x－2)2＋(y－2)2＝1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在圆C2上任取一点(x，y)， 则此点关于直线x－y－1＝0的对称点(y＋1，x－1)在圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1上， 所以(y＋1＋1)2＋(x－1－1)2＝1， 即(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若圆上的点(2,1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上，且圆的半径为　 ，则圆的标准方程为______________________________. (x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5 ∵圆上的点(2,1)关于直线x＋y＝0的对称点仍在圆上， ∴圆心在直线x＋y＝0上.设圆心坐标为(a，－a)， 则由(2－a)2＋(1＋a)2＝5，解得a＝0或a＝1， ∴圆心坐标为(0,0)或(1，－1)， ∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或x2＋y2＝5. 8.若点(1,2)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝9的内部，则a的取值范围是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－2,1) 因为点(1,2)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝9的内部， 所以(1－a)2＋(2＋a)2<9，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1. 9.已知点A(1，－2)，B(－1,4)，求： (1)过点A，B且周长最小的圆的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当AB为直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小. 即线段AB的中点(0,1)为圆心， 则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10. (2)过点A，B且圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　直线AB的斜率为k＝－3， 由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心，联立两直线方程得圆心坐标是C(3,2). 故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　(待定系数法) 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知圆M过A(1，－1)，B(－1,1)两点，且圆心M在直线x＋y－2＝0上. (1)求圆M的方程； 设圆M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 所以圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若圆M上存在点P，使OP＝m(m>0)，其中O为坐标原点，求实数m的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)设圆的方程是(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2，其中a>0，b>0，下列说法中正确的是 A.该圆的圆心为(a，－b) B.该圆过原点 C.该圆与x轴相交于两个不同点 D.该圆的半径为a2＋b2 √ √ √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此选项A正确，D不正确； 因为(0－a)2＋(0＋b)2＝a2＋b2，所以该圆过原点，因此选项B正确； 在圆的方程(x－a)2＋(y＋b)2＝a2＋b2中， 令y＝0，有(x－a)2＋b2＝a2＋b2，即x2－2ax＝0，则x＝2a或x＝0，因为a>0， 所以该圆与x轴相交于两个不同点，因此选项C正确. 12.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为 A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25 C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0， 得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0， ∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m.现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低______m时，船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01 m) 1.22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以水位未涨前的水面AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为x2＋(y－b)2＝r2(0≤y≤4)， ∵圆经过点B(10,0)，C(0,4)， ∴圆的方程是x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x＝4.5，得y≈3.28， 故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22(m)，船才能安全通过桥洞. 14.已知Rt△ABC的顶点A(－2,0)，直角顶点B(0，－2　 )，顶点C在x轴上.圆M是△ABC的外接圆，则圆M的标准方程为________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (x－1)2＋y2＝9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于点C在x轴上，设点C(x,0). 又∠ABC为直角， 所以kAB·kBC＝－1. 由于△ABC是以∠ABC为直角的直角三角形， 则该三角形的外接圆圆心为线段AC的中点， 则M(1,0)，所以圆M的半径为MA＝3， 因此圆M的标准方程为(x－1)2＋y2＝9. 15.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为 A.4 　　　B.5 　　　 C.6　　　 D.7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆心C(x，y)， 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心， 1为半径的圆，如图所示， 所以OC≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，矩形ABCD的两条对角线交于M(3,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－7＝0，点E(0,1)在BC边所在直线上. (1)求AD边所在直线的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为AB⊥AD， E(0,1)关于M(3,0)的对称点为(6，－1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y＋1＝－3(x－6)， 即3x＋y－17＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求点A的坐标以及矩形ABCD外接圆的方程. 解得A(5.8，－0.4)， 则r2＝AM2＝(5.8－3)2＋(－0.4－0)2＝8. 所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－3)2＋y2＝8. 由两点间的距离公式，得＝r， 则有解得 则由得 半径r＝＝5. AB＝＝5为半径， 提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，即<r，整理得(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，即>r，整理得(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2. (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝PC＝. 解方程组得 半径r＝MP＝＝5. ∵AM＝＝<r， ∵BM＝＝5＝r， ∵CM＝＝2>r， 圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4的圆心为C(2,3)，半径为2，因为PC＝＝<2，所以点P在圆C内. 将A′(x0，－3)代入圆的标准方程，解得x0＝， ∴水面下降1米后，水面宽为2x0＝2(米). 解得h＝4≈3.5 m. a＜－ 由题意得4a2＋(a－2)2＞5，解得a＞1或a＜－. 即R2＝(7－R)2＋52，解得R＝. ∴此隧道圆的半径是米. ∴AD＝DB＝AB＝×10＝5(米)， 1.圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝3的圆心和半径分别为 A.(－1，－1)，3 B.(－1，－1)， C.(1,1)，3 D.(1,1)， (x＋1)2＋(y＋1)2＝3，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝()2， 所以其圆心和半径分别为(－1，－1)，. 解得r＝， 4.若点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是 由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2<26， 半径r＝AB＝. 则线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，即x－3y＋3＝0， r＝AC＝＝2. 则解得 根据题意得解得 由(1)知M(1,1)，r＝2，故OM＝， 如图，得m＝OP∈[2－，2＋]. 该圆的圆心坐标为(a，－b)，半径为， 则由解得即P(－1,1). ∴PC＝＝5， ∴解得 即×＝－1，解得x＝4，即C(4,0)， 则＝1， 所以OC＋1≥OM＝＝5， 所以kAD＝－＝－＝－3， 联立 $