第1章 1.5.2 第1课时 点到直线的距离（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件围绕点到直线的距离公式展开，通过仓库到铁路最短距离的实际问题导入，从定义出发用坐标法推导公式，结合知识梳理和例题构建学习支架，帮助学生衔接解析几何前后知识。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过坐标法推导和多方法解题（如例2几何与代数法）发展数学思维，分层练习和综合应用提升数学语言表达能力。学生能提升逻辑推理与应用能力，教师可借助资料实施高效分层教学。

第1课时 第1章 <<< 点到直线的距离 1.会用坐标法、面积法推导点到直线的距离公式的运算过程. 2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用. 学习目标 在铁路的附近，有一大型仓库，现要修建一条公路与之连接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短，将铁路看作一条直线l，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？ 导 语 一、点到直线的距离公式 二、点到直线的距离公式的简单应用 课时对点练 三、点到直线距离公式的综合应用 随堂演练 内容索引 点到直线的距离公式 一 如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P(x0，y0)，怎样求出点P到直线l的距离呢？ 问题 提示　根据定义，点P到直线l的距离是点P到直线l的垂线段的长，如图，过点P作直线l的垂线l′，垂足为Q， 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝________________. 知识梳理 (1)利用公式时直线的方程必须是一般式； (2)分子含有绝对值； (3)若直线方程为Ax＋By＋C＝0，则当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解. 注 意 点 <<< 9 (1)已知直线l1：3x－y＝0，l2：4x＋y－7＝0，l3：3x－4y－6＝0，则l1，l2的交点A到l3的距离为 A. 　　　 B.3 　　 C.2 　　D.1 √ 例 1 10 (2)已知两点A(3,2)，B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为 √ 11 方法一　依题意得，直线mx＋y＋3＝0过线段AB的中点或与直线AB平行. ①线段AB的中点坐标为(1,3)，且在直线mx＋y＋3＝0上. ∴m＋3＋3＝0，解得m＝－6； 12 13 两点到直线的距离相等，可以用几何法，即直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，此类题型也可用代数法. 反 思 感 悟 14 (多选)已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使PM＝4，则称该直线为点M的“相关直线”，下列直线中是点M的“相关直线”的是 A.y＝x＋1 B.y＝2 C.4x－3y＝0 D.2x－y＋1＝0 跟踪训练 1 √ √ 15 选项B中，点M到直线y＝2的距离d＝|0－2|＝2<4，即点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故B中的直线是点M的“相关直线”； 16 17 二 点到直线的距离公式的简单应用 　求过点P(1,2)且与点A(2,3)，B(4，－5)的距离相等的直线l的方程. 例 2 19 方法一　由题意知kAB＝－4，线段AB的中点为C(3，－1)，所以过点P(1,2)与直线AB平行的直线方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0.此直线符合题意. 故所求直线l的方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 20 方法二　显然所求直线的斜率存在， 设直线方程为y＝kx＋b， 21 即4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0. 22 反 思 感 悟 (1)求点到直线的距离时，直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式. (2)直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)中A＝0或B＝0时，公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可采用数形结合法求点到直线的距离. 　　　　　已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于 跟踪训练 2 √ 24 三 点到直线距离公式的综合应用 　 (1)已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么OP的最小值为 例 3 √ 26 (2)当点P(3,2)到直线mx－y＋1－2m＝0的距离最大时，m的值是______. －1 27 反 思 感 悟 解决有限制条件的点到直线的距离的问题需注意分类讨论，利用数形结合的思想，直观地观察一些量的变化，从而达到解决问题的目的. (1)动点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O为原点，求OP最小时点P的坐标； 跟踪训练 3 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线， 则kOP＝1， 即OP所在的直线方程为y＝x. 即点P的坐标为(2,2). 29 (2)求过点P(1,2)且与原点距离最大的直线方程. 由题意知，过点P且与OP垂直的直线到原点O的距离最大， ∵kOP＝2， 即x＋2y－5＝0. 30 1.知识清单： (1) 点到直线的距离公式的推导过程. (3) 公式的应用. 2.方法归纳：公式法、数形结合. 3.常见误区：设直线方程忽略斜率是否存在. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.(多选)已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于 A.0 　　 B. 　　　 C.3 　　D.2 √ √ 3.已知点M(1,2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则MP的最小值是 1 2 3 4 √ 因为点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为MP的最小值， 1 2 3 4 4.已知直线l经过点(－2,3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为_________________________. x＋2＝0或5x＋12y－26＝0 1 2 3 4 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2. 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0， 综上，直线l的方程为x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 课时对点练 五 1.(多选)直线l过点B(3,3)，若A(1,2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为 A.3x＋4y－21＝0 B.4x＋3y－21＝0 C.x＝3 D.y＝3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3满足条件. 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－3＝k(x－3)，即kx－y＋3－3k＝0. 所以直线l的方程为3x＋4y－21＝0. 综上，可得直线l的方程为x＝3或3x＋4y－21＝0. 2.已知直线l1：ax＋y－1＝0与直线l2：x－y＋5＝0互相垂直，则点(1,2)到直线l1的距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得， ＝－a， ＝1，∵l1⊥l2， ∴－a×1＝－1， 解得a＝1. 此时直线l1的方程为x＋y－1＝0， 3.若原点到直线ax＋by＋c＝0的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为 A.c2＝a2＋b2 B.a2＝b2＋c2 C.b2＝a2＋c2 D.c＝a＋b √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 原点O(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离为1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.点P(2,3)到直线l：ax＋y－2a＝0的距离为d，则d的最大值为 A.3 　　　 B.4　　　 C.5 　　　D.7 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于 √ 化简得|3a＋3|＝|6a＋4|， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知平面上一点M(2,1)，若直线上存在点P使PM＝1，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 直线为“切割型直线”，则M到该直线的距离小于或等于1，否则不是“切割型直线”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为__________________ _______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由直线与原点的距离为5， 8.经过两直线x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设所求直线l的方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0， 即(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0， 所以λ＝±3， 即直线方程为x＝1或4x－3y＋5＝0， 所以过两直线交点且和原点相距为1的直线的条数为2. 9.已知△ABC三个顶点的坐标A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面积S. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点A到直线BC的距离为d，即为BC边上的高， 即△ABC的面积为4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知直线l经过点P(－2,1)，且与直线x＋y＝0垂直. (1)求直线l的方程； 由题意知直线l的斜率为1，则所求直线方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若直线m与l平行且点P到直线m的距离为 　，求直线m的方程. 由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为x－y＋c＝0， 解得c＝1或c＝5. 所以所求直线m的方程为x－y＋1＝0或x－y＋5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为　 ，则点P的坐标为 A.(1,2) B.(3，－4) C.(2，－1) D.(4，－3) √ 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P的坐标为(a,5－3a)， 解得a＝1或2， 所以点P的坐标为(1,2)或(2，－1). 12.当点P(2,3)到直线l：ax＋(a－1)y＋3＝0的距离d最大时，d与a的值依次为 A.3，－3 　　 B.5,2 　　 C.5,1 　　D.7,1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 直线l恒过点A(－3,3)， 根据已知条件可知，当直线ax＋(a－1)y＋3＝0与AP垂直时，距离最大，最大值为5，此时a＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知点P(1＋t,1＋3t)到直线l：y＝2x－1的距离为　 ，则点P的坐标为 A.(0，－2) B.(2,4) C.(0，－2)或(2,4) D.(1,1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当t＝1时，点P的坐标为(2,4)； 当t＝－1时，点P的坐标为(0，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x，y)，A(2，－1)， 则点P在直线x＋y－3＝0上， 15.已知直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限，其中a∈Z，则点 A(1，－3)到直线l的距离为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为直线l：y＝2ax＋(a－2)过第一、三、四象限， 又a∈Z，所以a＝1， 所以直线l的方程为y＝2x－1， 即2x－y－1＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，n：x－2y＋3＝0. (1)当a＝0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即m与n的交点为(－21，－9). 当直线l过原点时，直线l的方程为3x－7y＝0； 将(－21，－9)代入得b＝－12， 所以直线l的方程为x－y＋12＝0， 故满足条件的直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若坐标原点O到直线m的距离为　 ，判断m与n的位置关系. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设原点O到直线m的距离为d， 此时m∥n； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 此时m⊥n. 由l′⊥l可知l′的斜率为， ∴l′的方程为y－y0＝(x－x0)，与l联立方程组， 解得交点Q， ∴PQ＝. 联立解得即A(1,3)， 所以点A到l3的距离d＝＝3. A.－6或1 B.－或1 C.－或 D.－6或 ②由两直线平行知＝－m，解得m＝. 因此m的值为－6或. 方法二　由题意得＝. 解得m＝－6或m＝. 选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故A中的直线不是点M的“相关直线”； 选项D中，点M到直线2x－y＋1＝0的距离d＝＝>4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使PM＝4，故D中的直线不是点M的“相关直线”. 选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，所以该直线上存在点P，使PM＝4，故C中的直线是点M的“相关直线”； 过点P(1,2)与线段AB中点C(3，－1)的直线方程为＝，即3x＋2y－7＝0.此直线也符合题意. 根据条件得 化简得或 所以或 所以所求直线l的方程为y＝－4x＋6或y＝－x＋， 由点到直线的距离公式得＝＝1，即|a＋1|＝. A. 　　B.2－ 　　C.－1 　　 D.＋1 ∵a>0，∴a＝－1. OP的最小值为原点O到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝. A. 　　B.1 　　C. 　　D.2 直线mx－y＋1－2m＝0可化为y－1＝m(x－2)，由直线点斜式方程可知直线恒过定点Q(2,1)且斜率为m，结合图象(图略)可知当PQ与直线mx－y＋1－2m＝0垂直时，点到直线距离最大，此时m·＝－1，解得m＝－1. 由解得 ∴所求直线方程为y－2＝－(x－1)， (2) 点到直线的距离公式d＝. 1.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为 A.1 　　 B. 　　 C.2　　 D. 所以m＝0或. 点M到直线l的距离d＝＝3， A. 　　B. 　　C. 　　D.3 所以MP的最小值为＝. 得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 由d＝＝2， 由题意可得＝2，解得k＝－， A.1 　　B.2 　　C. 　　D.2 ∴点(1,2)到直线l1的距离d＝＝. 则＝1，整理得c2＝a2＋b2. 直线方程可变形为y＝－a(x－2)，据此可知直线恒过定点M(2,0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间距离公式可得d的最大值为＝3. 由点到直线的距离公式可得＝， 解得a＝－或－. A.－ 　　 B.－ 　　 C. 　　 D. A.y＝x B.y＝ C.y＝x＋1 D.y＝2x＋1 对于A，直线方程整理为4x－3y＝0，点M到直线y＝x的距离为＝1，A正确； 对于B，点M到直线y＝的距离为<1，B正确； 对于C，点M到直线y＝x＋1的距离为＝>1，C错误； 对于D，点M到直线y＝2x＋1的距离为＝>1，D错误. x－y＋10＝0或 x－y－10＝0 因为直线斜率为tan 60°＝， 所以可设直线方程为y＝x＋b， 化为一般式得x－y＋b＝0. 得＝5，即|b|＝10，所以b＝±10. 所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0. 因为原点到直线的距离d＝＝1， 由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x－2y＋3＝0. 则d＝＝. 由两点间距离公式得BC＝＝2， 所以S＝BC·d＝×2×＝4， 由点到直线的距离公式得＝，即|c－3|＝2， 由题意得＝， 直线l：y＝2x－1可化为2x－y－1＝0，依题意得＝，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1. 且＝PA. 14.已知x＋y－3＝0，则的最小值为______. PA的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝. 所以所以0<a<2， 所以点A(1，－3)到直线l的距离为＝＝. 当a＝0时，联立解得 当直线l不过原点时，设l的方程为＋＝1， 则d＝＝， 解得a＝－或a＝－， 当a＝－时，直线m的方程为x－2y－5＝0， 当a＝－时，直线m的方程为2x＋y－5＝0， $