第1章 §1.3 第1课时 两条直线平行（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦两条直线平行的判定、方程求解及应用，以过山车轨道为情境导入，从生活现象中抽象出数学问题，通过倾斜角关联斜率，分斜率存在与否梳理判定条件，构建递进式知识支架。 其亮点在于情境导入激发兴趣，分类讨论（如斜率存在与否）培养数学思维，步骤化总结和典型例题（如例1覆盖四种情况）规范解题过程。结合数学眼光观察现实、数学思维推理判断，帮助学生夯实基础，教师可直接用于教学，提升效率。

第1课时 第1章 <<< 两条直线平行 1.理解并掌握两条直线平行的条件. 2.会运用条件判定两直线是否平行. 3.运用两直线平行时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题. 学习目标 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的柱形钢 导 语 筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，你能感受到过山车中的平行吗？两条直线的平行用什么来刻画呢？ 一、两条直线平行的判定 二、求与已知直线平行的直线方程 课时对点练 三、直线平行的应用 随堂演练 内容索引 两条直线平行的判定 一 提示　两直线平行，倾斜角相等. 平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 问题 两条直线l1，l2平行的等价条件： (1)当两条直线l1，l2斜率均存在时，方程分别为l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2平行⇔k1＝k2且 . (2)当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1∥l2⇔它们都与x轴垂直，且在x轴上的截距不相等. b1≠b2 知识梳理 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在. 注 意 点 <<< 8 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； 例 1 (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； 故l1∥l2或l1与l2重合. 9 (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1,3)，N(2,0)； k1＝k2. 则A，B，M不共线，故l1∥l2. 10 (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5). 由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故l1∥l2. 11 判断两条直线是否平行的步骤 反 思 感 悟 12 　(1)已知直线l1经过点A(0,3)，B(5,3)，直线l2经过点M(2,5)，N(6,5)，判断直线l1与l2是否平行. 跟踪训练 1 ∵l1与l2都与y轴垂直，且l1与l2不重合， ∴l1∥l2. 13 (2)试确定m的值，使过点A(m＋1,0)，B(－5，m)的直线与过点C(－4,3)，D(0,5)的直线平行. 由题意知直线CD的斜率存在，则与其平行的直线AB的斜率也存在. 由于AB∥CD，所以kAB＝kCD， 经验证，当m＝－2时直线AB的斜率存在，所以m＝－2. 14 二 求与已知直线平行的直线方程 　求与直线3x＋4y＋1＝0平行，且过点(1,2)的直线l的方程. 例 2 16 方法一　设直线l的斜率为k， ∵直线l与直线3x＋4y＋1＝0平行， 又∵直线l经过点(1,2)， 即3x＋4y－11＝0. 17 方法二　设与直线3x＋4y＋1＝0平行的直线l的方程为3x＋4y＋m＝0(m≠1). ∵直线l经过点(1,2)， ∴3×1＋4×2＋m＝0，解得m＝－11， ∴所求直线的方程为3x＋4y－11＝0. 18 反 思 感 悟 (1)与已知直线平行的直线方程的求法可以求点斜式方程，也可以先设成一般式，用待定系数法求方程. (2)与直线Ax＋By＋C1＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋C2＝0，其中A，B不全为0，C1≠C2. (1)已知直线l过点(0,7)，且与直线y＝－4x＋2平行，则直线l的方程为 A.y＝－4x－7 B.y＝4x－7 C.y＝4x＋7 D.y＝－4x＋7 跟踪训练 2 √ 过点(0,7)且与直线y＝－4x＋2平行的直线方程为y－7＝－4x， 即直线l的方程为y＝－4x＋7. 20 (2)已知A(0，－2)，B(3,1)，C(－2,2)三点，直线l过点B且与直线AC平行，求直线l的方程. 则kl＝－2， 又直线l过点B， ∴直线l的方程为y－1＝－2(x－3)， 即2x＋y－7＝0. 21 直线平行的应用 三 　已知两直线l1：x＋my＋6＝0；l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当m为何值时，直线l1与l2：(1)相交； 例 3 23 ∵直线l1：x＋my＋6＝0， 直线l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0， ∴A1＝1，B1＝m，C1＝6， A2＝m－2，B2＝3，C2＝2m. 若l1与l2相交，则A1B2－A2B1≠0， 即1×3－m(m－2)≠0， 即m2－2m－3≠0，即(m－3)(m＋1)≠0， 即m≠3，且m≠－1. 故当m≠3，且m≠－1时，直线l1与l2相交. 24 (2)平行； ∴m＝－1. 故当m＝－1时，直线l1与l2平行. 25 (3)重合. 故当m＝3时，直线l1与l2重合. 26 反 思 感 悟 　　　　　已知直线l经过点P(3，－3)，在两坐标轴上的截距互为相反数且均不为0. (1)求直线l的一般式方程； 跟踪训练 3 ∴直线l的一般式方程为x－y－6＝0. 28 (2)若直线l′：m2x＋(2m－3)y－3m－3＝0与直线l平行，求m的值. 若直线l′：m2x＋(2m－3)y－3m－3＝0与直线l平行，则m2×(－1)－1×(2m－3)＝0，∴m＝－3或m＝1， 当m＝1时，直线l′：x－y－6＝0与直线l重合，不满足题意， 综上所述，m＝－3. 29 1.知识清单： (1)两直线平行的条件. (2)由两直线平行求参数值. (3)求与已知直线平行的直线方程. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线平行关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知直线l1的倾斜角为30°，又l1∥l2，则直线l2的斜率为 √ 1 2 3 4 2.直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是 A.1 B.－2 C.1或－2 D.－1或2 √ 由已知，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1. 当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2. 3.已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值为 A.－8 　　　B.0 　　　 C.2　　　 D.10 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 4.已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2的斜率为k＝m2－3，若l1∥l2，则m的值为______. ±2 由题意知m2－3＝tan 45°，解得m＝±2. 课时对点练 五 1.(多选)若l1与l2为两条直线，它们的倾斜角分别是α1，α2，斜率分别为k1，k2，则下列选项中正确的是 A.若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B.若k1＝k2，则l1∥l2 C.若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2 D.若α1＝α2，则l1∥l2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ 2.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是 A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 斜率都为0且不重合，所以平行. 3.已知直线l的倾斜角为　，直线l1经过点A(3,2)和点B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为 A.0 　　　B.1　　　 C.6 　　　D.0或6 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得直线l的斜率为－1， 因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1. 又直线l1经过点A(3,2)和点B(a，－1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行， 4.若直线l1：mx－y－2＝0与直线l2：(2－m)x－y＋1＝0互相平行，则实数m的值为 A.－1 　　　 B.0　　　 C.1　　　 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知直线l1：x－ay＋1＝0，l2：(a－1)x－12y－4＝0，则“a＝4”是“l1∥l2”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由l1∥l2可知(a－1)(－a)＝－12，解得a＝4或a＝－3， 当a＝4时，l1：x－4y＋1＝0，l2：3x－12y－4＝0，l1∥l2成立， 当a＝－3时，l1：x＋3y＋1＝0，l2：－4x－12y－4＝0，即x＋3y＋1＝0，l1与l2重合， 所以若l1∥l2则a＝4， 所以“a＝4”是“l1∥l2”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，若l∥y轴，但不重合，则下列结论正确的是 A.a≠1，b≠2，c≠0 B.a≠1，b＝－2，c≠0 C.a＝1，b≠－2，c≠0 D.a≠1，b≠－2，c≠0 √ 解得a≠1，b＝－2，c≠0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵l1∥l2，∴k1＝k2， 7.直线l1的斜率k1＝ ，直线l2经过A(1,2)，B(a－1,3)两点，若l1∥l2，则a的 值为_____. 8.直线x＋a2y＋6＝0和直线(a－2)x＋3ay＋2a＝0无公共点，则a的值为_________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0或－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为两直线无公共点，所以两直线平行. 当a＝0时，这两条直线分别为x＋6＝0和x＝0，无公共点； 若a＝3，这两条直线均为x＋9y＋6＝0，两直线重合，有无数个公共点，不符合题意，舍去； 若a＝－1，这两条直线分别为x＋y＋6＝0和3x＋3y＋2＝0，两直线平行，无公共点. 综上，a＝0或a＝－1. 9.根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行. (1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.若l1与l2平行，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a＝－1， 综上可知，当a＝－1时，l1∥l2. 方法二　由A1B2－A2B1＝0， 得a(a－1)－1×2＝0， 由A1C2－A2C1≠0， 得a(a2－1)－1×6≠0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a＝－1， 故当a＝－1时，l1∥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为 A.－1或0 　　 B.0或1　　 C.1 　　 D.2 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD. 综上，m＝0或m＝1. 12.(多选)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是 A.1 　　　 B.2 　　　 C.3 　　　 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当k－3≠0，即k≠3时， 综上，k的值是3或5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)三点为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是 A.(－3,1) B.(4,1) C.(－2,1) D.(2，－1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示， 因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B. 根据平行四边形的性质，可知选项B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 －4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以直线x＋my＝2与直线mx＋16y＝8平行， 所以16－m2＝0，解得m＝±4， 当m＝4时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意， 当m＝－4时，两直线平行，方程组无解，满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.在平面直角坐标系中，已知直线l1：ax＋by＋1＝0，l2：(a－2)x＋y＋a＝0. (1)求直线l2经过定点的坐标； ∵(a－2)x＋y＋a＝0， ∴ax－2x＋y＋a＝0， ∴a(x＋1)＋(y－2x)＝0，令x＋1＝0且y－2x＝0，则x＝－1，y＝－2， ∴对任意a∈R，直线l2：(a－2)x＋y＋a＝0过定点(－1，－2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当b＝4且l1∥l2时，求实数a的值. 当b＝4时，直线l1：ax＋4y＋1＝0， 又直线l2：(a－2)x＋y＋a＝0，即y＝(2－a)x－a， ∵l1∥l2， k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，故l1与l2不平行. k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2， k1＝＝－1，k2＝＝－1， 又kAM＝＝－2≠－1， kAB＝＝，kCD＝＝， 即＝，解得m＝－2. ∴k＝－， ∴所求直线的方程为y－2＝－(x－1)， 由题意可知kAC＝＝－2， 若l1∥l2，则有即 即即 若l1与l2重合，则有 即 ∴∴m＝3. 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔或 由题意设直线l的方程为＋＝1(a≠0)， 将点P(3，－3)代入得＋＝1，解得a＝6， ∴直线l的方程为－＝1， 当m＝－3时，直线l′：x－y＋＝0，满足题意； A. 　　　B.－ 　　　C. 　　　 D.－ 因为l1∥l2，所以　 　＝tan 30°＝. 由已知，得＝－2，∴m＝－8. 由直线l的倾斜角为， 所以l1的斜率为，故＝－1，解得a＝6. ∴解得m＝1. ∵直线l：(a－1)x＋(b＋2)y＋c＝0，l∥y轴，但不重合，∴ 直线l2的斜率k2＝＝， ∴＝，∴a＝. 当a≠0时，由－＝－，解得a＝3或a＝－1. 由题意知k1＝＝－，k2＝＝－. 由题意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝. (2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3). 两直线可化为l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)， l1∥l2⇔ 所以l1∥l2⇔ 当m≠0时，kAB＝，kCD＝， 则kAB＝kCD，即＝，解得m＝1， 由两直线平行得，当k－3＝0，即k＝3时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行. 由＝≠，解得k＝5. 14.已知两条直线的斜率分别为和－，若这两条直线互相平行，则 实数a的最大值为______. 因为两条直线互相平行，所以＝－，所以a＝－b4＋b2＝－2 ＋≤，当且仅当b2＝时取等号，故实数a的最大值为. 15.已知方程组无解，则实数m的值等于______. 由题知，方程组无解， 即y＝－x－， ∴－＝2－a且－≠－a，∴a＝. $