第1章 §1.2 1.2.2 直线的两点式方程（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，通过“两点确定一条直线”的生活实例（如植树定树坑）导入，引导学生从点斜式过渡到两点式推导，再由坐标轴交点的特殊情况引出截距式，搭建“已知-未知”的学习支架。 其亮点在于以核心素养为导向，用问题链驱动探究（如问题1推导两点式、问题2引出截距式）培养数学眼光，通过分类讨论（两点式斜率限制、截距式过原点情况）发展数学思维，结合例题变式（例2延伸探究）和分层训练强化数学语言表达。学生能深化方程本质理解，教师可借助清晰结构与丰富例题提升教学效率。

1.2.2 第1章 <<< 直线的两点式方程 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程的形式特点和适用范围. 2.了解直线的截距式方程的形式特点和适用范围. 3.能正确利用直线的两点式、截距式求直线方程. 4.能利用直线的两点式方程、截距式方程解决相应的问题. 学习目标 导 语 生活中“两点确定一条直线”的例子随处可见，比如我们在植树时，只要定出两个树坑的位置就能够确定同一行的树坑所在的直线.那么在直角坐标系内，已知直线上两点，如何求直线的方程呢？ 一、直线的两点式方程 二、直线的截距式方程 课时对点练 三、直线方程的灵活应用 随堂演练 内容索引 直线的两点式方程 一 我们知道已知两点也可以确定一条直线，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 问题1 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程________ _________叫作直线的两点式方程. 知识梳理 (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 注 意 点 <<< 8 (1)过(1,2)，(5,3)两点的直线方程是 例 1 √ 直线过(1,2)，(5,3)两点， 9 (2)在平面直角坐标系中，已知直线l经过(－1,0)，(1,4)两点，则直线l的两 点式方程是______________. 10 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程. 利用两点式求直线的方程 反 思 感 悟 11 　(1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为______________. 跟踪训练 1 4x＋5y＋3＝0 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)， 化简得4x＋5y＋3＝0. 12 (2)已知直线经过点A(1,0)，B(m,1)，求这条直线的方程. 由直线经过点A(1,0)，B(m,1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－(m－1)y－1＝0. 13 二 直线的截距式方程 若给定直线上两点A(a,0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 问题2 方程　 　＝1，其中 称为直线在y轴上的截距， 称为直线在x轴上的 截距.这个方程由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的 . b a 截距式方程 知识梳理 16 (1)如果已知直线在两坐标轴上的非零截距，可以直接代入截距式求直线的方程.与坐标轴平行或重合，以及过原点的直线都不能用截距式表示. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. 注 意 点 <<< 17 　求过点A(3,4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 例 2 18 即x－y＋1＝0. 19 (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时， 设直线l的方程为y＝kx， 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 20 1.若将点A的坐标改为“A(－3，－4)”，其他条件不变，又如何求解？ 延伸探究 21 (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时， 又l过点A(－3，－4)， 解得a＝1. 22 (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时， 设直线l的方程为y＝kx，由于l过点(－3，－4)， 综上，直线l的方程为x－y－1＝0或4x－3y＝0. 23 2.若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 24 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 25 反 思 感 悟 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 截距式方程应用的注意事项 直线方程的灵活应用 三 　在平面直角坐标系中，过点P(3,1)作直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A，B. 例 3 28 设A(a,0)，B(0，b)，其中a>0，b>0. 29 ∵A，P，B三点共线， 30 反 思 感 悟 (1)已知一点的坐标，求过该点的直线方程，一般选取点斜式方程，再由其他条件确定直线的斜率. (2)若已知直线的斜率，一般选用直线的斜截式，再由其他条件确定直线的一个点或者截距. (3)若已知两点坐标，一般选用直线的两点式方程，若两点是与坐标轴的交点，就用截距式方程. (4)不论选用怎样的直线方程，都要注意各自方程的限制条件，对特殊情况下的直线要单独讨论解决. 直线方程的选择技巧 　△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).求边AC和AB所在直线的方程. 跟踪训练2 ∵A(0,4)，C(－8,0)， 即x－2y＋8＝0， ∵A(0,4)，B(－2,6)， 即x＋y－4＝0. 32 1.知识清单： (1)直线的两点式方程. (2)直线的截距式方程. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式求直线方程时忽略截距不存在及过原点的情况导致漏解. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在x轴、y轴上的截距分别是－3,4的直线方程是 √ 1 2 3 4 √ 知直线l过点(－5,0)，(3，－3)， 3.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为______________ _____________. 1 2 3 4 2x－y＝0或 x－y＋1＝0 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0； 当在坐标轴上的截距不为零时， 将点P(1,2)代入方程可得a＝－1， 得直线方程为x－y＋1＝0. ∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0. 1 2 3 4 4.过(－1，－1)和(1,3)两点的直线在x轴上的截距为______，在y轴上的截距为____. 化简得2x－y＋1＝0， 1 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.过(－2,1)，(1,4)两点的直线方程为 A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1 C.y＝x＋2 D.y＝－x－2 √ 整理得y＝x＋3. 2.已知直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是 A.1 B.－1 C.－2或－1 D.－2或1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然a≠0. ∵直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由绝对值的性质，可得|a|>|b|，所以A正确； 由b－a>0，b＋a<0，所以(b－a)(b＋a)<0，所以C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.经过点A(2,5)，B(－3,6)的直线在x轴上的截距为 A.2 B.－3 C.－27 D.27 √ 令y＝0，得x＝27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.下列说法正确的是 A.经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B.经过点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 C.不经过原点的直线都可以用方程　　　　表示 D.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程 　(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过点P0(x0，y0)的直线不可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示； 选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过点A(0，b)的直线不可以用方程y＝kx＋b表示； 选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.经过点P(－1,2)并且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有 A.0条　 　 B.1条 C.2条 　　 D.3条 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当直线l经过原点时，直线方程为y＝－2x. 解得a＝1，b＝1，可得方程为x＋y＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得a＝－3，b＝3，可得方程为y－x＝3. 综上，满足条件的直线有3条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.如果直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，且点(1 011，b)在直线l上，那么b的值为________. 因为点(1 011，b)在直线l上，所以2×1 011－b＋1＝0，解得b＝2 023. 2 023 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则 直线l的方程为___________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l在y轴上的截距为a(a≠0)， 则在x轴上的截距为a＋1(a≠－1)， 即a2－3a＋2＝0，解得a＝2或a＝1， 9.如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系可用直线AB的方程表示. (1)求直线AB的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图知点A(60,6)，B(80,10)， 即x－5y－30＝0. (2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，令y＝0，解得x＝30， 即旅客最多可免费携带30千克的行李. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若直线l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)， ∴a＝±6. ∴直线l的方程为x＋y±6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设在x轴上的截距为a，则在y轴上的截距为－a(a≠0)， ∴a＝±6，∴直线l的方程为x－y±6＝0. 综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)过点A(4,1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 A.x＋y＝5 B.x－y＝5 C.x－4y＝0 D.x＋4y＝0 √ 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即x－4y＝0； 把点(4,1)代入，解得a＝5， 所以直线方程为x＋y＝5. 综上可知，直线方程为x＋y＝5或x－4y＝0. 12.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(－4,0)，C(6，0)，则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为 A.2x－y＋4＝0 B.x＋2y＋4＝0 C.2x＋y－4＝0 D.x－2y＋4＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由A(2,8)，C(6,0)，得AC的中点坐标为D(4,4)， 则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D(4,4)， 即x－2y＋4＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.过点P(4,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当OA＋OB取最小值时，直线l的方程为______________. x＋2y－6＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知A(3,0)，B(0,4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是_____. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当　 　　　取得最小值时直线l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(a,0)，B(0，b)，且a>0，b>0， 根据题意，易知点M在线段AB上， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5 当且仅当a＝b＝3时取等号， 此时直线l的方程为x＋y－3＝0. 提示　y－y1＝(x－x1)，即＝   ＝ A.＝ B.＝ C.＝ D.＝ 所以由两点式得直线的方程为＝. 根据两点式方程可得＝.  ＝ 所以＝，即＝， ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为＝，即x－(m－1)y－1＝0. 提示　由两点式得＝， 整理得＋＝1. ＋ (1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1. 又l过点A(3,4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1， 因为l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 设直线l的方程为＋＝1， 所以＋＝1， 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y－1＝0. 所以－4＝k·(－3)，解得k＝. 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. (1)当截距不为0时，设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(3,4)，所以＋＝1，解得a＝7， 又l过点(3,4)，所以4＝k·3，解得k＝， (1)若＝，求直线l的截距式方程； ∴直线l的截距式方程为＋＝1. ∵＝， ∴(3－a,1)＝(－3，b－1)， 即解得 ∴当·取得最小值时，直线l的方程为＋＝1，即x＋y－4＝0. (2)求当·取得最小值时直线l的方程. ∴＝，整理得＋＝1， ∴·＝(3－a,1)·(－3，b－1)＝3a＋b－10＝(3a＋b)－10＝＋≥2＝6，当且仅当＝，即a＝b＝4时，等号成立. ∴直线AC的截距式方程为＋＝1， ∴由直线的两点式方程，得直线AB的方程为＝， A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 所以直线l的斜率为＝－. 2.已知直线l的两点式方程＝，则直线l的斜率为 A.－ 　　B. 　　C.－ 　　D. 由两点式方程＝， 可设直线方程为－＝1， 由已知得直线的方程为＝， 令x＝0，得y＝1；令y＝0，得x＝－， 故直线在x轴、y轴上的截距分别为－，1. － 由直线的两点式得直线方程为＝， 把直线l：ax＋y－2＝0化为＋＝1. ∴＝2，解得a＝1. 3.(多选)已知直线＋＝1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中一定正确的是 A.|a|>|b| B.> C.(b－a)(b＋a)>0 D.> 因为直线＋＝1经过第一、二、三象限，可得a<0，b>0， 由直线的斜率小于1，可得0<－<1，结合a<0，可得a<0<b<－a， 由幂函数y＝的单调性，得>，所以B正确； 由<0，>0，所以<，所以D错误. 由两点式得直线方程为＝，即x＋5y－27＝0， ＋＝1 选项C不正确，当直线与x轴平行或者与y轴平行时，虽然不经过原点但不可以用方程＋＝1表示； 当直线l不经过原点时，设直线方程为＋＝1， 把点P(－1,2)代入可得＋＝1， 当a＝b时，＋＝1， 当a＝－b时，－＝1， 直线l的方程为＝，即2x－y＋1＝0，  ＋y＝1或＋＝1 则直线l的方程为＋＝1， 代入点A(6，－2)得－＝1， ∴直线l的方程为＋y＝1或＋＝1. 则直线AB的方程为＝， 则直线l的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. ∵|a|·|a|＝18，即a2＝36， 故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0. ∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36， 当直线过原点(0,0)时，直线方程为y＝x， 当直线不过原点(0,0)时，可设直线方程为＋＝1. 则所求直线方程为＝， 13.直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是 易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足. 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0). 由点P在直线l上，得＋＝1， ∴OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9. 当且仅当＝，即a＝6，b＝3时取“＝”. ∴直线l的方程为＋＝1，即x＋2y－6＝0. 直线AB的方程为＋＝1，则x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即当点P的坐标为时，xy取得最大值3. ||·|| 则直线l的方程为＋＝1， 又直线l经过点M(2,1)，所以＋＝1， 所以＝(a－2，－1)，＝(－2，b－1)， ||·||＝－· ＝(2a＋b)－5＝＋≥2＝4， $