第1章 §1.1 直线的斜率与倾斜角（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线的斜率与倾斜角，通过“过一点直线倾斜程度不同”的问题导入，从交通工程坡度实例抽象出斜率概念，推导公式后引入倾斜角定义，构建“坡度—斜率—倾斜角—两者关系”的知识支架，衔接前后内容。 其亮点在于以问题驱动结合数形结合，如例3通过图形分析直线与线段交点的斜率范围，培养数学眼光与思维。采用分类讨论（含参数斜率计算）、知识清单小结等方法，帮助学生系统掌握，教师使用可提升教学效率，促进学生数学语言表达与逻辑推理能力。

§1.1 第1章 <<< 直线的斜率与倾斜角 1.了解直线的斜率和倾斜角的概念. 2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 学习目标 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗？如图所示，过一点P可以作无数条直线a，b，c，…，我们可以看出这些直线都过点P，但它们的“倾斜程度”不同，怎样描述这种“倾斜程度”的不同呢？ 导 语 一、直线的斜率 二、直线的倾斜角 课时对点练 三、倾斜角和斜率的应用 随堂演练 内容索引 直线的斜率 一 提示　坡度越大道路越陡峭，坡度越小道路越平坦. 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图，一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD，竖直方向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k＝　　　　　　　.若k>0， 问题1 则表示上坡，若k<0，则表示下坡，为了实际应用与安全，在道路铺设时常要规划坡度的大小.那么“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，当x1≠x2时，你能用一个量反应直线l的倾斜程度吗？ 问题2 提示　可以用　　　的符号及大小反应直线l的倾斜程度. 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， (1)如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，__________是一个定值， 我们将其称为直线l的斜率.k＝　　　(x1≠x2). (2)如果x1＝x2，那么直线l的斜率不存在. 知识梳理 (1)当直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式. (2)当直线与y轴垂直时，斜率公式依然成立，此时k＝0. (3)直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关. 注 意 点 <<< 9 如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2). 例 1 (1)试计算直线l1，l2，l3的斜率； 由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在. 设它们的斜率分别为k1，k2，k3. 10 (2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率. 当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，其斜率不存在； 11 (1)若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”. (2)由例题中图可以看出：①当直线的斜率为正时(l1)，直线从左下方向右上方倾斜；②当直线的斜率为负时(l2)，直线从左上方向右下方倾斜；③当直线的斜率为0时(l3)，直线与x轴平行或重合. (3)斜率公式的用途：若直线l的斜率为k，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两个不同的点，由斜率公式可解决下列类型的问题：①由点P1，P2的坐标求k的值；②已知k及x1，y1，x2，y2中的三个量可求第四个量；③证明三点共线. 反 思 感 悟 12 　经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率. (1)A(2,3)，B(4,5)； 跟踪训练 1 (2)C(－2,3)，D(2，－1)； 13 (3)P(－3,1)，Q(－3,10)； (4)E(a,2)，F(3,6). 不存在.因为xP＝xQ＝－3， 所以直线PQ的斜率不存在. 当a＝3时，直线EF的斜率不存在； 14 二 直线的倾斜角 直线的倾斜角 (1)倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴绕着交点按_______方向旋转到与直线重合时，所转过的最小 α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这个角α称为这条直线的倾斜角. (2)与x轴平行或重合的直线的倾斜角为 . (3)直线的倾斜角α的取值范围为 . 逆时针 正角 0 [0，π) 知识梳理 16 (1)从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所转过的最小正角. (2)直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角. (3)已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是由直线上的一点和这条直线的倾斜角可以确定直线的位置. 注 意 点 <<< 17 　(1)(多选)下列命题中，正确的是 A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为－30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1) 例 2 √ √ 任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故A正确，B错误，C正确； 当α＝0°时，sin α＝0；当α＝90°时，sin α＝1，故D错误. 18 (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° √ √ 19 根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. 20 反 思 感 悟 (1)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的取值范围. 直线倾斜角的概念和范围 已知直线l1的倾斜角α1＝15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向之间所成的角为120°，如图所示，求直线l2的倾斜角. 跟踪训练 2 ∵直线l1与l2向上的方向之间所成的角为120°，l2与x轴交于点B， ∴倾斜角∠ABx＝120°＋15°＝135°. 22 倾斜角和斜率的应用 三 在直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°的过程中，其斜率如何变化？为什么？ 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 问题3 24 1.设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k＝0 _______ 不存在 ______ k的增减性   随α的增大而_____   随α的增大而_____ k>0 k<0 增大 增大 知识梳理 2.直线的斜率与倾斜角之间的关系 一般地，如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线l上两个不同的点，直线l的倾斜角为α，则 (1)当y1＝y2时(此时必有x1≠x2)，α＝ . (2)当x1＝x2时(此时必有y1≠y2)，α＝ . 0° 90° 知识梳理 正切函数在[0，π)上不单调. 注 意 点 <<< 27 已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； 例 3 如图，由题意可知 要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞). 28 (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 29 反 思 感 悟 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 倾斜角和斜率的应用 　　　　　已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2). (1)求直线AB和AC的斜率； 跟踪训练 3 31 (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 如图所示，当点D由点B运动到点C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC， 32 1.知识清单： (1)直线斜率的定义和斜率公式. (2)直线的倾斜角及其范围. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列说法正确的是 A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 √ √ √ 1 2 3 4 2.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于 A.2 　　 B.1　　 C.－1 　　D.－2 √ 1 2 3 4 设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC， ∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC， 1 2 3 4 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.下列选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是 A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5) √ D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 2.如图，直线l的倾斜角为 A.60°　　　　　 B.120° C.30°　　　　　 D.150° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题图易知l的倾斜角为45°＋105°＝150°. 3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为 A.－1 B.1 C.2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 A.k1<k2<k3 B.k1<k3<k2 C.k3<k2<k1 D.k3<k1<k2 √ 根据图象易得，k1<0，k2>k3>0，∴k1<k3<k2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当P运动到点B(1,3)时，直线的斜率最大， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知点A(1,2)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为____________. (3,0)或(0,3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，kPA＝－1，若点P在x轴上， 设点P的坐标为P(m,0)(m≠1)， 若点P在y轴上，设点P的坐标为P(0，n)， 综上，点P的坐标为(3,0)或(0,3). 8.若经过点A(1－t,1＋t)和点B(3,2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－2,1) 因为直线的倾斜角为钝角， 解得－2<t<1. 9.已知直线l经过A(－1，m)，B(m,1)两点.问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k＝0， ∴m＝1. (2)直线l与y轴平行？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在， ∴m＝－1. (3)直线l的倾斜角为45°？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，直线l的斜率k＝1， 解得m＝0. (4)直线l的倾斜角为锐角？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，直线l的斜率k>0， 解得－1<m<1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD＝60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD＝60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB＝kCD＝0， 由菱形的性质，知∠COB＝30°，∠OBD＝60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 A.－2 　　　B.－1　　　 C.1 　　　D.2 √ 设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得到点A′(a－2，b＋2)， 综合运用 12.(多选)已知A(1，－2)，B(2,1)，若直线l恒过点(0，－1)且与线段AB相交，则直线l的斜率取值可能是 A. 　　　　B.－2 　　　C.0 　　　 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设P(0，－1)， √ 由图可知，当－1≤k≤1时，直线l与线段AB相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知O(O为坐标原点)是等腰Rt△OAB的直角顶点，点A在第一象限， ∠AOy＝15°，则斜边AB所在直线的斜率为____________. 设直线AB与x轴的交点为C(图略)， 则∠ACO＝180°－∠A－∠AOC ＝180°－45°－105°＝30°，或∠ACO＝180°－∠A－∠AOC＝180°－45°－75°＝60°. 14.已知直线l经过点(2,1)和　　　　　　，则直线l的斜率为___________； 若m>0，则直线l的倾斜角θ的取值范围为_____________________________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 {θ|0°≤θ≤45°或90°<θ<180°} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题易知直线l的斜率存在，故θ≠90°. 所以0°≤θ≤45°或90°<θ<180°， 即直线l的倾斜角θ的取值范围是{θ|0°≤θ≤45°或90°<θ<180°}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 作出函数f(x)＝log3(x＋2)的大致图象，如图所示. 由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上， 且1≤x≤3， ＝       则由斜率公式得k1＝＝， k2＝＝－4，k3＝＝0. 当a≠3时，其斜率k＝＝. 存在.直线AB的斜率kAB＝＝1. 存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1. 当a≠3时，直线EF的斜率k＝. (3)当x1≠x2且y1≠y2时，tan α＝. kPA＝＝－1，kPB＝＝1. 由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝＝，直线AC的斜率kAC＝＝. 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. 所以直线AD的斜率的变化范围是. 由题意知tan 45°＝，解得m＝2. 则由斜率公式，得kAB＝＝－1，kBC＝＝－(m－2). 即－1＝－(m－2)，解得m＝. 3.若A(2,3)，B(3,2)，C三点共线，则实数m的值为______. 4.直线l经过点A(2，y)，B(3，－)，且倾斜角范围是，则y的取值范围是___________________________. (－∞，－2]∪[0，＋∞) 所以k＝tan θ∈[，＋∞)∪(－∞，－]. 又因为k＝， 所以y∈(－∞，－2]∪[0，＋∞). 因为倾斜角θ∈， 由＝2，得m＝. 4.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是 A. B. C.∪ D. ∵直线的斜率k∈(－∞，]， ∴k≤tan ， ∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪. 6.已知正△ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点P(x，y)是△ABC内部及其边界上一点，则的最大值为 A. 　　B. 　　C. 　　D. 正△ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)且顶点C在第一象限，故顶点C的坐标为(1＋，2)，  可看作△ABC内部及其边界上一点与点(－1,0)的连线斜率， 故的最大值为＝. 则＝－1，解得m＝3，即P(3,0). 则＝－1，解得n＝3，即P(0,3). 由题意知，kAB＝＝. 所以kAB＝<0， 即＝1， 即>0， 所以kOD＝kBC＝tan 60°＝. 所以kOC＝tan 30°＝，kBD＝tan 120°＝－. 于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1. － 则kAP＝＝－1，kBP＝＝1，如图， 所以kAB＝tan 30°＝或kAB＝tan 120°＝－. 或－ －m－＋3 则k＝tan θ＝＝－m－＋3. 当m>0时，tan θ＝－＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当m＝，即m＝1时，等号成立. 15.已知函数f(x)＝log3(x＋2)，若a>b>c>0，则，，的大小关系为 A.<< B.<< C.<< D.<< 所以<<. 16.已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围.  的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率. 所以可设该线段为AB，且A，B， 又kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪. $