第二章 2.7.2 抛物线的几何性质（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本高中数学讲义聚焦抛物线的几何性质，通过类比椭圆、双曲线研究方法，引导学生探究范围、对称性、顶点等性质，系统梳理4种标准方程的几何特征，结合例题与跟踪训练形成“探究-梳理-应用”学习支架。 资料以问题驱动培养数学眼光，通过椭圆短轴定抛物线对称轴等例题发展数学思维，用表格梳理性质提升数学语言表达能力。课中辅助教师系统授课，课后分层练习助力学生查漏补缺，强化知识应用。

2.7.2　抛物线的几何性质 [学习目标]　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线的几何性质解决一些简单的抛物线问题． 一、抛物线的简单几何性质 问题　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？ 提示　1.范围 当x>0时，抛物线y2 ＝2px(p＞0) 在 y 轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M 的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x≥0；当x 的值增大时，|y|的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线． 2．对称性 观察图象，不难发现，抛物线 y2 ＝ 2px (p＞0)关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛物线只有一条对称轴. 3．顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是坐标原点(0,0)． 4．离心率 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比称为抛物线的离心率．用e表示，e＝1. 知识梳理 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 注意点：(1)只有焦点在坐标轴上，顶点在坐标原点的抛物线的方程才是标准方程； (2)抛物线与双曲线不同，抛物线没有渐近线； (3)抛物线只有一条对称轴、一个顶点、一个焦点、一条准线； (4)所有抛物线的离心率均为1. 例1　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程． 解　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上， ∴抛物线的对称轴为x轴， ∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 其准线方程分别为x＝－3和x＝3. 反思感悟　确定抛物线的简单几何性质的三个要点 (1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负． (2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴． (3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 跟踪训练1　边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A．y2＝x B．y2＝－x C．y2＝±x D．y2＝±x 答案　C 解析　设抛物线方程为y2＝ax(a≠0)． 又A(取点A在x轴上方)， 则有＝±a， 解得a＝±， 所以抛物线方程为y2＝±x. 二、抛物线中的最值问题 例2　已知抛物线C：y＝a2x2的焦点为(0,2)，点P是抛物线C上任意一点，则点P到点A(0,5)距离的最小值为(　　) A．2 B．5 C．2 D．6 答案　A 解析　将抛物线C：y＝a2x2的方程化为标准形式为x2＝y， 因为抛物线C的焦点为(0,2)， 所以＝2，则a2＝， 所以x2＝8y，设P(x，y)， 则|PA|＝＝＝＝， 所以当y＝1时，|PA|min＝2. 反思感悟　求两点之间的距离最大或最小值的问题，转化为两点之间的距离，消元后根据二次函数求最值，但要注意自变量的取值范围． 跟踪训练2　已知P为抛物线y2＝4x上一点，Q为圆(x－6)2＋y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为(　　) A.－1 B．2－ C．2－1 D．21－4 答案　C 解析　设圆心为M，P(x，y)，则M(6,0)， |PM|＝＝ ＝＝， 当x＝4时，|PM|min＝2，|PQ|min＝2－1. 三、与抛物线有关的轨迹方程的求法 例3　已知点A(1,0)，M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足·＝0.若点P满足＝2，则点P的轨迹方程是________． 答案　y2＝4x 解析　设点M坐标为(a,0)，点N坐标为(0，b)，点P坐标为(x，y)， 则＝(－1，b)， ＝(－a，b)， ∴·＝a＋b2＝0⇒a＝－b2， 而＝(x－a，y)，＝(x，y－b)， ∴＝2⇒⇒ 代入a＝－b2可得y2＝4x. 反思感悟　根据题意设出动点的坐标，即“求谁设谁”，建立等式即可． 跟踪训练3　在平面直角坐标系xOy中，已知M(－1,2)，N(1,0)，动点P满足|·|＝||，则动点P的轨迹方程是(　　) A．y2＝4x B．x2＝4y C．y2＝－4x D．x2＝－4y 答案　A 解析　设P(x，y)，M(－1,2)，N(1,0)， ＝(－1－x,2－y)，＝(1,0)， ＝(1－x，－y)， 因为|·|＝||， 所以|1＋x|＝， 整理得y2＝4x. 1.知识清单： (1)抛物线的简单几何性质． (2)抛物线中的最值问题． (3)与抛物线有关的轨迹方程的求法． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：在求抛物线的焦点或准线方程时，易忽略把抛物线转化为标准形式． 1．抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为(　　) A．4 B．2 C．1 D. 答案　C 解析　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1，设抛物线上的动点P(x0，y0)， 根据抛物线的定义可知，|PF|＝1＋x0， 因为x0∈[0，＋∞)，所以|PF|＝1＋x0≥1， 故抛物线y2＝4x上的点与其焦点的距离的最小值为1. 2．已知点A(0，－1)，当B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是(　　) A．x2＝－y B．x2＝y C．x2＝4y D．x2＝－4y 答案　B 解析　设M的坐标为(x，y)，由题意点B与点A(0，－1)所连线段的中点为M，可知B(2x,2y＋1)， 动点B在曲线y＝2x2＋1上运动， 所以2y＋1＝2(2x)2＋1，所以x2＝y. 所以点B与点A(0，－1)所连线段的中点M的轨迹方程是x2＝y. 3．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2，则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案　A 解析　由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1， ∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2， 则P(3，±2)， ∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4， ∴点P到抛物线的焦点F的距离为4. 4．若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F，所以x0＝，所以y＝，所以y0＝±，即P. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．若抛物线y2＝2mx的焦点与圆x2＋y2－4x＝0的圆心重合，则m的值为(　　) A．－2 B．2 C．－4 D．4 答案　D 解析　由抛物线方程y2＝2mx可知其焦点为， 将圆的方程变形为(x－2)2＋y2＝4可知其圆心为(2,0)， 根据题意可得＝2，所以m＝4. 2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为(　　) A．(7，±) B．(14，±) C．(7，±2) D．(7,2) 答案　C 解析　根据抛物线y2＝8x，知p＝4， 根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离 等于点P到其准线x＝－2的距离，得xP＝7， 把xP代入抛物线方程解得yP＝±2， 故P(7，±2)． 3．若抛物线y2＝2px(p＞0)上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是(　　) A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2 答案　D 解析　设P为抛物线上任意一点， 则点P到焦点的距离等于其到准线x＝－的距离， 显然当P为抛物线的顶点时，点P到准线的距离取得最小值.∴＞1，即p＞2. 4．若抛物线y2＝2x上有两点A，B且AB垂直于x轴，若|AB|＝2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为， 则焦点到直线AB的距离为1－＝. 5．若动圆C过定点A(4,0)，且在y轴上截得的弦MN的长为8，则动圆圆心C的轨迹方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1(y>2) C．y2＝8x D．y2＝8x(x≠0) 答案　C 解析　设圆心C的坐标为(x，y)， 过点C作CE⊥y轴，垂足为E(图略)， 则|ME|＝4， ∴|CA|2＝|CM|2＝|ME|2＋|EC|2， ∴(x－4)2＋y2＝42＋x2，得y2＝8x. 6．(多选)以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．y2＝16x D．y2＝－16x 答案　AB 解析　设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，由题意知p＝4，∴抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x. 7．(5分)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为________． 答案　－ 解析　∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上， ∴＝2，∴p＝4. ∴抛物线的方程为y2＝8x， 则焦点F的坐标为(2,0)． 又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝＝－. 8．(5分)已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝________. 答案　6 解析　如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2， ∵M为FN的中点， |MM′|＝1， ∴M到准线距离 d＝|MM′|＋＝3， ∴|MF|＝3，∴|FN|＝6. 9．(10分)若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程． 解　设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)， 设A(x0，y0)，由题意知M. 因为|AF|＝3，所以y0＋＝3， 因为|AM|＝，所以x＋2＝17， 所以x＝8，代入方程x＝2py0得， 8＝2p，解得p＝2或p＝4. 所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y. 10．(12分)已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2，求抛物线的方程． 解　设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2.由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以点(1，)在抛物线y2＝2px上，点(－1，)在抛物线y2＝－2px上，可得p＝.于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x. 11．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，M为抛物线C上的一点，O为原点，使△OFM为等腰三角形的点M的个数为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 答案　C 解析　当MO＝MF时，点M为OF的垂直平分线与抛物线的交点， 此时xM＝，y＝4xM＝2， 故M，符合条件的点M有两个； 当OM＝OF时，点M为以O为圆心，OF为半径的圆与抛物线的交点， 则 解得xM＝－2＋， y＝－8＋4，符合条件的点M有两个， 所以点M的个数为4. 12．M是抛物线y2＝x上一点，N是圆(x＋1)2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＋1＝0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是(　　) A．2 B.－1 C. D.－1 答案　D 解析　设圆心(－1,4)关于直线对称的点为C(x，y)， 则 解得 曲线C为(x－3)2＋y2＝1，设M(a2，a)， 故|MC|＝＝＝， 当a2＝时，|MC|有最小值为， 故|MN|的最小值为－1. 13．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO 的面积为4，则抛物线方程为(　　) A．y2＝6x B．y2＝8x C．y2＝16x D．y2＝x 答案　B 解析　设M(x1，y1)， 则由|MF|＝4|OF|得x1＋＝4×， 即x1＝p，则y＝3p2， 则|y1|＝p，则S△OMF＝××p＝4，解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x. 14．(5分)抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________. 答案　6 解析　抛物线的焦点坐标为F，准线方程为y＝－. 将y＝－代入－＝1得|x|＝.要使△ABF为等边三角形，则tan＝＝＝，解得p2＝36，p＝6. 15.在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y轴上，抛物线的顶点在坐标原点，已知抛物线方程是x2＝4y，圆的半径为r，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O，则圆的半径r的取值范围是(　　) A．(2，＋∞) B．(1，＋∞) C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　A 解析　设圆心为P(0，a)(a>0)，Q(x，y)是抛物线上任意一点， 则|PQ|2＝x2＋(y－a)2＝4y＋(y－a)2 ＝(y－a＋2)2＋4a－4， 若|PQ|2的最小值不在O(0,0)处取得，则圆P不过原点， 所以a－2>0，即a>2， 此时圆的半径为|PQ|的最小值，即r＝＝2>2. 因此r的取值范围为(2，＋∞)． 16．(12分)已知抛物线y2＝2x. (1)设点A的坐标为，求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离|PA|；(6分) (2)在抛物线上求一点M，使M到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．(6分) 解　(1)设抛物线上任一点P(x，y)，则 |PA|2＝2＋y2＝2＋2x ＝2＋， x≥0，且在此区间上函数单调递增， 故当x＝0时，|PA|min＝， 故距离点A最近的点P的坐标为(0,0)． (2)设点M(x0，y0)是y2＝2x上任一点， 则M到直线x－y＋3＝0的距离为 d＝＝ ＝， 当y0＝1时，dmin＝＝， 此时点M的坐标为. 学科网（北京）股份有限公司 $