第二章 2.7.1 抛物线的标准方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦抛物线的标准方程核心知识点，系统梳理抛物线的定义（焦点与准线）、标准方程的推导过程（类比椭圆双曲线建系方法）、四种标准方程形式（含焦点坐标和准线方程）及定义的应用（距离转化与最值问题），搭建连接椭圆双曲线的学习支架，帮助学生构建圆锥曲线知识网络。 资料以迫击炮弹道情境引入，引导学生用数学眼光观察现实世界中的抛物线。通过丁字尺画图实验、问题链驱动定义推导，培养数学思维中的推理能力和空间观念。例题与跟踪训练分层设计，结合数形结合方法，助力学生用数学语言规范表达解题过程。课中辅助教师引导探究，课后知识清单与练习题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

2.7.1　抛物线的标准方程 [学习目标]　1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程的问题． 导语 在电视剧中敌我双方都曾使用一种单兵便携式火炮——迫击炮，迫击炮是一种曲射炮，发射后炮弹先飞向空中，飞过一个抛物线形的弹道后再砸向地面，很难防，地面上要防迫击炮的工事就必须是有顶盖的．对于躲在战壕中的敌人，迫击炮的密集发射无疑是一场灾难．因此研究抛物线是很有必要的，这节课我们就要走入课堂去看一看这种曲线——抛物线． 一、抛物线的定义 问题1　同学们对抛物线有了哪些认识？ 提示　在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象． 问题2　你能用画板、直尺、绳子画出抛物线吗？ 提示　如图所示，在画板上画一条直线l，使l与画板左侧的边线平行；再在直线l外画一个定点F.取一个丁字尺靠紧画板左侧外沿，丁字尺和直线l垂直且相交于点P，在丁字尺的另一端取一点Q，将一条长度等于|PQ|的细绳，一端固定在点Q，另一端固定在点F，用笔尖靠着丁字尺边缘并扣紧细绳，然后上下平移丁字尺，笔尖作出的曲线是抛物线的一部分． 知识梳理 一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线． 注意点：(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)，一定直线l(即准线)，一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)． (2)若点F在直线l上，则到定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线． 例1　在平面内，到直线x＝－2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是(　　) A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 答案　A 解析　动点到定点P(2,0)的距离与到定直线l：x＝－2的距离相等，所以点的轨迹是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线． 反思感悟　理解抛物线的定义是解决问题的关键，要抓住平面内的点到定点与到定直线的距离相等这一重要特征，但要注意的是定点不在定直线上． 跟踪训练1　在平面内，“点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　若点P的轨迹为抛物线，则点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，但若点P到某定点的距离等于其到某条定直线的距离，且该定点在该定直线上，则点P的轨迹就不是抛物线，故应为必要不充分条件． 二、求抛物线的标准方程 问题3　比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？ 提示　我们取经过点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并使原点与线段KF的中点重合，建立平面直角坐标系．设|KF|＝p(p>0)，那么焦点F的坐标为，准线l的方程为x＝－. 设M(x，y)是抛物线上任意一点， 则M到F的距离为|MF|＝，M到直线l的距离为， 所以＝， 将上式两边平方并化简，得y2＝2px(p>0)． 知识梳理 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) x＝－ y2＝－2px(p>0) x＝ x2＝2py(p>0) y＝－ x2＝－2py(p>0) y＝ 注意点：(1)p的几何意义是焦点到准线的距离． (2)标准方程的结构特征：焦点在坐标轴上，准线与焦点所在的坐标轴垂直． (3)抛物线的开口方向：抛物线的开口方向取决于标准方程中一次项系数的符号． (4)由方程写焦点坐标、准线方程时勿忘记化为标准方程． 例2　分别求符合下列条件的抛物线的标准方程． (1)经过点(－3，－1)； (2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点． 解　(1)因为点(－3，－1)在第三象限， 所以设所求抛物线的标准方程为 y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)． 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)， 则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝； 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)， 则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝. 故所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y. (2)对于直线方程3x－4y－12＝0， 令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4， 所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)． 当焦点为(0，－3)时，＝3，所以p＝6， 此时抛物线的标准方程为x2＝－12y； 当焦点为(4,0)时，＝4，所以p＝8， 此时抛物线的标准方程为y2＝16x. 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 反思感悟　用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 注意：当抛物线的焦点位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论情况的个数． 跟踪训练2　(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标为(1,0)，则p＝________，准线方程为__________． 答案　2　x＝－1　 解析　因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1. (2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5的抛物线的标准方程为____________． 答案　x2＝10y和x2＝－10y 解析　设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y. 三、抛物线定义的应用 例3　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 答案　A 解析　∵＋x0＝x0，∴x0＝1. (2)已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值． 解　由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离等于它到焦点的距离．由图可知，当点P，点(0,2)和抛物线的焦点F三点共线时所求距离之和最小， 所以最小距离d＝＝. 延伸探究 1．若将本例(2)中的点(0,2)改为点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值． 解　将x＝3代入y2＝2x， 得y＝±. 所以点A在抛物线内部． 设点P为其上一点，点P到准线(设为l)x＝－的距离为d， 则|PA|＋|PF|＝|PA|＋d. 由图可知，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值是. 即|PA|＋|PF|的最小值是. 2．若将本例(2)中的点(0,2)换为直线l1：3x－4y＋＝0，求点P到直线3x－4y＋＝0的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值． 解　如图，作PQ垂直于准线l于点Q， |PA1|＋|PQ|＝|PA1|＋|PF|≥|A1F|min. |A1F|的最小值为点F到直线3x－4y＋＝0的距离d＝＝1.即所求最小值为1. 反思感悟　 抛物线定义的应用 根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题． 跟踪训练3　(1)设点A的坐标为(1，)，点P在抛物线y2＝8x上移动，P到直线x＝－1的距离为d，则d＋|PA|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　由题意知抛物线y2＝8x的焦点为F(2,0)，点P到准线x＝－2的距离为d＋1，于是|PF|＝d＋1，所以d＋|PA|＝|PF|－1＋|PA|的最小值为|AF|－1＝4－1＝3. (2)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，若点A(2，－4)在抛物线上，则点A到焦点的距离为________． 答案　4 解析　把点(2，－4)代入抛物线y2＝2px，得16＝4p，即p＝4，从而抛物线的焦点为(2,0)．故点A到焦点的距离为4. 1.知识清单： (1)抛物线的定义． (2)抛物线的标准方程及图形． (3)抛物线定义的应用． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区： (1)解题时首先把方程化为标准形式． (2)抛物线的标准方程有四种情况，解题要分清焦点位置，必要时要讨论焦点的位置． 1．抛物线y＝－x2的准线方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．y＝2 D．y＝4 答案　C 解析　将y＝－x2化为标准方程x2＝－8y，由此可知准线方程为y＝2. 2．已知抛物线y＝2px2过点(1,4)，则该抛物线的焦点坐标为(　　) A．(1,0) B. C. D．(0,1) 答案　C 解析　由抛物线y＝2px2过点(1,4)，可得p＝2， ∴抛物线的标准方程为x2＝y， 则焦点坐标为. 3．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是(　　) A．5 B. C.－1 D.＋1 答案　C 解析　点P到抛物线的准线的距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，半径为1，圆心到抛物线焦点的距离为，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是－1，这个值即为所求．故选C. 4．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M的坐标为________． 答案　(－9,6)或(－9，－6) 解析　由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x. 由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)． 　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．过点A(3,0)且与y轴相切的动圆的圆心轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 答案　D 解析　由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故选D. 2．关于抛物线x＝4y2，下列描述正确的是(　　) A．开口向上，焦点坐标为(0,1) B．开口向上，焦点坐标为 C．开口向右，焦点坐标为(1,0) D．开口向右，焦点坐标为 答案　D 解析　由x＝4y2得y2＝x， ∴开口向右，焦点坐标为. 3．若点P到点(2,0)的距离比它到直线x＋3＝0的距离小1，则点P的轨迹方程是(　　) A．y2＝8x B．y2＝－8x C．x2＝8y D．x2＝－8y 答案　A 解析　由于点P到点(2,0)的距离与它到直线x＋3＝0的距离小1， 故点P到点(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等， 故点P是在以(2,0)为焦点，x＝－2为准线的抛物线上， 故轨迹方程为y2＝8x. 4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 答案　A 解析　易知直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线， 如图所示，动点P到l2：x＝－1的距离可转化为PF的长度， 其中F(1,0)为抛物线y2＝4x的焦点．由图可知，所求距离之和的最小值即F到直线l1的距离d＝＝2. 5．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　) A. B．1 C. D. 答案　C 解析　∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3， ∴xA＋xB＝. ∴线段AB的中点到y轴的距离为＝. 6．(多选)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，则m的值为(　　) A．2 B．－2 C．2 D．－2 答案　CD 解析　设所求抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 则焦点为F. ∵M(m，－3)在抛物线上，且|MF|＝5， ∴解得 ∴m＝±2. 7．(5分)设O为坐标原点，点P(2，y0)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，若P到C的准线的距离为，则|OP|＝______. 答案　2 解析　依题意P到C的准线的距离为， 所以2＋＝，解得p＝1， 所以C：y2＝2x，所以y＝2×2＝4， 所以|OP|＝＝2. 8．(5分)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上的一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________. 答案　8 解析　如图，∠AFE＝60°， 因为F(2,0)，所以E(－2,0)， 则＝tan 60°， 即|AE|＝4， 所以点P的坐标为(6,4)， 故|PF|＝|PA|＝6＋2＝8. 9．(10分)某地准备举行花车巡游活动，巡游花车必须通过一个抛物线型的拱门．如图，已知拱圈最高点距地面6米，拱圈两最低点的距离为12米，花车的设计宽度和高度分别为8米和2米，现准备在花车上搭建一个和花车同宽度的舞台供演员表演，求所搭建舞台的最大高度． 解　如图所示，建立平面直角坐标系， 由题意得A(－6，－6)，B(6，－6)， 设该抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， 代入A点，得36＝－2p(－6)， 解得p＝3， 故该抛物线方程为x2＝－6y， 令x＝4，得y＝－，∴E， ∴|EF|＝6－2－＝， 故所搭建舞台的最大高度为米． 10．(12分)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上两点A，B且AB⊥y轴，OA⊥OB，O为坐标原点，△AOB的面积为16，求抛物线C的方程． 解　设点A在第一象限且A(m，n)，m>0，n>0， 则B(－m，n)，可得m2＝2pn， 因为AB⊥y轴，且OA⊥OB， 即△AOB为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即m＝n， 由△AOB的面积为16，可得·2m·n＝16， 解得m＝n＝4，p＝2， 所以抛物线C的方程为x2＝4y. 11．已知P为抛物线y＝x2上的动点，A，B(1,2)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知，A为抛物线的焦点． 设点P到准线y＝－的距离为d， 则|PA|＋|PB|＝d＋|PB|，d＋|PB|的最小值为点B到准线的距离， 故最小值为2＋＝. 12．已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于(　　) A. B. C．3 D．2 答案　C 解析　设l与x轴的交点为D，过点Q作QQ′⊥l于点Q′，如图． ∵＝4， ∴|PQ|∶|PF|＝3∶4， ∴|QQ′|∶|FD|＝3∶4， 又焦点F到准线l的距离|FD|为4， ∴|QF|＝|QQ′|＝3. 13．已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，A是C的准线上一点，面积为4的等边△AFB的顶点B恰好在抛物线C上，则p等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　∵△AFB为等边三角形，∴|BF|＝|AB|， 又由抛物线的定义可知|BF|等于点B到抛物线准线l的距离， ∴BA⊥l，∴BA∥x轴， ∵S△AFB＝|AF|2sin ＝|AF|2＝4， ∴|AF|＝4， ∵BA∥x轴，∴∠AFO＝∠BAF＝， ∴cos∠AFO＝cos ＝＝， 解得p＝2. 14．(5分)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，|AF|＝5，则抛物线的标准方程为____________． 答案　y2＝±2x或y2＝±18x 解析　设焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)， 由抛物线的定义，得5＝|AF|＝， 又(－3)2＝2pm，所以p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线的标准方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 15．(5分)已知Pi(i＝1,2，…，2 022)是抛物线C：y2＝2x上的点，F是抛物线C的焦点，若＋＋…＋＝0，则||＋||＋…＋||＝________. 答案　2 022 解析　设Pi(xi，yi)(i＝1,2，…，2 022)，因为Pi(i＝1,2，…，2 022)是抛物线C：y2＝2x上的点，F是抛物线C的焦点，所以F，所以＝. 因为＋＋…＋＝0， 所以＋＋…＋＝0，从而x1＋x2＋…＋x2 022＝1 011. 又由抛物线的定义，可得||＝xi＋， 所以||＋||＋…＋|| ＝＋＋…＋ ＝(x1＋x2＋…＋x2 022)＋1 011＝2 022. 16．(12分)如图所示，抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点F在y轴上，准线l与圆x2＋y2＝1相切． (1)求抛物线C的方程；(4分) (2)若点A，B都在抛物线C上，且＝2，求点A的坐标．(8分) 解　(1)依题意，可设抛物线C的方程为x2＝2py(p>0)，其准线l的方程为y＝－. ∵准线l与圆x2＋y2＝1相切， ∴圆心(0,0)到准线l的距离d＝0－＝1， 解得p＝2.故抛物线C的方程为x2＝4y. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 由题意得F(0,1)， ∴＝(x2，y2－1)，＝(x1，y1)， ∵＝2， ∴(x2，y2－1)＝2(x1，y1)＝(2x1,2y1)， 即代入②得4x＝8y1＋4， 即x＝2y1＋1，又x＝4y1， ∴4y1＝2y1＋1， 解得y1＝，x1＝±， 即点A的坐标为或. 学科网（北京）股份有限公司 $