2.7.1 抛物线的标准方程-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

第二章平面解析几何。 2.7抛物线及其方程 2.7.1 抛物线的标准方程 的动圆圆心的轨迹是抛物线 学习目标 C.点P到F(0,8)的距离比它到直线 1.理解抛物线的定义及焦点、准线的概 =-7的距离大1，P点的轨迹是抛物线 念和抛物线标准方程中的p的几何意义， D.已知动圆P与定圆C:(x-2)2+y2=1相 2.掌握抛物线的标准方程及其推导方法. 外切，又与定直线1：x=-1相切，那 3.通过抛物线定义和标准方程的学习培 么动圆的圆心P的轨迹是抛物线 养数学抽象、直观想象能力 分析 在理解抛物线定义的基础上， 4.借助抛物线标准方程的推导提升逻辑 用定义进行判断。 推理和数学运算的能力， B变式训练① 要点精析 已知动点P(x,y)满足5V(x-1)+y2= 川要点1抛物线的定义 4x-3y+21,则动点P的轨迹是（) A.椭圆 B.双曲线 1.定义：一般地，设F是平面内的一个 C.直线 D.抛物线 定点，是不过定点F的一条定直线，则平 川要点2抛物线的标准方程 面上到F的距离与到（的距离相等的点的轨 迹称为抛物线 抛物线的标准方程 2.相关概念：定点F称为抛物线的焦 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 点，定直线称为抛物线的准线， y=2px 思考在抛物线的定义中，如果定点 (p>0) 号，0 加号 F在定直线1上，那么动，点的运动轨迹是怎 样的呢？ y=-2px (p>0) 号，0 号 例1（多选题）下列关于动点P的运 动轨迹描述正确的是() x2-2py A.平面内一个动点P到一定点F距离 (p>0) 0, =号 IPn与到一定直线m距离d的比值为 1,点P的轨迹是抛物线 x=-2py (p>0) B.过点F(0,3)且和直线y+3=0相切 学 高中数学选择性必修第一册人教B版 思考 （1)抛物线方程中，字母p的 分析 把MF比M到y轴的距离大1 几何意义是什么？ (2)求抛物线方程时，要注意什么？ 转化为MF与点M到x=- 的距离相等， 2 (3)已知抛物线的标准方程，怎样确 从而利用抛物线定义求解.同时要特别注意 定抛物线的焦点位置和开口方向？ 自变量的取值范围。 例2求满足下列条件的抛物线的标准 方程： D已如抛物线的焦点坐标为-号，0： (2)已知抛物线的准线方程为= 3 分析利用抛物线的焦点坐标、准线 方程求抛物线方程。 根据已知条件，确定好抛物线开口的 数学文化 方向就可以， 例修建桥梁在我国具有悠久的历史， 其中著名的赵州桥建于隋朝，巍然挺立，气 势雄浑，体现了古代劳动人民的智慧和才 干，是我国宝贵的历史遗产.现已知在某条 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶 5m时，水面宽为8m,一小船宽4m,高 2m,载货后船露出水面上的部分高0.75m, 则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米 时，小船开始不能通航？ B变式训练② 分析根据拱桥的形状，建立合适的 已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一 坐标系，确定抛物线的标准方程类型，进 点，点A到抛物线C的焦点的距离为12， 而求解」 到y轴的距离为9，则p=（) A.2 B.3 C.6 D.9 例3若位于y轴右侧的动点M到 F分，0的距离比它到y轴的距离大子求 点M的轨迹方程， 98)学变式训练4解：双曲线若-示1(a0,6>0)的渐近 线方程为)±么x,右焦点为FC,0),不妨设点P位于第 一象限，则PA为点Fc,O)到直线)广名的距离， 则IPA=1bc-0I=b,所以IOA=V1Om-PT=a. Vatb 又△0PF的周长为12，所以a+b+c=12 又台，得号06=12①. 4 又c+,器c,ha②， 16 联立①②得a=4,b=3,.双曲线方程的标准方程为 2-=1. 169 例5A【解析】设椭圆的长轴长为2a1,双曲线的实轴 长为22，P为第一象限的点， IPFI+IPF-2a,PF-tas, \IPFI-IPFJI=2cz,\IPFl=ar-az. 所以cos∠FPF=PEP+IPFP-4e 2IPFI-IPEI =（at224(a-2-4c2-1 2(a+a2)(a1-a2） 4 化简得3a+5ai=8c2, 所以3+5=8， ei e 所以=(+xg+音 例5答图 日345+等+j=gx18*2V西) 1 数学文化 C【解析】已知方程可以变形为m=（-2y+3 x2+y2+2y+1 ,即 Y平，即V瓦-平，其表示 Vm bx-2y+3引 V m lx-2y+31 V5 双曲线上一点(x,y)到定点(0，-1)与定直线x-2y+ 30之比为常数e=1V/5 ,又由e>l,可得0m<5,故选C m2.7抛物线及其方程 2.7.1抛物线的标准方程 要点精析 例1BCD【解析】IPF=d,但定点F可能在定直线m 上，故A错误； 参考答案⊙ 动圆圆心到F(0,3)的距离和到直线y+3=0的距 离都等于半径，故B正确； .·点P到F(0,8)的距离比它到直线y=-7的距 离大1，点P到F(0,8)的距离和它到直线y=-8的 距离相等，.P点的轨迹是抛物线，故C正确； 设动圆P的半径为r,则点P到点C的距离为+1， 点P到直线：x=-1的距离为r,由此可知点P到直线 x=-2的距离为r+1,P点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选BCD 变式训练1D【解析】5V(x-1)+y=4x-3y+21可变形 为V(x-1)+7=4-3y+21 5 等式左侧是点P(x,y)到点(1，O)的距离，而等 式右侧是点P(x,y)到直线4x-3+2=0的距离，∴点P 的轨迹是抛物线.故选D. 例2解：（①）抛物线的焦点坐标为分，0，设 抛物线标准方程为广-2pxp>0),由-分7，得p= 1,故抛物线的标准方程为2=-2x。 2):抛物线的准线方程为)子，设地物线的标 准方程为之2pyp0.由号号，得p=3,故抛物线 的标准方程为x2=-6y 变式训练2C【解析】设焦点为F,点A(,),由 抛物线定义得MA=x+号，由于点A到y轴的距离为9， 0=9,9+号=12，p=6,故选C 例3解：位于y轴右侧的动点M到F?,0的距离 比它到y轴的距离大了，“动点M到F分，0)的距离 与它到直线1：一了的距离相等。 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，1 为准线的抛物线（不包含原点），其方程应为y=2即x p>0)的形式，而号分，山，2印=2，放点M的轨 迹方程为y2=2x(x≠0) 数学文化 解：如图所示，以拱桥的拱 顶为原点，以过拱顶且平行于水 面的直线为x轴，建立平面直角 NKZZZ 坐标系. 例题答图 57 高中数学选择性必修第一册人教B版 设抛物线方程为2=-2py(p>0),由题意可知点 B(4,-5)在抛物线上，放p=受，得乌，当船面 两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为 A4,则A(2,小，由2六乌，得y=各.又知船面 露出水面上的部分高为0.75m,.h=yal+0.75=2（(m). .水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距2m时，小船开始 不能通航 2.7.2抛物线的几何性质 要点精析 例1解：由顶点与焦点的距离等于3，∴号=3，P=6. 又对称轴是y轴，.抛物线的标准方程为x2=±12y. 变式训练1解：当抛物线焦点在 y x轴正半轴上时，如图所示， △OAB为等边三角形，且边长为 0 1,43,.设抛物线方程 2,2 为-2pxp>0).-2即 变式训练1答图 2 p=V3 12 ，抛物线方程为了x同理，当抛物 6 线的焦点在x轴负半轴上时，方程为广-V3: 6 例2118或92【解析】点M到对称轴的距离为 6,.不妨设M(0,6). 点M到准线的距离为10， 6-2pxo, +号=10.解得 或 p=2 p=18 2 变式训练2C【解析】由抛物 线定文知Wn-W,w ，又△MHIN~△FOA, IMHI ™方 变式训练2答图 则MHM:MNM=1:V5, 即IMA:MNM=1:V5,故选C. 例3解：如图所示，设所求抛物线 的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px (p>0)·设交点A(x,y),B(x2,y2) (y>0,y2<0),则ly+ly2l=2V3,即 y1-y2=2V3.由对称性知y2=-少1， 例3答图 58 =V3.将y=V3代人x2+y2-4得 x=±1，∴.点(1，V3),(-1,V3)分别在抛物线 2p,广-2x上3=20或3(-2px-1),p=号，放 所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x 变式训练3C【解析】抛物线y=4x的焦点F(1,0), 准线方程=-1，由直线方程的点斜式可得直线MF的方 程为y=V3(x-1), 联立=V3(-1). y2-4x, 解得。 =3, 或 =25. 变式训练3答图 点M在x轴的上方，M(3,2V3), MW⊥l,∴.N(-1,2V3), N=V(1+1)2+(0-2V3)2=4, MA=lMN=V(3+1)2+(2V3-2V3)2=4, ∴.△MNF是边长为4的等边三角形. ·.点M到直线WF的距离为2V3.故选C 例4证明：(1)设A(x,y),B(x22),则y=2px1, y=2px2,0A LOB,.xyy2=0. y7=(2px1·(2p2)=4p2xx2=-4pyy2 y0y2≠0，y02=-4p2为定值，x2=-y2=4p2也是 定值. (2)y片-=(y2+y1)(y2-)=2印(x-)*. ①当x=时，x=x2=2印，且x2=4p2有直线AB方程 为x=2p,即直线AB过定点(2印，0)； ②当1≠时，由*式，1=2卫 x2-x1 y+y2 :yy=2x-)=2（x-) yty2 h+22p, =2px+出 yi+y2 yi+y2 =2卫x-4p=2(x-2p), yi+y2 y+y2 yrty2 .直线AB过定点(2印，0)· (3)设AB过定点P(2p,0),由OM⊥MP, .∠OMP=90°，知点M的轨迹是以OP为直径的圆. .点M的轨迹方程为(x-p)2+y2=p2(x≠0). 变式训练4点【解析】设AB的中点为P(0,O,分 Q 别过A,P,B三点作准线的垂线，垂足分别为A',Q, B.由题意得AA'+BB1=MB=4,PO=MA'+BB1=2.又 2