第二章 2.6.2 双曲线的几何性质（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦双曲线的几何性质这一核心知识点，通过类比椭圆性质引入，系统梳理范围、对称性、顶点（实轴虚轴）、渐近线、离心率等性质，结合表格对比两种标准方程的差异，例题与跟踪训练构建从概念理解到综合应用的学习支架。 资料以类比探究与问题驱动为特色，通过椭圆与双曲线的对比培养数学眼光，推导范围、渐近线趋势时注重逻辑推理发展数学思维，表格结构化呈现与例题分层设计提升数学语言表达。例如例1将方程化为标准形式求性质，例3结合圆与渐近线相切求离心率，课中辅助教师清晰授课，课后练习题帮助学生巩固知识弥补盲点。

2.6.2　双曲线的几何性质 [学习目标]　1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题． 导语 我们知道，椭圆是一条封闭的曲线，而双曲线是两支“开放式”的曲线，椭圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，它具有四个顶点，离心率的范围是(0,1)，它的大小决定着椭圆的扁圆程度；双曲线和椭圆有着相似之处，那双曲线又有怎样的性质呢？让我们一起对双曲线的性质进行探究吧！ 一、双曲线的简单几何性质 问题　类比对椭圆几何性质的研究，探究双曲线－＝1(a>0，b>0)的几何性质． 提示　1.范围 利用双曲线的方程求出它的范围，由方程－＝1可得＝1＋≥1， 于是，双曲线上点的坐标(x，y)都适合不等式≥1，y∈R， 所以x≥a 或x≤－a; y∈R. 2．对称性 －＝1(a>0，b>0)关于x轴、y轴和原点都对称． x轴、y轴是双曲线的对称轴，坐标原点是对称中心，又称为双曲线的中心． 3．顶点 (1)双曲线与对称轴的交点，称为双曲线的顶点． 顶点是A1(－a,0)，A2(a,0)，只有两个． (2)如图，称线段A1A2为双曲线的实轴，它的长为2a，a称为半实轴长；称线段B1B2为双曲线的虚轴，它的长为2b，b称为双曲线的半虚轴长． (3)实轴长与虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线． 方程为x2－y2＝m(m≠0)． 4．渐近线 双曲线在第一象限内部分的方程为y＝(x>a)， 它与直线y＝x的位置关系：在直线y＝x的下方． 它与直线y＝x的位置的变化趋势：慢慢靠近，如图． (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x. (2)利用渐近线可以较准确地画出双曲线的草图． 5．离心率 (1)定义：e＝. (2)e的范围：e>1. (3)e的含义：因为c>a>0，所以可以看出e>1，另外，注意到＝＝＝，说明e越趋近于1，则的值越小，因此双曲线的渐近线所夹的双曲线区域越狭窄． 知识梳理 标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0) 图形 性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≥a或y≤－a，x∈R 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：坐标原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长＝2a，虚轴长＝2b 离心率 e＝(e>1) 渐近线 y＝±x y＝±x 注意点：(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大． (2)等轴双曲线的离心率为，渐近线方程为y＝±x. (3)求双曲线的渐近线方程时要注意焦点所在坐标轴的位置． (4)焦点到渐近线的距离为b. 例1　求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程． 解　将9y2－4x2＝－36变形为－＝1， 即－＝1， 所以a＝3，b＝2，c＝， 因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－，0)，(，0)， 实轴长是2a＝6， 虚轴长是2b＝4， 离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x. 延伸探究 若将双曲线的方程变为nx2－my2＝mn(m>0，n>0)，求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程． 解　把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)， 由此可知，半实轴长a＝， 半虚轴长b＝，c＝， 焦点坐标为(，0)，(－，0)， 离心率e＝＝＝ ， 顶点坐标为(－，0)，(，0)， 渐近线方程为y＝± x，即y＝±x. 反思感悟　由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤 跟踪训练1　已知双曲线C：－＝1，则C的右焦点的坐标为__________；C的焦点到其渐近线的距离是__________． 答案　(3,0)　 解析　双曲线C：－＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，即x±y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝＝. 二、由简单几何性质求标准方程 例2　求满足下列条件的双曲线的方程： (1)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3,2)； (2)一个焦点为(0,13)，且离心率为； (3)过点(2,1)的等轴双曲线． 解　(1)设所求双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)． ∵e＝， ∴e2＝＝＝1＋＝， ∴＝. 由题意得解得 ∴所求的双曲线方程为－＝1. (2)依题意可知，双曲线的焦点在y轴上，且c＝13， 又＝，∴a＝5，b2＝c2－a2＝144， 故其标准方程为－＝1. (3)设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ≠0)， 代入点(2,1)，得λ＝3， ∴所求双曲线方程为－＝1. 反思感悟　由双曲线的性质求双曲线的标准方程 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式． (2)巧设双曲线方程的技巧 ①与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2)． ②渐近线方程为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)． ③等轴双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)． 跟踪训练2　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为； (2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程． 解　(1)设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题意知2b＝8，e＝＝，从而b＝4，c＝a， 代入c2＝a2＋b2，得a2＝9， 故双曲线的标准方程为－＝1. (2)∵e＝，∴＝，∴＝， ∴a2＝3b2.① 又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0， ∴d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．② 解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1. ∴双曲线的标准方程为－y2＝1. 三、双曲线的离心率 例3　已知圆C：x2＋y2－10y＋21＝0与双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线相切，则该双曲线的离心率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由双曲线－＝1(a>0，b>0)，可得其一条渐近线的方程为y＝x，即bx－ay＝0， 又由圆C：x2＋y2－10y＋21＝0，可得圆心为C(0,5)，半径r＝2， 则圆心到渐近线的距离为d＝＝， 则＝2，可得e＝＝. 反思感悟　求双曲线离心率的方法 (1)直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解． (2)齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解． 跟踪训练3　已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为(　　) A.＋1 B.＋1 C．2 D．2 答案　B 解析　不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a.因为△PF1F2是等腰直角三角形，所以只能是∠PF2F1＝90°，所以|PF2|＝|F1F2|＝2c， 所以|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c， 所以(2a＋2c)2＝2·(2c)2， 即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2， 得e2－2e－1＝0. 因为e>1，所以e＝＋1. 1．知识清单： (1)双曲线的几何性质． (2)由简单几何性质求标准方程． (3)双曲线的离心率． 2．方法归纳：待定系数法、直接法、解方程法． 3．常见误区：求双曲线方程时位置关系考虑不全面致错． 1. (多选)已知双曲线方程为x2－8y2＝32，则(　　) A．实轴长为8 B．虚轴长为4 C．焦距为6 D．离心率为 答案　ABD 解析　双曲线方程x2－8y2＝32化为标准方程为－＝1， 可得a＝4，b＝2，c＝6， 所以双曲线的实轴长为8，虚轴长为4，焦距为12，离心率为. 2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x 答案　B 解析　由已知可得2b＝2,2c＝2，∴b＝1，c＝， ∴a＝＝＝， ∴双曲线的渐近线方程为 y＝±x＝±x＝±x. 3．中心在原点，焦点在x轴上，且一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线的方程是(　　) A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝4 答案　A 解析　令y＝0，得x＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点为(－4,0)， ∴c＝4，a2＝b2＝c2＝×16＝8，故所求双曲线的方程为x2－y2＝8. 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点C，D的双曲线的离心率是________． 答案　＋1 解析　设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由以正方形ABCD的两个顶点A，B为焦点，且过点 C，D的双曲线，可得C(c,2c)， 代入双曲线方程得－＝1， 即－＝1. 可得e4－6e2＋1＝0， 解得e2＝3＋2， 所以e＝＋1. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，e＝＝. 2．已知双曲线的实轴和虚轴等长，且过点(5,3)，则双曲线方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　D 解析　由题意知，所求双曲线是等轴双曲线，设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，将点(5,3)代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即－＝1. 3．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　B 解析　∵e＝，∴＝，即＝3， ∴b2＝2a2，即b＝a， ∴渐近线方程为y＝±x. 4．设双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案　C 解析　由双曲线的几何性质可得，双曲线－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，又因为渐近线方程为3x±2y＝0，即y＝±x，故a＝2. 5．(多选)若双曲线C的一个焦点F(5,0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y＝±x，则下列结论正确的是 (　　) A．C的方程为－＝1 B．C的离心率为 C．焦点到渐近线的距离为3 D．|PF|的最小值为2 答案　AD 解析　 由双曲线C的一个焦点F(5,0)，且渐近线方程为y＝±x，可得c＝5，焦点坐标在x轴上，所以＝，因为c＝5，所以b＝4，a＝3，所以C的方程为－＝1，A正确； 离心率为e＝，B不正确； 焦点到渐近线的距离为d＝＝4，C不正确； |PF|的最小值为c－a＝2，D正确． 6．(多选)已知曲线C：＋＝1，下列说法不正确的是(　　) A．m<2时该曲线为双曲线 B．m＝1是曲线C为等轴双曲线的充要条件 C．若曲线C为双曲线，则该双曲线的焦点一定在x轴上 D．若曲线C为双曲线且离心率为，则m＝或m＝－ 答案　AB 解析　由题意知，若曲线C为双曲线，则即m<2且m≠0，故A不正确； 若该曲线为等轴双曲线，方程可化为－＝1， 则m2＝2－m，解得m＝1或m＝－2，故B不正确； 若曲线C为双曲线，则m≠0，∴m2>0，故C正确； e＝＝7， 即6m2＋m－2＝0， 解得m＝或m＝－，故D正确． 7．(5分)若双曲线y2－＝1(m>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则m＝________. 答案　 解析　双曲线的渐近线方程为x±my＝0， 圆x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化为 x2＋(y－2)2＝1， 则圆心坐标为(0,2)，半径r＝1. ∵双曲线的渐近线与圆相切， ∴圆心到渐近线的距离d＝＝1，得m＝或m＝－(舍去)． 8．(5分)若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为____________． 答案　－＝1 解析　椭圆4x2＋y2＝64可变形为＋＝1， a2＝64，c2＝64－16＝48， ∴焦点为(0,4)，(0，－4)，离心率e＝， 则双曲线的焦点在y轴上，c′＝4，e′＝＝， 从而a′＝6，b′2＝12， 故所求双曲线的方程为－＝1. 9．(10分)中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x－5)2＋y2＝16相切． (1)求双曲线的离心率；(5分) (2)P(3，－4)是渐近线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，若PF1⊥PF2，求双曲线的方程．(5分) 解　(1)设经过第一、三象限的渐近线的方程为y＝kx， 则＝4，解得k＝. 若双曲线焦点在x轴上， 则＝，e＝＝； 若双曲线焦点在y轴上，则＝， e＝＝， 故所求双曲线的离心率为e＝或e＝. (2)由题意设F1(－c,0)，F2(c,0)， 由PF1⊥PF2得·＝0. 即(－c－3,4)·(c－3,4)＝0， 所以(3＋c)(3－c)＋16＝0，解得c＝5， 由(1)知＝，又a2＋b2＝c2＝25， 所以a＝3，b＝4， 所以双曲线的方程为－＝1. 10．(10分)设双曲线－＝1(0<a<b)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 解　直线l的方程为＋＝1， 即bx＋ay－ab＝0. 于是有＝c， 所以ab＝c2，两边平方，得a2b2＝c4. 又b2＝c2－a2，所以16a2(c2－a2)＝3c4， 两边同时除以a4，得3e4－16e2＋16＝0， 解得e2＝4或e2＝. 又b>a，所以e2＝＝1＋>2，则e＝2. 于是双曲线的离心率为2. 11．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 答案　A 解析　由题意，点P(2,1)在双曲线C的渐近线y＝x上， ∴＝，即a＝2b. 又2c＝10， ∴c＝5. 由a2＋b2＝c2，解得a2＝20，b2＝5. 故所求双曲线C的方程为－＝1. 12．已知A，B，C是双曲线－＝1(a>0，b>0)上相异的三个点，点A，B关于原点对称，直线BC，AC的斜率乘积为2，则双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设A(x1，y1)，C(x2，y2)， 根据对称性，知B(－x1，－y1)， 所以kAC·kBC＝·＝. 因为点A，C在双曲线上，所以 两式相减得＝ ⇒＝ ⇒ kAC·kBC＝＝2， 所以e2＝＝＝1＋＝3⇒e＝. 13．已知P为双曲线－x2＝1上任意一点，过点P向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A，B，则|PA|·|PB|的值为(　　) A．4 B．5 C. D．与点P的位置有关 答案　C 解析　设点P(x0，y0)，则有－x＝1， 所以y－4x＝4. 易知双曲线－x2＝1的渐近线方程为2x±y＝0， 所以|PA|·|PB|＝·＝＝. 14．(5分)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，P为双曲线上任意一点，则点P到右焦点F2的距离与直线x＝的距离之比为________． 答案　2 解析　离心率e＝2，则＝2， ∴c＝2a，b2＝c2－a2＝3a2， ∴b＝a， ∴右焦点F2(2a,0)，直线x＝＝＝， 设点P(x0，y0)，∴－＝1，即－＝1， ∴点P到F2的距离与点P到直线x＝的距离之比为＝ ＝＝＝2. 15．(5分)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1(m>0，n>0)．若双曲线N的渐近线与椭圆M的交点恰好在以原点为圆心，椭圆M的焦距为直径的圆上，且交点到x轴的距离为交点到y轴的距离的倍，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________． 答案　－1　2 解析　依题意双曲线的渐近线方程为y＝±x，又双曲线N的渐近线与椭圆M的交点到x轴的距离为交点到y轴的距离的倍，所以＝，所以双曲线N的离心率为e′＝＝2. 设椭圆M的右焦点坐标为(c,0)，则双曲线N的渐近线与椭圆M的一个交点坐标为，因为点在椭圆M上，所以＋＝1， 即＋＝4，＋＝4， 即e2＋＝4， 即e4－8e2＋4＝0，解得e2＝4＋2(舍去)或e2＝4－2，所以e＝－1. 故椭圆M的离心率为－1. 16．(13分)双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)． (1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(5分) (2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．(8分) 解　(1)由题意，知＝1，c＝2，a2＋b2＝c2， 所以a2＝b2＝2， 所以双曲线方程为－＝1. (2)由题意，设A(m，n)，则kOA＝， 从而n＝m， 又m2＋n2＝c2，所以m＝c，n＝， 所以A， 将点A代入双曲线方程－＝1得， －＝1， 所以c2(3b2－a2)＝4a2b2且c2＝a2＋b2， 所以(a2＋b2)(3b2－a2)＝4a2b2， 所以3b4－2a2b2－a4＝0， 所以34－22－1＝0， 所以＝1，从而e2＝1＋＝2，又e>1， 所以e＝. 学科网（北京）股份有限公司 $