2.6.2 双曲线的几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版（2019）选择性必修第一册

2.6.2 双曲线的几何性质 第二章 平面解析几何 作者编号：、32200 1.理解并掌握双曲线的几何性质. 2.能求双曲线的离心率. 3.能利用双曲线的简单性质求标准方程. 学习目标 作者编号：、32200 1.双曲线的标准方程是什么？ 2.类比椭圆的几何性质，应研究双曲线的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 新课导入 作者编号：、32200 类比椭圆的几何性质，结合图象，思考以下问题: (1)从图象上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么它是否与椭圆一样有范围限制? 有限制，对于双曲线 <m></m> ，因为 <m></m> ，即x2≥a2，所以x≥a或x≤-a. 同理对于双曲线 <m></m> ，因为</m> ，即y2≥a2，所以y≥a或y≤-a. 课题探究 作者编号：、32200 (2)观察双曲线，它是不是轴对称图形?对称轴是哪条直线?是不是中心对称图形?对称中心是哪个点? 关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心. (3)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，这种说法对吗?为什么? 不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点. 课题探究 作者编号：、32200 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长为2a，a叫做实半轴长； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长为2b，b叫做双曲线的虚半轴长. F1 F2 x O y A1 A2 B1 B2 实轴 虚轴 特别地，实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 课题探究 作者编号：、32200 我们把 叫作双曲线 的离心率，用e表示. 那么双曲线的离心率的取值范围是多少？ ∵e ＞1， ∴e∈(1，+∞). 课题探究 作者编号：、32200 x O A1 y A2 B1 B2 F2 F1 直线 都称为双曲线 的渐近线. 根据双曲线的对称性可知，双曲线①向外无限延伸时，总是在由直线y合与直线y一一相交而分平面所成的、含双曲线焦点的两个区域内，并无限接近于这两条直线，但永远不会与它们相交，如图所示. 课题探究 作者编号：、32200 方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 焦点 顶点 范围 对称性 虚实轴 离心率 渐近线 F1(-c，0)，F2(c，0) A1(-a，0)，A2(a，0) x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a 中心：原点；对称轴：x轴、y轴 实轴长：2a；虚轴长：2b F1(0，-c)，F2(0，c) A1(0，-a)，A2(0，a) 归纳总结 课题探究 作者编号：、32200 问题1：椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度.那么，双曲线的离心率与开口大小有关系吗?怎样反映这种关系? 因为 <m></m> ，所以 <m></m> 越大， <m></m> 也越大， 即渐近线 <m></m> 的斜率的绝对值越大，这时双曲线的开口就越大， 因此离心率 <m></m> 可以用来表示双曲线开口的大小. 课题探究 作者编号：、32200 问题2：渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗? 渐近线相同的双曲线有无数条，不一定是同一条双曲线，但它们实轴长与虚轴长的比值相同. 问题3：实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率和渐近线分别是什么？ 离心率为e＝，渐近线方程为y＝±x. 课题探究 作者编号：、32200 例1 求下列方程表示的双曲线的实轴长、焦点坐标、离心率及渐近线方程. 解：(1) 由方程可知，焦点在x轴上，且a2=9，b2=16 所以，实轴长2a=6，焦点坐标为：(-5，0)，(5，0) 所以a=3，b=4 且 c2= a2+b2 ，即 c=5. 渐近线方程为： 离心率： 课题探究 作者编号：、32200 (2)将双曲线方程化成标准方程形式： 又因为 ，即 所以，实轴长2a=6，焦点坐标为： 离心率 渐近线方程为 可知焦点在y轴上，且a2+b2=9，所以a=b=3， 课题探究 作者编号：、32200 由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤: 归纳总结 课题探究 作者编号：、32200 例2 设a>1，则双曲线＝1的离心率e的取值范围是(　　) A．(，2) B．() C．(2，5) D．(2，) 解析：由题意得，双曲线的离心率e2＝()2＝＝1＋(1＋)2， 因为是减函数，所以当a>1时，0<<1， 所以2<e2<5，所以<e<， 故选B. 课题探究 作者编号：、32200 归纳总结 求双曲线离心率的取值范围，关键是根据条件得到不等关系，并想办法转化为关于a，b，c的不等关系，结合c2＝a2＋b2和＝e得到关于e的不等式，然后求解． 在建立不等式求e时，经常用到结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c－a. 课题探究 作者编号：、32200 例3 (1)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为2∶3，且经过点P(，2)，求双曲线方程； (2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)，求双曲线方程； (3)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10，求双曲线方程． 解：(1)设双曲线方程为＝1(a>0，b>0)， 依题意可得解得 故所求双曲线方程为y2－x2＝1. 课题探究 作者编号：、32200 (2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)，求双曲线方程； (2)设所求双曲线方程为＝1(a>0，b>0)． ∵e＝，∴e2＝＝＝1＋＝，∴＝. 由题意得解得 ∴所求的双曲线方程为＝1. 课题探究 作者编号：、32200 (3)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10，求双曲线方程． (3)方法一　当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为＝1， 由渐近线方程为y＝±x得，＝， 又2c＝10，由c2＝a2＋b2得a2＝20，b2＝5. ∴双曲线方程为＝1. 同理，当焦点在y轴上时，可得双曲线方程为＝1. 即所求双曲线方程为＝1或＝1. ∴所求双曲线方程为＝1或＝1. 课题探究 作者编号：、32200 方法二　由渐近线方程为y＝±x可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，即＝1. 由a2＋b2＝c2得|4λ|＋|λ|＝25，即λ＝±5. ∴所求双曲线方程为＝1或＝1. (3)已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，焦距为10，求双曲线方程． 课题探究 作者编号：、32200 常见双曲线方程的设法： 归纳总结 (1)已知焦点在x轴上的双曲线方程可设为＝1. (2)已知焦点在y轴上的双曲线方程可设为＝1. (3)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m>0，n>0)； 如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A>0，B>0). (4)与双曲线＝1或＝1(a>0，b>0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)． 课题探究 作者编号：、32200 课题探究 作者编号：、32200 1.双曲线 的顶点坐标是( @41@ ) A. ， B. ， C. ， D. ， 2.双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(　　) A.－ B.－4 C.4 D. B A 当堂检测 作者编号：、32200 3.(多选)若双曲线C的一个焦点F(5，0)，P是双曲线上一点，且渐近线方程为y=±x，则下列结论正确的是(　　) A.C的方程为＝1 B.C的离心率为 C.焦点到渐近线的距离为3 D.|PF|的最小值为2 AD 当堂检测 作者编号：、32200 课后小结 作者编号：、32200 $$