第二章 2.5.2 第1课时 椭圆的几何性质（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦椭圆的几何性质核心知识点，系统梳理椭圆标准方程（焦点在x轴和y轴两种情况）下的范围、对称性、顶点、轴长及离心率等性质，承接椭圆定义与标准方程，为后续圆锥曲线学习搭建关键支架。 资料通过问题引导学生观察图形抽象几何性质（数学眼光），用表格对比构建知识逻辑联系（数学思维），结合分类讨论例题与变式探究，培养严谨思维与创新意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生复习强化，弥补知识盲点。

2.5.2　椭圆的几何性质 第1课时　椭圆的几何性质 [学习目标]　1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆的标准方程中a，b，c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题． 导语 类比利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质，我们可以利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 一、椭圆的几何性质 问题1　观察椭圆＋＝1(a>b>0)的形状，你能从图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)． 知识梳理 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|＝2c 对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：(0,0) 范围 x∈[－a，a]，y∈[－b，b] x∈[－b，b]，y∈[－a，a] 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长 长轴长|A1A2|＝2a，短轴长|B1B2|＝2b 注意点：(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上． (2)中心O既是长轴中点又是短轴中点，也是F1F2的中点． (3)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (4)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 问题2　观察图，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同，扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示　利用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度． 如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝，记e＝，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆． 知识梳理 一般地，椭圆的半焦距与半长轴长之比e＝称为椭圆的离心率，e∈(0,1)． 当e越趋近于1时，椭圆越扁． 当e越趋近于0时，椭圆越接近于圆． 注意点：e＝. 例1　设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m＞0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标． 解　椭圆方程可化为＋＝1. ①当0＜m＜4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝＝＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4,2，焦点坐标为F1(－1,0)，F2(1,0)，顶点坐标为A1(－2,0)，A2(2,0)，B1(0，－)，B2(0，)． ②当m＞4时，a＝，b＝2， ∴c＝， ∴e＝＝＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4，焦点坐标为F1，F2，顶点坐标为A1，A2，B1(－2,0)，B2(2,0)． 反思感悟　用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 跟踪训练1　已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的半长轴长、半短轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． 解　(1)由椭圆C1：＋＝1，可得其半长轴长为10，半短轴长为8， 焦点坐标为(6,0)，(－6,0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1.几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10；②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)；④焦点：(0,6)，(0，－6)，焦距为12；⑤离心率：e＝. 二、由几何性质求标准方程 例2　求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为，焦距为8； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为； (3)长轴长是短轴长的3倍，且过点(3,0)． 解　(1)由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝＝＝，∴a＝8， 从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是＋＝1. (2)由已知得 ∴从而b2＝9， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (3)依题意得a＝3b， 若点(3,0)为长轴端点，则a＝3，b＝1， 椭圆方程为＋y2＝1， 若点(3,0)为短轴端点，则b＝3，a＝9， 椭圆的方程为＋＝1， 综上，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1. 反思感悟　利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是 跟踪训练2　根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程： (1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)； (2)与椭圆9x2＋4y2＝36焦点相同且短轴长为2； (3)过点M(1,2)，且与椭圆＋＝1的离心率相同． 解　(1)当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)． 依题意有 解得 ∴椭圆的标准方程为＋＝1. 同理可求出当焦点在y轴上时， 椭圆的标准方程为＋＝1. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)椭圆9x2＋4y2＝36的方程可化为＋＝1， 焦点坐标为(0，±)，即c＝， 又短轴长为2，∴2b＝2，∴b＝1，即a2＝b2＋c2＝6， 故所求的椭圆方程为x2＋＝1. (3)设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)，将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 三、椭圆的离心率 例3　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________． 答案　 解析　方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 方法二　由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以|PF2|＝. 又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e， 解得e＝或e＝－(舍去)． 延伸探究 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率． 解　如图， 在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°， ∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有＝＝， ∴＝， ∴e＝＝＝＝. 反思感悟　求椭圆离心率及取值范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 跟踪训练3　设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　) A．(0,3) B. C．(0,3)∪ D．(0,2) 答案　C 解析　当k>4时，c2＝k－4， 由条件知<<1，解得k>； 当0<k<4时，c2＝4－k， 由条件知<<1，解得0<k<3，综上知选C. 1.知识清单： (1)椭圆的简单几何性质． (2)由椭圆的简单几何性质求椭圆方程． (3)椭圆的离心率． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：(1)焦点位置不确定时应讨论焦点在x轴上和y轴上两种情况． (2)对含有a，c的齐次方程或不等式，不会转化为关于离心率e的方程或不等式求解． 1．椭圆4x2＋49y2＝196的长轴长、短轴长、离心率依次是(　　) A．7,2， B．14,4， C．7,2， D．14,4， 答案　B 解析　将椭圆方程化为标准形式＋＝1， 其中b＝2，a＝7，c＝3. 所以长轴长、短轴长、离心率依次为14,4，. 2．已知椭圆的离心率为，焦点是(－3,0)和(3,0)，则该椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　由题意知c＝3，＝， 则a＝6， ∴b2＝a2－c2＝27， ∴椭圆的方程为＋＝1. 3．若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点．依题意可知，△BF1F2是正三角形． ∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c， |BF2|＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝＝，即椭圆的离心率e＝. 4．(多选)已知以坐标原点为中心的椭圆，其右焦点为F(2,0)，给出下列四个条件，其中可求得椭圆的标准方程为＋＝1的有(　　) A．半短轴长为2 B．半长轴长为2 C．离心率为 D．一个顶点坐标为(2,0) 答案　ABC 解析　只需保证a＝2，b＝2，c＝2即可，且椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±2，0)，故ABC可求得椭圆的标准方程为＋＝1. 　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共24分 1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标是(　　) A．(±，0) B．(0，±) C．(±，0) D．(0，±) 答案　A 解析　在x＋2y＝2中，由y＝0得x＝2，由x＝0得y＝1，则该直线交x轴于点(2,0)，交y轴于点(0,1)， 依题意得a＝2，b＝1，则c＝＝，显然，椭圆焦点在x轴上， 所以椭圆的焦点坐标是(±，0)． 2．焦点在x轴上，半长轴长与半短轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　A 解析　依题意得c＝2， a＋b＝10，又a2＝b2＋c2，从而解得a＝6，b＝4.∴椭圆的方程为＋＝1. 3．曲线＋＝1与＋＝1(0<k<9)的关系是(　　) A．有相等的焦距，相同的焦点 B．有相等的焦距，不同的焦点 C．有不等的焦距，不同的焦点 D．以上都不对 答案　B 解析　曲线＋＝1的焦距为2c＝8，而曲线＋＝1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8，但焦点所在的坐标轴不同． 4．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为(　　) A. B．2 C. D．4 答案　C 解析　椭圆x2＋my2＝1的标准形式为x2＋＝1. 因为焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍， 所以＝2，所以m＝. 5.(多选)如图所示，一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成的角θ＝60°的平面所截，截面是一个椭圆，则下列结论正确的是(　　) A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的短轴长为2 C．椭圆的离心率为 D．椭圆的一个方程可能为＋＝1 答案　CD 解析　由题意，椭圆的短轴长与圆柱底面直径相等， 即椭圆的半短轴长b＝2，短轴长为2b＝4，B选项错误； 截面与底面所成的角为θ＝60°， 则椭圆的长轴长为2a＝＝8，得a＝4，A选项错误； c＝＝＝2， 离心率为e＝＝＝，C选项正确； 当以椭圆中心为原点，椭圆长轴所在直线为x轴，短轴所在直线为y轴建立坐标系时， 椭圆的方程为＋＝1，D选项正确． 6．(多选)若椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为(　　) A. B．－3 C．3 D. 答案　AB 解析　若焦点在x轴上，则＝1－2＝， ∴k＝； 若焦点在y轴上，则＝，∴k＝－3. 7．(5分)已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为____________________． 答案　(0，±) 解析　由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝， 故焦点坐标为(0，±)． 8．(5分)已知椭圆的半短轴长为1，离心率0<e≤，则长轴长的取值范围为________． 答案　(2,4] 解析　∵e＝ ，b＝1,0<e≤， ∴ ≤， 则1<a≤2，∴2<2a≤4， 即长轴长的取值范围是(2,4]． 9．(10分)已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m>0)的离心率e＝，求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标． 解　椭圆方程可化为＋＝1，m>0. ∵m－＝>0，∴m>， ∴a2＝m，b2＝，c＝＝ . 由e＝，得 ＝， ∴m＝1. ∴椭圆的标准方程为x2＋＝1， ∴a＝1，b＝，c＝. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a＝2和2b＝1，焦点坐标为，，四个顶点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，，. 10．(10分)如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(4分) (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程．(8分) 解　(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c. 所以a＝c，e＝＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 代入＋＝1，得＋＝1， 即＋＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＋＝1. 11．(多选)阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、半短轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为6π，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　AD 解析　由题意可知， 解得a＝3，b＝2，c＝1， 所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 12．椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点是F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝5|PF2|，则此椭圆离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|＝5|PF2|，则|PF1|＝，|PF2|＝， ∵|PF1|－|PF2|≤|F1F2|， ∴≤2c，e≥. 又e<1， ∴椭圆离心率的取值范围是. 13．把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P7，F是左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|等于(　　) A．21 B．28 C．35 D．42 答案　C 解析　设椭圆的右焦点为F′，则由椭圆的定义得|P1F|＋|P1F′|＝10， 由椭圆的对称性，知|P1F′|＝|P7F|， ∴|P1F|＋|P7F|＝10. 同理，可知|P2F|＋|P6F|＝10，|P3F|＋|P5F|＝10. 又|P4F|＝5，∴|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝35. 14．(5分)在平面直角坐标系中，椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率e＝________. 答案　 解析　如图，切线PA，PB互相垂直， 又半径OA垂直于PA， 所以△OAP是等腰直角三角形，＝a. 解得＝，则离心率e＝＝. 15．(多选)神舟飞船是中国自行研制、具有完全自主知识产权、达到或优于国际第三代载人飞船技术的空间载人飞船.“神舟十七号”于2023年10月26日成功发射，神舟飞船采用三舱一段结构，即由返回舱、轨道舱、推进舱和附加段构成，返回舱是宇航员返回地球的座舱，其轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G，若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则下列说法正确的有(　　) A．椭圆的长轴长为2 B．线段AB长度的取值范围是 C．△AFG的周长为4＋4 D．△ABF面积的最小值是4 答案　BC 解析　因为半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2)， 所以椭圆的半焦距c＝2，圆的半径r＝2， 又椭圆的短轴与半圆的直径重合，所以椭圆的半短轴b＝2， 所以椭圆的长轴长2a＝2＝4，A错误； 因为2≤|OA|≤2，|OB|＝2，所以4≤|AB|≤2＋2，B正确； 由题知，G为椭圆的下焦点，所以|AF|＋|AG|＝2a＝4， 又|FG|＝4，所以△AFG的周长为4＋4，C正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则S△ABF＝S△AFO＋S△BFO＝|OF||x1|＋|OF||x2|＝|x1－x2|， 由图可知，当直线AB与x轴重合时，|x1－x2|有最大值4，即△ABF面积的最大值是4，D错误． 16．(11分)椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，F1(－c,0)为焦点，离心率为e. 证明：椭圆上任一点P到F1的距离与到直线x＝－的距离之比为离心率e. 证明　设P(x0，y0)为椭圆上任一点，则＋＝1， F1(－c,0)，直线x＝－， 所以点P到直线x＝－的距离d＝， 故＝＝＝ ＝＝＝＝＝＝e， 即证原命题成立． 学科网（北京）股份有限公司 $