2.5.2 第2课时 点、直线与椭圆的位置关系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

m+3,c2m-m2=m42m ∴.a=m,b2= m+3m+3 1/m+2m Yn3=,即m2-m0, a vm 2 又.m>0,故m=1. (2)由（1)知椭圆方程为4上=1， 1 4 4,c21-13 故1，b2= 44 故焦点坐标为3,0，Y3,0, 2 顶点坐标为(1,0，(1,0，(0,7,0，-3】 变武训练2证明：设P代，，则kk产 k①. 又P在椭圆上，：艺+答-1 整理有疗=-好-)②. 将2代人①，有=号 例3之【解析】设IFF=2e(c>0),由IPFI:FI:1 PF=4:3:2,得Prgc,PF号c,且PrbP,由 椭圆的定义可得2a=PF+lPF,4e,离心率c=7 变式训练3解：设AB=BC=x,由cosB=-7及余弦定理」 18 AC-AP-2AB-C-G ,40哥x 椭圆以A、B为焦点，故2c=AB=x,又椭圆经过 点C,1G+BG=+号x=2a=号x,e=合 5 8 2 a 4 8，故 离心率e=8 3 变式训练3答图 参考答案。 数学文化 100-3476-c, 2 ①③【解析】依题意 40.36-a. 即838=-6，解得0-198， 12138=a+c, c=150. 2c=300,①正确；2a=3976,②错误； 离心半台03对、③正确 ∴.正确的为①③ 第2课时点、直线与椭圆的位置关系 要点精析 例1B【解析】：点Aa,1)在椭圆若+亏-1的外 部，号+宁>1.解得ae0,V7)U(V7,+). 故选B. 变式训练1解：利用直线PA2斜率的取值范围确定点 P的变化范围，再利用斜率公式计算直线PA,斜率的取 值范围. 由题知，A(-2,0),A2(2,0),当PA2的斜率为-2 时，1m:y=-2(x-2)代入椭圆方程中，有19x2-64x+52= 0,解得x2(合)或治得P治，治，此时直线 PA,斜率为冬，同理，当直线PH,的斜率为-1时，得 P号，号》，此时直线P,的斜率为圣 所以直线PA,的斜率的取值范围是[令，子) 例2C【解析】由椭圆方程得，=4，b2=1,c2=3, 右焦点坐标为(V3,0),则直线1的方程为y=-V3. y=x-1V3, 设A(,,B62,2),联立2+1， 消去Y得， 52-8V348=0,则场=8y,=g,MB V1FVo4=V7×V8}-4x号 令，即弦AB的长为号故选C 变式训练2解：(1)V310A=2I0B1,.V3a=2b, 又由-c,消去6得a2ae,解得台号 53 高中数学选择性必修第一册人教B版 ÷椭圆的离心率为了 (2)由(1)知a=2c,b=V3c,故椭圆方程为二 x2,2 多1，由题知：y子tc,点P坐标满足 c2t3c-L, 3 4+c), 消去y得7+6cx-13=0,=c,t=-号c(舍)， aple,e) 由圆心C在直线x=4上，可设C(4,t). 0c/Ap,42,得2.即C4.2》 .·圆与x轴相切，=2 又由圆C与1相切，得年(4+c)-2 =2,得c=2, 所以椭圆方程为兰+兰 16*121. 例3解：方法一：由椭圆的对称性知，直线AB的斜 率存在，设直线AB的方程为y-1=k(x-2),将其代入椭 圆方程并整理，得(42+1)x2-8(22-k)x+4(2-1)2-16-0. 设A(x,y),B(:,2),则，名是上述方程的两 根，于是+=8222 4k2+1 又M为线段AB的中点，女=42-2=2， 2 4k2+1 解得k=-子，故所求直线的方程为+2-40 方法二：设A(x1,),B(x2,2),x1≠M(2,1) 为线段AB的中点，x+2=4,y+y=2. 又A,B两点在椭圆上，则x+4y=16,+4y=16. 两式相减，得（行-）+407-)0，于是(+x2)(x-x2)+4(y+ y2)(0y1-y2)=0. 求直线的方程为x+2y-4=0. 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y), 由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为 B(4-x,2-y). x2+4y2-16,① A,B两点都在椭圆上，《4244(2-y2=16.② ①-②，得x+2y-4=0,即点A的坐标满足这个方程，根 据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A,B两 点的直线只有一条，故所求直线的方程为x+2y-4=0. 54 变式训练3后+号1【解析】设A(:.B,以， A,B都在椭圆上，点的坐标适合椭圆方程，则+ a. 杀-1①.等+若1②.①-②有+ y+20y-22-0③. AB的中点坐标为(1，-1)，x+x2=2,y+y2=-2. 又A,B,AB的中点及椭圆右焦点F(3,O)四点 共线，-宁，代人③式，求得18. X一比2 3-1 b9,则椭圆C的方程为。+号1 b=2, 例4解：(1)由题意可得 a2=b2+c2, e=&=V5 a3 a=3, 解得b=2, 所以椭圆方程为号+苦-引 c=V5, (2)由题意可知，直线PQ的斜率存在，设PQ: =k(x+2)+3,P(x1,n),Q(2,y2), y=k(x+2)+3, 联立方程组号+号1. 消去y得(4h2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0, 则△=642(2k+3)2-64(42+9)(k2+3k)=-1728k>0,解 得k<0,可得x+x= 8k(2k+3) 4h2+92,62= 16(k2+3k) 4h2+9 因为A(-2,0),则直线AP方程 为2+2. 令0，解得=2% x1+2 即M0,2丝 名+2， 同理可得N0,2, 则MN中点的纵坐标为 例4答图 2y1+22 x+2T+2-[k(x+2)+3]+[k(x+2)+3] 2 x1+2 x2+2 =[kx+(2k+3)](+2)+[+(2k+3)](x+2】 (x+2)(x2+2) 2hxx+(4h+3)(x+x2)+4(2+3) xx2+2(x1+x2)+4 32(k3+3k)_8k(4k+3)(2k+32+4(2k+3) 4k2+9 4h+9 16(2+3k)_16k(2k+3)+4 4h2+9 42+9 所以线段MN的中点是定点(0,3). 数学文化 ABC【解析】设P(x,y),点P到点F的距离是 点P到直线1的距离的一半，.2V(-1)+y=x-4l,化 简得若号1，故A正确： x+2y-4=0, 联立方程组2+兰=， 可得(x-1)2-0,解得x=1, 43 放存在P山，子，直线：x+2-40是“最远距离直 线”，故B正确； 如图所示，过点P作PB垂直直线1：x=4,垂足为 B,则由题可得IPBI=2IPF,则PA+2IPF=HPA+PB,则由图 可知，PA+PB的最小值即为点A到直线I:x=4的距离 5,故C正确； =4 例题答图 由x2+2-20可得(-1)2+2=1，即圆心为(1,0)， 半径为1，易得点P的轨迹与圆交于点(2,0)，故D 错误.故选ABC m2.6双曲线及其方程 2.6.1双曲线的标准方程 要点精析 例1AC【解析】由题意，知MW=4,当a=0时， IPM-PW=O,点P的轨迹是线段MN的垂直平分线，是 一条直线，故A正确；当a=1时，1PM-PW=2a=2<4,此 时点P的轨迹是双曲线的一支，故B不正确；当a=2时， IPM-PWN=2a=4=MN,点P的轨迹为以N为端点沿x轴 向右的一条射线，故C正确：当a=3时，lPM-lPWM=2a= 6>4,点P的轨迹不存在，故D不正确.故选AC. 变式训练1D【解析】根据两点间距离公式可知， V(x+2)+y-V(x-2)+y=2表示动点P(x,y）到两定点 F(-2,0),F(2,0)的距离之差等于2，而2<FF=4, 参考答案。 由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线的右支.故选D 例2解：(1)：焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方 程为号-示1(@0，b0) 又焦距为2V6,经过点(-5,2)， 草山 2e=2V6,解得a5,L,双曲线的标准方 a2+b2=c2, 程为芳1. (2)由已知得c=6,且焦点在y轴上.：点A(-5,6) 在双曲线上，2a=V(-5-0)4(6467-V(-5-0)+(6-6了 13-51=8,则a=4,b2=c2-a2=62-42=20,∴.所求双曲线的 标准方程是兰-二-1. 1620 变式训练2解：(1)：焦点在x轴上，可设双曲线的 77左=1（心0，b>0). 标准方程为女 将点P(4,-2)和Q(2V6,2V2)代人方程得 164-1, a2 b2 解得a2=8,b2=4, 24山 双曲线的标准方程为专羊-1 (2)设双曲线的方程为Ax2+B2=1,AB<0, 点P,Q在双曲线上， 9A+222B=1, 16 A=16 1 则 解得 故双曲线的标准 256A+25B=1, B-I 9 9 方程为号后引 例3D【解析】由双曲线定义，点P在以A,B为焦点 的双曲线的右支上，=1，c=2. 设，以则芳1≥)①， P在函数y=3V4-图象上，y=3V4-x2②， x13 4 联立①，②得 而IOP=Vx2+y2=V10.故选D. 变式训练3解：圆F:(x+5)2+y2-1,圆心坐标为F(-5, 0),半径r=1; 圆F2:(x-5)2+2-16,圆心坐标为F(5,0),半径r=4. 55第2课时点、直 学习目标 1.能利用椭圆的简单几何性质解决问题 2.掌握点与椭圆位置关系等相关知识. 3.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识. 要点精析 川要点1点与椭圆的位置关系 设P,0.概圆等+若-1b>0). 2 则点P与椭圆的位置关系如下所示： (山)点，W）在椭圆内e2+护<1 (2)点P(o,o)在椭圆上台始+拾=l. a b2 (3)点代，0在椭圆外台亭+答>1 思考椭圆上一点P到焦点F或F的 距离称为椭圆的焦半径.椭圆的焦半径公式 是什么？ 例1若点A(a,1)在椭圆 的外部，则a的取值范围是() A.(-V2,V2) B.(-∞，-V2)U(V2,+∞) C.(-2,2) D.(-1,1) B变式训练① 椭圆C:号+号=1的左、右顶点分别 43 为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的 第二章平面解析几何 线与椭圆的位置关系 取值范围是[-2，-1]，求直线PA1斜率的 取值范围. 川要点2直线与椭圆的位置关系 判断直线和椭圆位置关系的方法 直线与椭圆的位置关系，从几何角度来 看有三种：相离时，直线与椭圆没有公共 点；相切时，直线与椭圆有一个公共点；相 交时，直线与椭圆有两个公共点.代数方法 是将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一 个未知数，得到一个一元二次方程.若△>0， 则直线和椭圆相交；若△=0，则直线和椭圆 相切；若△<0，则直线和椭圆相离， 思考椭圆的焦点弦是什么？焦点弦 长的最小值是多少？ 例2已知斜率为1的直线1过椭圆 4 +=1的右焦点，交椭圆于A,B两点，则弦 AB的长为() 4 A. B. 5 C.8 D. 13 学(87 高中数学选择性必修第一册人教B版 反思感悟 根与系数的关系及弦长公式： 设直线I:y=kx+m(k≠0，m为常数) 与销园导+护-1@0)相交，两个文点 为A(x1,y1),B(x2,y),则线段AB称为 直线1截椭圆所得的弦，线段AB的长度称 为弦长」 下面我们推导弦长公式：由两点间的 距离公式，得AB1=V(x1-2)+(y-y2)2,将 y1=kx1+m,y2=kx2+m代入上式，得AB= V(x1-x2)2+(kx1-kx2)2=V(x1-x2)2+k2(x1-x2)乃 =V1+k2e1-2l,而lx1-x2=V（x1+x2)2-4xx2, .AB=V1+k2.V(x+x2)2-4xx2,其中x1+x2 与x心2均可由根与系数的关系得到 P变式训练2 设椭圆等+云1(ab>0)的左焦点为 F,左顶点为A,上顶点为B,已知V3IOA= 21OB1(0为坐标原点). (1)求椭圆的率心率： (2)设经过点F且斜率为子的直线1与 椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x 轴和直线1相切，圆心C在直线x=4上，且 OC∥AP,求椭圆的方程. 88)学 川要点3弦中点及中点弦问题 中点弦问题常用“根与系数的关系”或 “点差法”求解. (1)利用根与系数的关系：将直线方程 代入椭圆的方程，消元后得到一个一元二次 方程，利用根与系数的关系和中点坐标公式 建立等式求解，注意不能忽视对判别式的 讨论， (2)点差法：若直线1与椭圆C有两个 交点A,B,一般地，首先设出A(x1,y), B(2,y2),代入椭圆方程，通过作差，构造 出x+名2，y+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点 坐标和斜率的关系. 例3已知椭圆+父=1的弦AB的中 164 点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程. B变式训练③ 已如椭圆C:羊+l(@b>0)的焦距 为6，过右焦点F的直线1交椭圆C于A,B 两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则椭 圆C的方程为 川要点4定点问题 例4已知椭圆c:苦+若-1(o>0) 的离心率是S,点A(-2,0)在C上 (1)求C的方程； (2)过点B(-2,3)的直线交C于P, Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为 M,N,证明：线段MN的中点为定点. 第二章平面解析几何。 数学文化 例（多选题)泰戈尔说过一句话： “世界上最远的距离，不是树枝无法相依， 而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹； 世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹， 而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.” 已知点F(1,0),直线1：x=4,动点P到点 F的距离是点P到直线1的距离的一半.若某 直线上存在这样的点P,则称该直线为“最 远距离直线”，则下列结论中正确的是 A点P的锐迹方程是导+号= B.直线l1:x+2y-4=0是“最远距离直线” C.平面上有一点A(-1,1),则PA+ 2PF的最小值为5 D.点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0是没 有交汇的轨迹（也就是没有交点）》 学(89