第二章 §2.4 曲线与方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦“曲线与方程”核心知识点，从直线与二元一次方程的对应关系切入，系统阐述曲线与方程的定义（纯粹性、完备性），梳理求曲线方程的方法（直接法、定义法等），并延伸至曲线交点的判断，构建完整知识支架。 通过概念辨析例题（如判断命题真假）培养推理意识，多种求方程方法（如代入法、定义法）发展抽象能力，结合跟踪训练与练习题，助学生用数学语言表达关系。课中辅助教师引导教学，课后学生可回顾强化，弥补知识盲点。

[学习目标]　1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系.2.初步学会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法． 导语 同学们，前面我们学习了坐标平面上的直线，通过二元一次方程可以定量计算直线的倾斜角、距离、夹角等数量问题，也可以通过二元一次方程组判断直线的平行、垂直，这一切都源于二元一次方程与直线的对应，这种对应就是直线上的点都是二元一次方程的解，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，这实际上就是曲线与方程的对应关系，今天我们对曲线与方程进一步拓展学习． 一、曲线的方程与方程的曲线 问题　请同学们举出我们所学习过的曲线与方程的关系． 提示　一次函数：二元一次方程⇔直线；幂函数、三角函数、对数函数、指数函数等都可以用方程F(x，y)＝0表示．包括我们学习过的几何图形中的点、线、圆，也都可以用二元的方程来表示． 知识梳理 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系： (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解； (2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．则称曲线C为方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0为曲线C的方程． 例1　(1)(多选)命题“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是真命题，则下列命题中不正确的是(　　) A．方程F(x，y)＝0的曲线是C B．方程F(x，y)＝0的曲线不一定是曲线C C．F(x，y)＝0是曲线C的方程 D．以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上 答案　ACD 解析　“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，但“以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A，C，D都不正确，B正确． (2)在平面直角坐标系中，方程|x|·y＝1表示的曲线是(　　) 答案　C 解析　由题意知x≠0，则方程|x|·y＝1， 即y＝＝故选C. (3)已知方程x2＋(y－1)2＝10. ①判断点P(1，－2)，Q(，3)是否在此方程表示的曲线上； ②若点M在此方程表示的曲线上，求m的值． 解　①∵12＋(－2－1)2＝10， ()2＋(3－1)2＝6≠10， ∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(，3)不在此曲线上． ②∵M在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上， ∴2＋(－m－1)2＝10，解得m＝2或m＝－. 反思感悟　(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性． (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程． 跟踪训练1　(1)“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　∵y2＝4x⇒y＝2或y＝－2， 故点M在曲线y2＝4x上，但不一定在曲线y＝－2上， ∴点M的坐标不一定满足方程y＝－2. 反过来，点M的坐标满足方程y＝－2， 则点M一定在曲线y＝－2上，故也一定在曲线y2＝4x上， ∴“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2”的必要不充分条件，故选B. (2)方程x＝表示的图形是(　　) A．两个半圆 B．两个圆 C．圆 D．半圆 答案　D 解析　∵x＝，∴x≥0， 平方得x2＋y2＝1(x≥0)，对应的曲线为半圆． (3)若方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0的曲线过点P(2,1)，则k＝________. 答案　3或－2 解析　由定义知，方程的曲线上的点的坐标一定满足曲线的方程，即点P(2,1)满足方程x2＋k2y2－3x－ky－4＝0， 即4＋k2－6－k－4＝0，即k2－k－6＝0， 解得k＝3或k＝－2. 二、求曲线的方程 知识梳理 求动点M轨迹方程的一般步骤： (1)设动点M的坐标为(x，y)(如果没有平面直角坐标系，需先建立)； (2)写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用M的坐标表示出来； (3)化简并检验所得方程是否为M的轨迹方程． 例2　设圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为C，过坐标原点O作圆C的弦OA，求OA的中点B的轨迹方程． 解　方法一　(直接法)设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC(图略)． 由题意，得|OB|2＋|BC|2＝|OC|2， 即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1， 化简得2＋y2＝. 故OA的中点B的轨迹方程为2＋y2＝(x≠0)． 方法二　(定义法)设点B的坐标为(x，y)(x≠0)，连接BC(图略)． 由圆的性质，知BC⊥OA，记OC的中点为M，则点M的坐标为，连接BM，则|BM|＝|OC|. 所以点B在以点M为圆心，OC为直径的圆上， 故点B的轨迹方程为2＋y2＝(x≠0)． 方法三　(代入法、相关点法)设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x，y)(x≠0)． 由题意，得即 又(x1－1)2＋y＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即2＋y2＝， 故点B的轨迹方程为2＋y2＝(x≠0)． 反思感悟　求曲线方程的方法 (1)直接法：当所求动点满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程． (2)代入法(相关点法)：当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点满足的条件或轨迹方程中，整理即得所求动点的轨迹方程． (3)参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标中的x，y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其一般方程． (4)定义法：若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出曲线方程． 跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程． 解　(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在， 所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝， 所以·＝－1， 化简得x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． 方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)． 所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)． (2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝， 所以x0＝2x－3，y0＝2y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)， 将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4， 即(x－2)2＋y2＝1. 因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)． 三、根据方程研究曲线的性质 知识梳理 讨论曲线的性质一般从以下几个方面入手 曲线的组成和范围 由哪些基本曲线组成和求得曲线的大致范围 曲线与坐标轴的交点 令x＝0，y＝0求出曲线与坐标轴的交点坐标 曲线的对称性 如用－y代替y后方程不变，则曲线关于x轴对称；用－x代替x后方程不变，则曲线关于y轴对称；同时用－x代替x，－y代替y后方程不变，则曲线关于原点对称 研究曲线的变化趋势 y随x的增大或减小的变化情况 根据方程画出曲线的大致形状 通过列表、描点先画出一个象限内的图象，再根据对称性画出全部图象 例3　已知两曲线的方程为C1：2x－5y＋5＝0，C2：y＝－，判断两曲线有无交点．若有交点，求出交点；若无交点，请说明理由． 解　建立方程组 由①②消去y，得2x2＋5x＋50＝0，③ Δ＝25－4×2×50<0，因此方程③无实数解，从而方程组无实数解， 因此曲线C1：2x－5y＋5＝0与曲线C2：y＝－无交点． 反思感悟　结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线的交点坐标的问题转化为解方程组的问题，把讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．如果只涉及曲线的一部分，常用到数形结合． 跟踪训练3　已知直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，求实数b的取值范围． 解　方法一　由 消去x，得2y2－2by＋b2－1＝0(y≥0)．(*) l与曲线C有两个公共点，等价于方程(*)有两个不相等的非负实数解， 可得 解得1≤b<， 即实数b的取值范围为[1，)． 方法二　在同一平面直角坐标系内作出y＝x＋b与y＝的大致图象，如图所示，当直线l与半圆相切时，圆心(0,0)到y＝x＋b的距离d＝1，即＝1，解得b＝或b＝－(舍去)．当直线l过点(－1,0)时，b＝1，则当直线l与曲线C有两个公共点时，实数b的取值范围为[1，)． 1.知识清单： (1)曲线的方程与方程的曲线的定义． (2)求曲线的方程(动点的轨迹方程)． (3)曲线的交点． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：动点的轨迹与动点的轨迹方程是不同的，易忽视，求得方程后易漏掉检验． 1．方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为(　　) A．一条直线 B．一条射线 C．一条线段 D．不能确定 答案　B 解析　方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线． 2．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线是(　　) 答案　D 解析　∵xy<0，当x>0时，y<0，曲线应在第四象限；当x<0时，y>0，曲线应在第二象限，且与坐标轴均无交点． 3．曲线y＝与xy＝2的交点是(　　) A．(1,1) B．(2,2) C．直角坐标系内的任意一点 D．不存在 答案　D 解析　联立即1＝2方程无解， 即两曲线无交点． 4．若动点P在y＝2x2＋1上移动，则点P与点Q(0，－1)连线的中点的轨迹方程为________． 答案　y＝4x2 解析　设PQ的中点为M(x，y)，且P(x0，y0)， 则∴ 又∵点P在y＝2x2＋1上，∴y0＝2x＋1， 即2y＋1＝8x2＋1， 即y＝4x2为所求的轨迹方程． 　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．“曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”是“曲线C的方程是F(x，y)＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　结合曲线方程的定义易得． 2．方程|x|－|y|＝0表示的图形是(　　) 答案　C 解析　由|x|－|y|＝0知y＝±x，即表示第一、三象限角平分线或第二、四象限角平分线． 3．平面内有两定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|＋|＝4，则点P的轨迹是(　　) A．线段 B．半圆 C．圆 D．直线 答案　C 解析　以AB的中点为原点，以AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(－2,0)，B(2,0)．设P(x，y)， 则＋＝2＝2(－x，－y)．∴x2＋y2＝4. 4．与点A(－1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为－1的动点P的轨迹方程是(　　) A．x2＋y2＝1 B．x2＋y2＝1(x≠±1) C．y＝ D．x2＋y2＝9(x≠0) 答案　B 解析　设P(x，y)，则kPA＝，kPB＝， 所以kPA·kPB＝·＝－1. 整理得x2＋y2＝1，又kPA，kPB存在，所以x≠±1. 所以所求轨迹方程为x2＋y2＝1(x≠±1)． 5．(多选)下列方程对应的曲线与曲线y＝x是同一条曲线的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝logaax D．y＝ 答案　CD 解析　y＝logaax＝x，y＝＝x，故选CD. 6．(多选)下列说法中正确的是(　　) A．方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线 B．到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y＝－2 C．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示四个点 D．曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0 答案　CD 解析　对于A，方程＝1表示斜率为1，在y轴上的截距为－2的直线(除掉点(2,0))，所以A错误； 对于B，到x轴的距离为2的点的轨迹方程为y＝－2或y＝2，所以B错误； 对于C，方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示点(－2,2)，(－2，－2)，(2，－2)，(2,2)四个点，所以C正确；D显然正确． 7．(5分)两条直线x＋y＋5a＝0与x－y－a＝0的交点在曲线y＝x2＋a上，则实数a＝________. 答案　0或－1 解析　由 解得 因为两直线x＋y＋5a＝0与x－y－a＝0的交点在曲线y＝x2＋a上， 所以－3a＝(－2a)2＋a，化为a(a＋1)＝0， 解得a＝0或a＝－1. 8．(5分)已知定点A(0,1)，直线l1：y＝－1，记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹方程为__________． 答案　x2＝4y 解析　设动点C(x，y)，根据题意可知，点C到点A的距离与到直线l1：y＝－1的距离相等，所以＝|y＋1|，两边平方整理得x2＝4y. 9．(10分)已知曲线C1的方程是x2－y＝0，曲线C2的方程是|y|＝|x|，判断C1与C2是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由． 解　联立两个方程得方程组 解方程组可得或或 因此C1与C2有三个交点， 且交点坐标为(0,0)，(1,1)，(－1,1)． 10．(10分)如图所示，圆O1和圆O2的半径都等于1，|O1O2|＝4，过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM，PN(M，N为切点)，使得|PM|＝|PN|.试建立平面直角坐标系，并求动点P的轨迹方程． 解　以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系， 则O1(－2,0)，O2(2,0)． 连接PO1，MO1，PO2，NO2. 由已知|PM|＝|PN|， ∴|PM|2＝2|PN|2. 又∵两圆的半径均为1， ∴|PO1|2－1＝2(|PO2|2－1)． 设P(x，y)， 则(x＋2)2＋y2－1 ＝2[(x－2)2＋y2－1]， 即(x－6)2＋y2＝33. ∴所求动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33. 11．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的是(　　) A．两条直线 B．一条直线和一条双曲线 C．两个点 D．圆 答案　C 解析　方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0， 即解得或 故方程表示两个点(－1，－1)，(1,1)． 12．已知y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是(　　) A．a>1 B．0<a<1 C．0<a<1或a>1 D．a∈∅ 答案　A 解析　 ∵a>0，∴y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)的图象大致如图，要使y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1. 13．笛卡尔、牛顿都研究过方程(x－1)(x－2)(x－3)＝xy，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是(　　) A．该曲线关于y轴对称 B．该曲线关于原点对称 C．该曲线不经过第三象限 D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数 答案　C 解析　以－x代x，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝xy，方程改变，不关于y轴对称，故A错误； 以－x代x，－y代y，得到(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝－xy，方程改变，不关于原点对称，故B错误； 当x<0，y<0时，(x－1)(x－2)(x－3)<0，xy>0，显然方程不成立， ∴该曲线不经过第三象限，故C正确； 令x＝－1，易得y＝24，即(－1,24)适合题意，同理可得(1,0)，(2,0)，(3,0)适合题意，故D错误． 14．(5分)如图，过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于点A，l2交y轴于点B，则线段AB的中点M的轨迹方程为________． 答案　x＋2y－5＝0 解析　设点M的坐标为(x，y)，因为M为线段AB的中点， 所以A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)， 则＝(2x－2，－4)，＝(－2,2y－4)， 因为l1⊥l2，所以·＝0， 则－2(2x－2)－4(2y－4)＝0， 整理得x＋2y－5＝0， 所以点M的轨迹方程是x＋2y－5＝0. 15．(5分)直线l：y＝k(x－5)(k≠0)与圆O：x2＋y2＝16相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，则弦AB的中点M的轨迹方程为________________． 答案　2＋y2＝ 解析　设M(x，y)，易知直线恒过定点P(5,0)， 再由OM⊥MP， 得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2， ∴x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25， 整理得2＋y2＝. ∵点M应在圆内， ∴所求的轨迹为圆内的部分． 解方程组 得两曲线交点的横坐标为x＝，又k≠0， 故所求轨迹方程为2＋y2＝. 16．(13分)过点M(1,2)的直线与曲线y＝(a≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围． 解　当过点M的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点． 故设直线方程为y－2＝k(x－1)(k≠0)， 联立方程，得 消去x，得y2－(2－k)y－ka＝0.① 当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点． ∴Δ＝[－(2－k)]2＋4ka>0.(*) 设方程①的两根分别为y1，y2， 由根与系数的关系，得y1＋y2＝2－k. 又∵y1＋y2＝a，∴k＝2－a， 代入(*)式中，得3a2－8a<0， 解得0<a<. 又∵k≠0， ∴2－a≠0，即a≠2. ∴a的取值范围是(0,2)∪. 学科网（北京）股份有限公司 $