第二章 2.3.4 圆与圆的位置关系（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦圆与圆的位置关系这一核心知识点，系统梳理位置关系的几何法（圆心距与半径关系）和代数法（判别式）判断方法，公切线条数规律，相交弦方程及长度计算，以及综合性问题应用。通过类比直线与圆的位置关系构建学习支架，形成从几何直观到代数运算的完整认知脉络。 资料以日食现象导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，激发探究兴趣。通过表格对比位置关系判定条件，结合例题与跟踪训练，培养学生用数学思维分析问题的能力，强化逻辑推理。课中辅助教师直观教学，课后助力学生通过反思感悟和分层练习查漏补缺，提升知识应用与表达能力。

2.3.4　圆与圆的位置关系 [学习目标]　1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 导语 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生，日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食． 我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系． 一、两圆位置关系的判断 知识梳理 1．圆与圆的位置关系及判断 位置关系 相离 相交 相切 外离 内含 外切 内切 图示 交点个数 0 0 2 1 1 判定 方法 几何法 d>r1 ＋r2 d< |r1－r2| |r1－r2| <d< r1＋r2 d＝ r1＋r2 d＝ |r1－r2| 代数法 Δ<0 Δ<0 Δ>0 Δ＝0 Δ＝0 说明：d为两圆的圆心距，r1，r2分别为两圆半径，Δ为联立两圆方程消去一个未知数后的一元二次方程的根的判别式． 2．两圆的公切线 同时与两个圆相切的直线称为两圆的公切线．当两圆的位置关系不同时，公切线的条数也不同．具体情况如下表： 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 切线图示 切线条数 4 3 2 1 0 注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系． (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法． 例1　已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0)．试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含． 解　圆C1，C2的方程，经配方后可得 C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心C1(a,1)，C2(2a,1)，半径r1＝4，r2＝1. ∴|C1C2|＝＝a. (1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切； 当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切． (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交． (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离． (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含． 反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系． 跟踪训练1　(1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为(　　) A．1或3 B．4 C．0 D．2 答案　D 解析　对两个圆的方程配方得圆C1：(x－1)2＋(y＋2)2＝1及圆C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝， 则圆心距d＝|C1C2|＝＝， 因为1－<<1＋， 故两个圆相交，则这两个圆的公切线有2条． (2)圆O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1与圆O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系为________． 答案　外切 解析　两圆的圆心分别为O1(－2,2)，O2(2,5)，半径分别为r1＝1，r2＝4， 所以|O1O2|＝＝5＝r1＋r2， 所以两圆相外切． 二、相交弦问题 例2　已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程． 解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立圆C1与圆C2的方程，得 由①－②，得x－y＋4＝0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程． 又圆C1的圆心C1(－3,0)，半径r1＝， ∴圆心C1到直线AB的距离d＝＝， ∴|AB|＝2＝2×＝5， 即两圆的公共弦长为5. (2)解方程组 得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)． 设所求圆的圆心坐标为(a，b)， 因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则＝， 解得a＝，故所求圆的圆心坐标为，半径为. 故所求圆的方程为2＋2＝. 反思感悟　(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解． 跟踪训练2　圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________． 答案　(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0) 解析　方法一　由 解得或 所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)． 由解得 所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4， 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 方法二　同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)， 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 由解得 所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16. 三、圆与圆的综合性问题 例3　求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程． 解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题意知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，且切点为M， 故＝.② ＝r.③ 由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 延伸探究　将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－)的圆的方程”，如何求圆的方程？ 解　因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a,0)，设半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切， 且过点(3，－)， 所以解得 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 反思感悟　通过直线与圆、圆与圆的位置关系建立数学模型，利用方程思想解决与圆有关的综合性问题． 跟踪训练3　圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0(a∈R)与圆C2：x2＋y2－2by－1＋b2＝0(b∈R)只有一条公切线，则a＋b的最小值为________． 答案　－ 解析　由题意可知两圆内切，又由两圆的标准方程分别为C1：(x＋a)2＋y2＝4，C2：x2＋(y－b)2＝1， 可得两圆圆心分别为C1(－a,0)，C2(0，b)，半径分别为2和1. 则＝2－1＝1， 所以a2＋b2＝1. 又由(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤1＋a2＋b2＝2，当且仅当a＝b时等号成立， 所以－≤a＋b≤，所以a＋b的最小值为－. 1.知识清单： (1)两圆位置关系的判定及应用． (2)相交弦问题． (3)圆与圆的综合性问题． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：忽略两圆相切包含外切与内切两种情况． 1．圆C1：x2＋y2－1＝0和C2：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(　　) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 答案　B 解析　圆C1：x2＋y2－1＝0的圆心为C1(0,0)，半径为r1＝1，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－4＝0的圆心为C2(2，－1)，半径为r2＝3，两圆的圆心距d＝|C1C2|＝＝，又r2－r1＝2，r1＋r2＝4，所以r2－r1<d<r1＋r2，故两圆相交． 2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　) A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0 C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0 答案　C 解析　AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心坐标(2，－3)代入，即可排除A，B，D. 3．两圆x2＋y2－10x－10y＝0，x2＋y2＋6x＋2y－40＝0的公共弦的长为(　　) A．5 B．5 C．10 D．10 答案　D 解析　两圆方程相减得公共弦所在直线方程为4x＋3y－10＝0， 圆x2＋y2－10x－10y＝0可化为(x－5)2＋(y－5)2＝50，r＝5. 所以圆心(5,5)到直线4x＋3y－10＝0的距离d＝＝5， 所求弦长为2＝2＝10. 4．已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是____________． 答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36 解析　设圆C的半径为r， 圆心距d＝＝5， 当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4； 当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6， 则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16 或(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为(　　) A．相交 B．外切 C．内切 D．外离 答案　C 解析　由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切． 2．圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝25的公切线有(　　) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 答案　B 解析　设圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2， 依题意得C1(－1,1)，r1＝2；C2(3,4)，r2＝5， ∴|C1C2|＝＝5， ∵r2－r1＝3<|C1C2|<r1＋r2＝7， ∴C1，C2两圆相交， 从而两圆有2条公切线． 3．(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是(　　) A．(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝9 C．(x－2)2＋(y－2)2＝25 D．(x－2)2＋(y＋2)2＝49 答案　BCD 解析　由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0， 可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2. A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3. ∵|C1C|＝∈(r1－r，r1＋r)， ∴两圆相交，不满足条件； B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3， ∵|C2C|＝5＝r＋r2， ∴两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5， ∵|C3C|＝3＝r3－r， ∴两圆内切，满足条件； D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7， ∵|C4C|＝5＝r4－r， ∴两圆内切，满足条件． 4．已知圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0，圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0，若圆C2平分圆C1的周长，则m＋3n等于(　　) A．20 B．－20 C．10 D．－10 答案　B 解析　圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0⇒(x－1)2＋(y－3)2＝10， 所以圆心为(1,3)，半径为， 若圆C2平分圆C1的周长，则圆C1的圆心(1,3)在圆C2与圆C1的公共弦上， 将圆C2：x2＋y2＋mx＋ny＝0与圆C1：x2＋y2－2x－6y＝0作差， 得两圆公共弦所在直线方程为(m＋2)x＋(n＋6)y＝0， 代入(1,3)得(m＋2)×1＋(n＋6)×3＝0⇒m＋3n＝－20. 5．圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线l被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝截得的弦长为(　　) A. B. C．5 D. 答案　A 解析　由题意将圆C1和圆C2的方程相减， 可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为 x＋y－1＝0. 又圆C3的圆心坐标为(1,1)， 其到直线l的距离d＝＝， 由已知条件知，r2－d2＝－＝(r为圆C3的半径)， 所以弦长为2×＝. 6．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是(　　) A．5 B．1 C．3－5 D．3＋5 答案　C 解析　圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0化为标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9， 圆心为C1(4,2)，半径为3； 圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0化为标准方程为 (x＋2)2＋(y＋1)2＝4， 圆心为C2(－2，－1)，半径为2， ∴两圆的圆心距|C1C2|＝＝＝＝3>5， ∴两圆外离， ∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去两圆半径的和，即3－5. 7．(5分)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是________． 答案　4a2＋b2＝1 解析　圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为 (x＋2a)2＋y2＝4，圆心为C1(－2a,0)，半径为2. 圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1，圆心为C2(0，b)，半径为1. 由于两圆只有一条公切线，所以两圆内切， 所以＝2－1＝1， 整理得4a2＋b2＝1. 8．(5分)经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________． 答案　x2＋y2－x－y－＝0 解析　由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0. 9．(10分)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系；(5分) (2)求公共弦的长．(5分) 解　(1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆心C1(1，－5)，半径r1＝5，圆心C2(－1，－1)，半径r2＝.又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，所以r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，所以两圆相交． (2)方法一　两方程联立，得方程组 两式相减得x＝2y－4，③ 把③代入②得y2－2y＝0，解得y1＝0，y2＝2， 所以或 所以两圆交点坐标为(－4,0)和(0,2)， 所以两圆的公共弦长为＝2. 方法二　同方法一得x－2y＋4＝0为两圆公共弦所在直线的方程． 由(1)知圆心C1(1，－5)，半径r1＝5，圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3， 所以两圆的公共弦长为2＝2＝2. 10．(10分)已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0. (1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；(5分) (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．(5分) 解　(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4， 所以圆C的圆心为C(3,4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意． ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)，即kx－y－k＋1＝0. 由题意知，圆心C(3,4)到直线l1的距离等于半径2， 所以＝2，即＝2， 解得k＝，所以直线l1的方程为5x－12y＋7＝0. 综上，直线l1的方程为x＝1或5x－12y＋7＝0. (2)依题意，设圆心D(a，a＋2)． 已知圆C的圆心为C(3,4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|＝5， 所以＝5， 解得a＝－1或a＝6. 所以D(－1,1)或D(6,8)， 所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9. 11．已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝m有公共点”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝m的圆心为C2(4，－3)，半径r2＝(m>0)，则|C1C2|＝＝5，两圆有公共点⇔|－1|≤5≤＋1，解得16≤m≤36，显然[16,36][16，＋∞)．故“m≥16”是“圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝m有公共点”的必要不充分条件． 12．设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则圆心距|C1C2|等于(　　) A．4 B．4 C．8 D．8 答案　C 解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， ∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等． 设两圆的圆心坐标分别为C1(a，a)，C2(b，b)， 则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2， 即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根， 整理得x2－10x＋17＝0， ∴a＋b＝10，ab＝17. ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32， ∴|C1C2|＝＝＝8. 13．(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　) A．公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0 B．线段AB的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0 C．公共弦AB的长为 D．P为圆O1上一动点，则点P到直线AB距离的最大值为＋1 答案　ABD 解析　对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B， 两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确； 对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为O1(1,0)，又kAB＝1，则线段AB的垂直平分线的斜率为－1，即线段AB的垂直平分线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确； 对于C，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，半径r1＝1，所以|AB|＝2＝，故C不正确； 对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝，半径r1＝1，即点P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确． 14．(5分)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长为________． 答案　4 解析　如图所示，由于⊙O与⊙O1在点A处的切线互相垂直， 因此OA⊥O1A， 所以|OO1|＝＝5. 又OO1垂直平分线段AB，设线段AB与x轴的交点为C， 在△AOO1中，|OO1|·|AC|＝|OA|·|O1A|， 所以|AC|＝＝＝2， 故|AB|＝2|AC|＝4. 15．(5分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1 : x2 ＋y2＝8与圆C2 : x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为__________________． 答案　 解析　由题意知，直线AB为2x＋y＋8－a＝0， 当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时， 设圆心C1到AB的距离为d， 因为△ABP为等腰直角三角形， 所以d＝|AB|，即d＝， 所以d＝2， 所以＝d＝2， 解得a＝8±2； 当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1， 则8－a＝0，即a＝8. 16．(13分)已知圆M与圆N：2＋2＝r2关于直线y＝x对称，且点D在圆M上． (1)判断圆M与圆N的位置关系；(6分) (2)设P为圆M上任意一点，A，B， P，A，B三点不共线，PG为∠APB的角平分线，且交AB于点G，求证：△PBG与△PAG的面积之比为定值．(7分) (1)解　圆心N关于直线y＝x的对称点为M， 所以圆M的半径 r＝＝＝， 所以圆M的方程为2＋2＝. 又|MN|＝＝>×2， 故圆M与圆N相离． (2)证明　设P(x0，y0)， 则|PA|2＝(x0＋1)2＋2＝(x0＋1)2＋－2＝－x0，|PB|2＝(x0－1)2＋2＝(x0－1)2＋－2＝－x0， 所以2＝，即＝. 又PG为∠APB的角平分线，且交AB于点G，故＝＝2，为定值． 学科网（北京）股份有限公司 $