第二章 2.3.3 直线与圆的位置关系（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系的概念，通过代数法（判别式）和几何法（距离与半径关系）构建判断体系，衔接切线问题和弦长计算，形成从基础概念到应用的学习支架。 以“海上日出”情境导入培养数学眼光，通过例题对比代数与几何方法发展数学思维，知识清单与分层练习助力数学语言表达。课中辅助教师清晰授课，课后帮助学生回顾方法、弥补薄弱点，提升解决实际问题能力。

2.3.3　直线与圆的位置关系 [学习目标]　1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题． 导语 海上日出是非常壮丽的景色．在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采．在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系． 一、直线与圆的位置关系的判断 问题1　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解． 知识梳理 直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 判断方法 代数法：由方程组消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d<r d＝r d>r 例1　已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点． 解　方法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0. 则Δ＝4m(3m＋4)． (1)当Δ>0，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当Δ＝0，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当Δ<0，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 方法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为(2,1)，半径r＝2. 圆心(2,1)到直线mx－y－m－1＝0的距离 d＝＝ . (1)当d<2，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点． (2)当d＝2，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点． (3)当d>2，即－<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点． 反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断． (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系． 跟踪训练1　(1)已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　) A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能 答案　A 解析　将点P(3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，∴点P(3,0)在圆内． ∴过点P的直线l必与圆C相交． (2)若直线x－y＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝m相离，则实数m的取值范围是(　　) A．(0,2] B．(1,2] C．(0,2) D．(1,2) 答案　C 解析　由题意得，圆心到直线的距离 d＝>， ∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. 二、圆的切线问题 知识梳理 直线与圆相切 如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则①CP⊥l； ②点C到直线l的距离d＝|CP|＝r； ③切点P在直线l上，也在圆上． 注意点：(1)过圆上一点有且只有一条直线与圆相切． (2)过圆外一点，可以作两条直线与圆相切，需考虑斜率不存在的情况． 例2　(1)过圆C：x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3，3)的切线方程为(　　) A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0 C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0 答案　B 解析　圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圆心C(1,2)，r＝. 又点P(3,3)在圆上，∴kCP＝＝， 故切线的斜率为－2， 切线方程为y－3＝－2(x－3)， 即2x＋y－9＝0. (2)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程． 解　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A在圆外． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k， 则切线方程为y＋3＝k(x－4)， 即kx－y－4k－3＝0. 设圆心为C， 因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1， 所以＝1，即|k＋4|＝， 所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－. 所以切线方程为－x－y＋－3＝0， 即15x＋8y－36＝0. ②若直线斜率不存在， 圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1， 这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为 x＝4. 综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4. 延伸探究 若例2(2)的条件不变，求其切线长． 解　因为圆心C的坐标为(3,1)， 设切点为B，则△ABC为直角三角形， |AC|＝＝， 又|BC|＝r＝1， 则|AB|＝＝＝4， 所以切线长为4. 反思感悟　过一点的圆的切线方程的求法 (1)点在圆上时 求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程 x＝x0或y＝y0. (2)点在圆外时 ①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程． ②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程． 提醒：切线的斜率不存在的情况，不要漏解． 跟踪训练2　(1)已知直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)，则直线l的方程为________________． 答案　x＋2y－3＝0 解析　根据题意，由圆M：x2＋y2＋4x－1＝0，化为标准方程得(x＋2)2＋y2＝5，其圆心为M(－2,0)， 因为直线l：ax＋by－3＝0与圆M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于点P(－1,2)， 则点P在直线l上且MP与直线l垂直． kMP＝＝2， 则有－＝－，则有b＝2a， 又由点P在直线l上，则－a＋2b－3＝0， 解得a＝1，b＝2，则直线l的方程为x＋2y－3＝0. (2)由直线y＝x＋1上任一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A．1 B．2 C. D．3 答案　C 解析　设直线y＝x＋1上任一点为P，圆心为C，则所求切线长为，要求切线长的最小值，只需|CP|最小， 圆心C(3,0)到直线y＝x＋1的距离 d＝＝2. 所以切线长的最小值为＝. 三、圆的弦长问题 问题2　如果直线与圆相交，如何求弦长？ 提示　(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2. (2)代数法：如图②，将直线方程与圆的方程联立， 设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|或|AB|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)． 知识梳理 如图，直线l与圆C相交于A，B，半径为r，弦AB中点为D，则 ①点C到直线l的距离d＝|CD|，称为弦心距； ②CD⊥l； ③|AD|2＋d2＝r2，|AB|＝2. 注意点：(1)过圆内一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，最短弦与最长弦所在的直线垂直． (2)过圆外或圆上一点的直线与圆相交，最长弦长是直径，没有最短弦长． (3)由弦长求直线方程时，需考虑斜率不存在的情况． 例3　求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦AB的长． 解　方法一　由 得交点A(1,3)，B(2,0)， 所以弦AB的长为 |AB|＝＝. 方法二　由 消去y得x2－3x＋2＝0， 设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝2. 所以|AB|＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝， 即弦AB的长为. 方法三　圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心为C(0,1)，半径r＝，C(0,1)到直线l的距离 d＝＝， 所以半弦长为＝ ＝＝， 所以弦长|AB|＝. 反思感悟　求直线与圆相交时的弦长有三种方法 (1)交点法：联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝. (2)弦长公式：|AB|＝＝|x1－x2|或|AB|＝ |y1－y2|(直线l的斜率k存在且不为0)． (3)几何法：设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则|AB|＝2. 通常采用几何法较为简便． 跟踪训练3　(1)已知圆C与y轴相切，圆心在x轴的正半轴上，并且截直线x－y＋1＝0所得的弦长为2，则圆C的标准方程是________________． 答案　(x－3)2＋y2＝9 解析　如图，设圆心C(a,0)(a>0)，半径为r， ∴d＝＝， 又r＝a，r2＝d2＋12， 解得a＝3(舍a＝－1)， ∴所求圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝9. (2)如果一条直线经过点M且被圆x2＋y2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 解　圆x2＋y2＝25的半径r＝5，直线被圆所截得的弦长l＝8，所以弦心距d＝ ＝＝3. 因为圆心(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线．设直线y＋＝k(x＋3)也符合题意，即圆心到直线kx－y＋3k－＝0的距离等于3，于是＝3， 解得k＝－. 故直线的方程为3x＋4y＋15＝0. 综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3，3x＋4y＋15＝0. 1.知识清单： (1)直线与圆的位置关系． (2)圆的切线问题． (3)圆的弦长问题． 2．方法归纳：几何法、代数法． 3．常见误区：过一点设直线方程时易忽视讨论斜率存在与不存在两种情况． 1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 答案　B 解析　∵圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，∴直线与圆x2＋y2＝1相交， 又(0,0)不在直线y＝x＋1上， ∴直线不过圆心． 2．圆x2＋y2＝4在点P(，－1)处的切线方程为(　　) A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0 C.x－y－4＝0 D.x－y＋2＝0 答案　C 解析　∵()2＋(－1)2＝4， ∴点P在圆上，即P为切点． ∵切点与圆心连线的斜率为－， ∴切线的斜率为， ∴切线方程为y＋1＝(x－)，即x－y－4＝0. 3．(多选)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　) A．－2 B．－12 C．2 D．12 答案　CD 解析　圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0， 可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1， 由圆心(1,1)到直线3x＋4y－b＝0的距离为＝1， 解得b＝2或b＝12. 4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4x＝0所截得的弦长为________． 答案　2 解析　 由题意知直线方程为y＝x，圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线的距离 d＝＝， 故弦长l＝2＝2＝2. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共50分；多选题每小题6分，共6分 1．直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是(　　) A．相交 B．相离 C．相交或相切 D．相切 答案　C 解析　直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)， 而(－1,0)在圆上，故直线与圆相切或相交． 2．“a<3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相交”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　圆(x－a)2＋(y－3)2＝(2)2的圆心为(a,3)，半径为2. 若直线x－y＋4＝0与圆(x－a)2＋(y－3)2＝(2)2相交，则<2，解得－5<a<3， 所以“a<3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相交”的必要不充分条件． 3．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x－y－1＝0上截得的弦长为2，那么这个圆的方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 答案　A 解析　圆心到直线的距离d＝＝. 设圆的半径为R，则R2＝d2＋()2＝4， ∴R＝2， ∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4. 4．直线kx－y－3k＋1＝0(k∈R)截圆x2＋y2－2x－8＝0所得弦长的最小值是(　　) A．2 B. C．4 D．6 答案　C 解析　依题意，直线k(x－3)－y＋1＝0过定点A(3,1)， 圆(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1,0)，半径r＝3， |AC|＝，即点A在圆C内， 当且仅当直线kx－y－3k＋1＝0与直线AC垂直时， 直线截圆所得弦长最短， 所以所求最短弦长为2＝2＝4. 5．(多选)与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程为(　　) A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x＋y＋4＝0 D．x＋y－4＝0 答案　ABD 解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2. 可分为两种情况讨论： ①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx， 则＝，解得k＝±1； ∴方程为x±y＝0. ②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)， 则＝，解得a＝4(a＝0舍去)． ∴方程为x＋y－4＝0. 6．一条光线从点(－2,3)射出，经x轴反射后与圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　) A.或 B.或 C.或 D.或 答案　C 解析　点(－2,3)关于x轴的对称点的坐标为(－2，－3)， 圆x2＋y2－6x－4y＋12＝0的圆心为(3,2)，半径r＝1. 设过点(－2，－3)且与已知圆相切的直线的斜率为k， 则切线方程为y＝k(x＋2)－3， 即kx－y＋2k－3＝0， 所以圆心(3,2)到切线的距离d＝＝r＝1， 解得k＝或k＝. 7．(5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为______________． 答案　x＋2y－5＝0 解析　设所求切线的斜率为k， 由已知得k·kOP＝－1.∴k＝－. ∴切线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0. 8．(5分)已知圆(x＋2)2＋(y－2)2＝a截直线x＋y＋2＝0所得弦长为6，则实数a的值为________． 答案　11 解析　圆(x＋2)2＋(y－2)2＝a的圆心为(－2,2)，半径为，弦心距d＝＝，则a＝()2＋2＝11. 9．(10分)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(5分) (2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C截得的弦长．(5分) 解　(1)圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2. 当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切； 当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0， 则＝2，解得k＝－， 此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0. 综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0. (2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，圆心到直线l的距离d＝＝， 故所求弦长为2＝2＝2. 10．(12分)已知圆C：x2＋y2＋8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0. (1)当a为何值时，直线l与圆C相切；(6分) (2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．(6分) 解　(1)圆C的方程化为x2＋(y＋4)2＝4， 圆心为C(0，－4)，半径为2. 若直线l与圆C相切，则＝2， 解得a＝. (2)过圆心C作CD⊥AB(图略)，则根据题意和圆的性质， 得|CD|＝＝＝， 解得a＝1或a＝7. 故直线l的方程为7x＋y＋14＝0或x＋y＋2＝0. 11．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 答案　B 解析　∵点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， ∴a2＋b2＞1. ∴圆心O(0,0)到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1＝r，则直线与圆的位置关系是相交． 12．已知圆C与直线x＋y＋3＝0相切，直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积，则圆C的方程为(　　) A．x2＋y2－2y＝2 B．x2＋y2＋2y＝2 C．x2＋y2－2y＝1 D．x2＋y2＋2y＝1 答案　D 解析　在直线mx＋y＋1＝0的方程中， 令x＝0，得y＝－1， 则直线mx＋y＋1＝0过定点(0，－1)． 由于直线mx＋y＋1＝0始终平分圆C的面积， 则点(0，－1)是圆C的圆心， 又圆C与直线x＋y＋3＝0相切， 则圆C的半径r＝＝. 因此，圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝2， 即x2＋y2＋2y＝1. 13．过直线y＝2x上的点P作圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝4的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝2x对称时，点P的坐标为(　　) A. B. C．(1,2) D. 答案　B 解析　圆C：(x＋2)2＋(y－4)2＝4的圆心为C(－2,4)， 当直线l1，l2关于直线y＝2x对称时，CP与直线y＝2x垂直， 所以直线CP的方程为y－4＝－(x＋2)，即x＋2y－6＝0， 由解得 所以P. 14．直线y＝x＋b与曲线x＝有且只有一个交点，则b满足(　　) A．|b|＝ B．－1＜b≤1或b＝－ C．－1≤b＜1 D．非以上答案 答案　B 解析　曲线x＝含有限制条件，即x≥0， 故曲线并非表示整个单位圆，仅仅是单位圆在y轴右侧(含与y轴的交点)的部分． 在同一平面直角坐标系中，画出y＝x＋b与曲线x＝(就是x2＋y2＝1，x≥0)的图象，如图所示． 当直线与曲线相切时，b＝－； 其他位置符合条件时需满足－1＜b≤1. 15．若直线2mx－ny＝－2(m>0，n>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值是(　　) A．9 B．4 C. D. 答案　A 解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，半径r＝2，因为直线被圆截得的弦长为4，则圆心在直线上，所以－2m－2n＝－2， 即m＋n＝1.又m>0，n>0，所以＋＝(m＋n)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即m＝，n＝时，等号成立， 所以＋的最小值是9. 16．(12分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，半径为2，且被直线l：4x－3y－3＝0截得的弦长为2. (1)求圆C的方程；(4分) (2)设P是直线x＋y＋4＝0上的动点，过点P作圆C的切线PA，切点为A，证明：经过A，P，C三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．(8分) 解　(1)设圆心C(a,0)(a>0)，则圆心C到直线l：4x－3y－3＝0的距离d＝， 由题意得d2＋()2＝22，即＋3＝4， 解得a＝2或a＝－(舍去)． ∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4. (2)∵P在直线x＋y＋4＝0上． ∴设P(m，－m－4)， ∵PA为圆C的切线，∴PA⊥AC， 即过A，P，C三点的圆是以PC为直径的圆． 设圆上任一点Q(x，y)，则·＝0， ∵＝(x－m，y＋m＋4)，＝(x－2，y)， ∴·＝(x－m)(x－2)＋y(y＋m＋4)＝0， 即x2＋y2－2x＋4y＋m(－x＋y＋2)＝0， 令 解得或 ∴经过A，P，C三点的圆必过定点(－1，－3)和(2,0)． 学科网（北京）股份有限公司 $