2.3.3 第1课时 直线与圆的位置关系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册学习手册（人教B版）

:圆心在直线x+-10上.心号-号-10， 即D+E=-2.① 又半径长=VD+2-V2, 2 ∴.D2+E2=20.② D=2, D=-4, 由①②可得 或 E=-4E=2. D=2. 又：圆心在第二象限，一90，即0，则 E--4 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 例3解：(1)设线段AP的中点为M(x,y), 由中点公式得点P的坐标为(2-2,2y). .·点P在圆x2+2=4上，..(2x-2)2+(2y)2=4, 故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2-1. (2)设点E(x,y),P(o,yo). x=+1 2 B(1,1),. 整理得x=2x-1,yw=2y-1, 0s2+1 21 点P在圆x2+y2=4上，.点P的坐标满足方程x2+ y2=4,.(2x-1)2+(2y-1)2=4,整理得点E的轨迹方程为 4r-r30 变式训练3A【解析】以AB所在直线为x轴，AB的 中点为原点，建立平面直角坐标系（图略）· 设C(x,y),A(-c,0),B(c,0),c>0. AC=(x+c,y),BC=(x-c,y), 由AC.BC=1,得(x+c)(-c)+y2=1,即x2+y2=c2+1> 0,.点C的轨迹为圆，故选A 数学文化 B【解析】设左、右焦点分别为F,E,以线段FF 的中点为坐标原点，F,F所在的直线为x轴建立平面 直角坐标系（图略），则F(-1,0),F(1,0). 设曲线上任意一点Px,y),则V++.V(x-1)+y =1,化简得该卡西尼卵形线的方程为(x2+y2)2-2(x2-y2). 将x替换为-x,y替换为-y,方程不变，显然其对称中 心为(0,0). 由(x2+y22=2(x2-y2)得(x2+y2）2-2(x2+y2)=-4y2≤0， .(x2+y22≤2(x2+y2),0≤x2+y2≤2， .0≤Vx2+y2≤V2, :.该卡西尼卵形线上的点到其对称中心距离的最大 值为V2.故选B. 参考答案。 2.3.3直线与圆的位置关系 第1课时直线与圆的位置关系 要点精析 例1解：方法一：将直线mx-y-m-1=0代人圆的方程 化简整理得， (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0, .△=4m(3m+4). ()当A0时，即m>0或m<-号时，直线与圆相 交，即直线与圆有两个公共点 (2)当40时，即m-0或m=号时，直线与圆相 切，即直线与圆只有一个公共点 3)当40时，即号n0时，直线与圆相离，即 直线与圆没有公共点. 方法二：已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4,即 圆心为C(2,1),半径=2. 圆心C(2,1)到直线mx-y-m-1=0的距离d= 2m-1-m-1=m-2L 1V1+m2V1+m2 (1)当d<2时，即m>0或m<-4时，直线与圆相 3 交，即直线与圆有两个公共点 (2)当d2时，即m0或m=一专时，直线与圆相 切，即直线与圆只有一个公共点 (3)当b2时，即-4m<0时，直线与圆相离，即 3 直线与圆没有公共点. 变式训练1解：设直线AB关于y=a对称的直线为l, kw=,=号，显然点B0,)在直线1上 直线1的方程为)=2a,即c-3江+2-20 ·1与圆有公共点，.圆心(-3，-2)到直线1的距 离d≤r 即-3(a-3)+2x(-2)-24≤1，即62-11a+3≤0， 1V(a-3)+4 兮≤a≤号，实数a的取值范围为}，引 例2解：(1)x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1,2),k= 分，切线的斜率=-2， .切线方程为y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0. (2)·.P(2,3)在圆(-1)2+(y-2)2=1外， 45 高中数学选择性必修第一册人教B版 ∴.过点P(2,3)与圆(x-1)2+(y-2)2=1相切的直线有 两条 当斜率存在时，设切线的斜率为k, 则切线方程为y-3=k(x-2), 即-y+3-2=0,k-2+3-2=L, V+1 ∴.k=0 .切线方程为y=3; 当斜率不存在时，切线方程为x=2 .切线方程为y=3或x=2. 变式训练225【解标】设圆心为P,6,半径 为r 圆与x轴、y轴都相切，lol=yol=r. 又圆过(2,1)点，∴(2-r)2+(1-r)2=2, 得=1或=5. 当r=1时，圆心P(1,1)到2x-y-3=0的距离d= 2-1-3引-2V5 V2+(-1)7 5 当r=5时，圆心P(5,5)到2x-y-3=0的距离d= 10-5-31-2V5 V22+(-1)7 5 数学文化 C【解析】设点A关于直线x+y=5的对称点为 A'(a,b). 根据题意，A'O-V3为“将军饮马”的最短总路 程，先求出A'的坐标 A4"的巾点为（生，生，直线A4的斜*为1， 故直线AA'的方程为y1=心-3，即y=x-2. 由学生5 得4， b=a-2, b=2 A'(4,2),则A'0=V4+2=2V5, 故A'0-V3=2V5-V3, 则“将军饮马”的最短总路程为2V5-√3.故 选C. 第2课时弦长问题 要点精析 例1解：(1)联立直线1与圆C的方程，得 3+y-6-0,解得 =1,x2=2, x2+2-2y-4=0, y=3,y2=0, .交点为A(1,3),B(2,0).故直线1：3x+y-6=0被 46 圆C:x2+y2-2y-4=0截得的弦长4B=V(1-2)2+(3-0)2= V10. (2)将圆的方程配方得(x+1)2+(0-2)2=25,由圆的性 质可得圆心到直线1的距离d=V(W25)户-受3. ①当直线1的斜率不存在时，=-4满足题意； ②当直线1的斜率存在时，设1的方程为y=k(x+4), 即kx-y+4k=0. 由点到直线的距离公式得3=2，解得 V1+k 高直线1的方程为5+12+20-0 综上所述，直线l的方程为x+4=0或5x+12y+20=0. 变式训练12【解析】圆的方程为(x-3)2+y2=9, 设过点(1,2)的直线与圆交于A,B两点. 设圆心C(3,0),半径=3，P(1,2),ICP=2V2, 设圆心到直线AB的距离为d,则d≤ICP, 故ABl≥2VP-正=2.故ABLm-2. 例2解：=V3-x表示以原点为圆心，半径为V3的上 半圆，m=!表示过点A(-3,-1)和(x,y)的直线的斜 +3 率，如图1所示 B 图2 例2答图 可知k≤m≤kC,B点坐标为(V3,0),:kAB= 0-(-1)=3-V3 V3-(-3)6 由图1可知，直线AC斜率存在，设直线AC的方程 为y+1=kAc(x+3),即kAC-y+3kA-1=-0,AC与半圆x2+ y2=3(y≥0)相切，13-I=V3,hc=3+V2I V1+kic 的取值花用e[3-。,3 6 由b=2x+y,知b表示直线2x+y-b=0在y轴上的截 距，如图2所示. 可知直线b=2x+y一定位于两直线l1与12之间.由直 线2与半圆相切，得b=V5,由直线过D(-V3, 0),得b=-2V3.第二章平面解析九何。 2.3.3直线与圆的位置关系 第1课时 直线与圆的位置关系 (2)代数法：根据直线与圆的方程组 学习目标 成的方程组的解的个数来判断， 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相 (3)直线系法：若直线恒过定点，可 交、相切、相离. 通过判断定点与圆的位置关系来判断直线 2.会用代数法和几何法来判断直线与圆 与圆的位置关系，但此方法有一定的局限 的三种位置关系！ 性，必须是过圆内定，点的直线系，直线与 3.掌握求圆的切线的方法. 圆必相交. 例1已知直线方程mx-y-m-1=0,圆 要点精析 的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆 川要点1直线与圆的位置关系 与直线：(1)有两个公共点；(2)只有一 个公共点；(3)没有公共点. 直线1：Ax+By+C=0(A2+B≠0)，圆C: (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),设圆心(a,b)到 直线l的距离是d,d=Aa+Bb+C 则有： VA+B 位置 关系 几何特征 代数特征 公共点 (方程联立) 个数 相离 d>r 无实数解（△<0） 0 相切 d=r 组实数解（△=0）》 1 变式训练1 相交 d 两组实数解（△>0） 2 设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB 关于y=a对称的直线与圆(x+3)2+(y+2)2=1有 公共点，求a的取值范围. (1) (2) (3) 反思感悟 直线与圆位置关系判断的三种方法： (I)几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆的半径r的大小关系判断. 学(65 高中数学选择性必修第一册人教B版 要点2圆的切线方程 变式训练2 1.求过圆上一点(xo,yo)的圆的切线方 若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相 程：先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂 切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为 直关系得切线的斜率为太，由点斜式可得 切线方程.如果斜率为零或不存在，则由图 数学文化 形可直接得切线方程y=yo或=xo 例唐代诗人李颀的诗《古从军行》开 2.求过圆外一点(x,yo)的圆的切线 头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍 方程： 交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问 (1)几何法：设切线方程为y-yo=k(x- 题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽 xo).由圆心到直线的距离等于半径，可求得 火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后 k,即可得切线方程 再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平 (2)代数法：设切线方程为y-yo=k(x-x), 面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤ 与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一 3,若将军从点A(3,1)处出发，河岸线 元二次方程，由△=0求出飞，可得切线方程. 所在直线方程为x+y=5,并假定将军只要到 反思感悟 达军营所在区域即回到军营，则“将军饮 过圆外一点的切线有两条，切线的斜率 马”的最短总路程为() 不存在的情况，要做检验，不要漏解 A.V10-V3 B.V10 例2(1)求过圆C:x2+y2-2x-4y=0上 C.2V5-V3 D.2V5 一点P(3,3)的切线方程； (2)求过点P(2,3)且与圆(x-1)2+(y- 分析设点A关于直线x+y=5的对称 2)2=1相切的直线的方程。 点A'(a,b),则A'O-V3为最短距离，根 据垂直和中点坐标求出对称，点A'(a,b)即 可得解. 66)学