第二章 2.3.2 圆的一般方程（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，衔接圆的标准方程展开引入，通过问题引导探究方程表示圆的条件，结合知识梳理表格、例题（化为标准方程、待定系数法求方程）及跟踪训练构建学习支架。 特色在于问题驱动与素养导向，以问题链（如方程表示圆的条件）培养数学眼光的抽象与几何直观，例题中待定系数法、几何法运用发展数学思维的推理与运算能力，综合应用及分层练习助力课中教学与课后查漏，提升数学语言的模型表达与应用意识。

2.3.2　圆的一般方程 [学习目标]　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程． 导语 前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式．请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题． 一、圆的一般方程的理解 问题1　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？ 提示　将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆． 问题2　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？ 提示　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点. 知识梳理 1．圆的一般方程：当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程，其中D，E，F都是常数． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程表示圆时，需满足x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项． (2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.x2，y2系数不为1时，要把系数都化为1再判断． 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆． (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径． 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝. 反思感悟　圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义知，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆． (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解． 跟踪训练1　(1)已知方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2,2)，半径为2的圆，则a，b，c的值依次为(　　) A．2,4,4 B．－2,4,4 C．2，－4,4 D．2，－4，－4 答案　B 解析　依题意 解得 (2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________． 答案　9π 解析　圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心， ∴－＋1＋1＝0， 得k＝4， 圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为 ＝3， ∴该圆的面积为9π. 二、求圆的一般方程 例2　已知点A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)． (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值． 解　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意，得 解得 即△ABC的外接圆的一般方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0， ∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上， ∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0， 即a2－8a＋12＝0， 解得a＝2或a＝6. 延伸探究 若本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？ 解　∵kAB＝＝，AB的中点坐标为， ∴AB的垂直平分线方程为y－＝－3. 联立方程得 即圆心C的坐标为， r＝ ＝ ， ∴圆C的方程为2＋2＝. 反思感悟　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程． (2)待定系数法：选择圆的标准方程或一般方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组解出系数得到方程． 跟踪训练2　已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程． 解　方法一　(待定系数法) 设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将点P，Q的坐标分别代入上式，得 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③ 由已知，得|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的根， ∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2 ＝E2－4F＝48.④ 联立①②④，解得或 故圆的一般方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0. 方法二　(几何法) 由题意，得线段PQ的垂直平分线的方程为 x－y－1＝0， ∴所求圆的圆心在直线x－y－1＝0上， 设其坐标为(a，a－1)． 又圆的半径r＝|CP|＝.① 由已知得圆截y轴所得的线段长为4，而圆心到y轴的距离为|a|， ∴r2＝a2＋2，代入①整理得a2－6a＋5＝0， 解得a＝1或a＝5，∴r＝或r＝. 故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37. 三、圆的一般方程的综合应用 例3　已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1. (1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上； (2)证明：曲线C过定点； (3)若曲线C与x轴相切，求k的值． (1)证明　原方程可化为 (x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2. ∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0. 故方程表示圆心为(－k，－2k－5)， 半径为|k＋1|的圆． 设圆心为(x，y)，有 消去k，得2x－y－5＝0. ∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上． (2)证明　将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.上式关于参数k是恒等式， ∴解得 ∴曲线C过定点(1，－3)． (3)解　∵圆C与x轴相切， ∴圆心到x轴的距离等于半径， 即|－2k－5|＝|k＋1|. 两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2. 解得k＝5±3. 反思感悟　与圆有关的含有参数的二元二次方程的解题策略 (1)将其化为圆的标准方程，可确定参数的取值范围，并可求得有关的最值． (2)可化为k(Ax＋By＋C)＋(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0，通过联立方程组求待定系数． 跟踪训练3　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆． (1)求t的取值范围； (2)求其中面积最大的圆的方程； (3)若点P(3,4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围． 解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9， ∴r2＝－7t2＋6t＋1>0. 即7t2－6t－1<0，解得－<t<1. (2)r＝＝. 当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大， 对应的圆的方程是2＋2＝. (3)当t2＋1<－7t2＋6t＋1时，点P恒在圆内， ∴8t2－6t<0，即0<t<. 1.知识清单： (1)圆的一般方程的定义及其理解． (2)求圆的一般方程． (3)圆的一般方程的综合应用． 2．方法归纳：公式法、数形结合法． 3．常见误区：二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0并不一定都能表示圆的方程，表示圆时易忽视隐藏的条件D2＋E2－4F>0. 1．若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0， 所以m>－. 2．已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，则D，E分别为(　　) A．4，－6 B．－4，－6 C．－4,6 D．4,6 答案　A 解析　圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为， 又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)， ∴－＝－2，－＝3， ∴D＝4，E＝－6. 3．经过A(0,0)，B(1,0)，C(2,1)三点的圆的方程为(　　) A．x2＋y2＋x－3y－2＝0 B．x2＋y2＋3x＋y－2＝0 C．x2＋y2＋x＋3y＝0 D．x2＋y2－x－3y＝0 答案　D 解析　设所求圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 代入A，B，C三点有 解得 故所求圆的方程为x2＋y2－x－3y＝0. 4．(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0(　　) A．关于点(2,0)对称 B．关于直线y＝0对称 C．关于直线x＋3y－2＝0对称 D．关于直线x－y＋2＝0对称 答案　ABC 解析　x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5， 即圆心的坐标为(2,0)． A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确； B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，故B正确； C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，故C正确； D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，故D不正确． 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1．若圆的一般方程为x2＋y2＋6x＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是(　　) A．(1,1)， B．(1,2)， C．(－3,0)，3 D．(－3,0)， 答案　D 2．“k>4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆的方程”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆， 则k2＋(k－2)2－4×5>0，解得k<－2或k>4， k>4可以推出x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆，满足充分性， x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆不能推出k>4，不满足必要性， 所以“k>4”是“方程x2＋y2＋kx＋(k－2)y＋5＝0表示圆的方程”的充分不必要条件． 3．(多选)下列结论正确的是(　　) A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程 B．圆的一般方程和标准方程可以互化 C．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆 D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 答案　ABD 解析　A，B，D显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)，C不正确． 4．△ABC的三个顶点分别为A(－1,5)，B(－2，－2)，C(5,5)，则△ABC外接圆的方程为(　　) A．x2＋y2－4x－2y－20＝0 B．x2＋y2＋4x－2y－20＝0 C．x2＋y2－4x＋2y－20＝0 D．x2＋y2＋4x＋2y－20＝0 答案　A 解析　设△ABC的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 代入A，B，C三点有 解得 故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. 5．(多选)已知圆C：2x2＋2y2＋ax－4y－3＝0的直径为，则圆C的圆心坐标可以是(　　) A. B. C．(3,2) D．(－3,2) 答案　AB 解析　原方程可化为x2＋y2＋x－2y－＝0， 即2＋(y－1)2＝＋， 圆心为，r2＝＋＝， 解得a＝±6，∴圆心为. 6．(多选)若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m2＝0外，则下列m的取值范围中满足条件的有(　　) A．m>0 B．－<m<0 C．－<m< D．0<m< 答案　BD 解析　方程x2＋y2－x＋y＋m2＝0可化为2＋2＝－m2， ∴－m2>0，即－<m<， 又点(1，－1)在圆外，∴1＋1－1－1＋m2>0， 即m2>0，∴m≠0， 综上有－<m<且m≠0. 7．(5分)已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0上任一点A关于直线x－ay＋2＝0对称的点A′仍在该圆上，则a＝________. 答案　 解析　依题意圆心在直线x－ay＋2＝0上， 圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝4， ∴圆心为(－1,2)，代入直线x－ay＋2＝0， 得a＝. 8．(5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的一般方程为________________． 答案　x2＋y2－4x－5＝0 解析　设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)， 由题意可得＝， 解得a＝2(a＝－2舍去)， 所以圆C的半径为＝3， 所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0. 9．(10分)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程． 解　圆心C的坐标为， 因为圆心在直线x＋y－1＝0上， 所以－－－1＝0，即D＋E＝－2.① 又r＝＝，所以D2＋E2＝20.② 由①②可得或 又圆心在第二象限，所以－<0，－>0， 即D>0，E<0， 所以 所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. 10．(10分)已知在△ABC中，A(1,1)，B(2,4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称． (1)求直线l的方程；(3分) (2)求△ABC外接圆的方程．(7分) 解　(1)设直线l的方程为x－y＋c＝0， ∵直线l经过点B(2,4)， ∴2－4＋c＝0， ∴c＝2， 即直线l的方程为x－y＋2＝0. (2)设C(x0，y0)，则kAC·kl＝－1， 即＝－1，① 又∵线段AC的中点D在直线l上，即－＋2＝0，② 由①②可得，x0＝－1，y0＝3，∴C(－1,3)， 设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ∵A(1,1)，B(2,4)，C(－1,3)都在圆上， ∴解得 故△ABC外接圆的方程为x2＋y2－x－y＋5＝0. 11．方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　D 解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆， 又方程可化为2＋(y－a)2＝－a2－3a， 故圆心坐标为，r2＝－a2－3a. 又r2>0，即－a2－3a>0，解得－4<a<0， 故该圆的圆心在第四象限． 12．圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的一般方程是(　　) A．x2＋y2＋2x－4y＝0 B．x2＋y2＋8x－2y＋12＝0 C．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0 D．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0 答案　C 解析　把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5， ∴圆心C(2，－1)． 设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)， 则 解得故C′(－2,3)， ∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的一般方程为x2＋y2＋4x－6y＋8＝0. 13．若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准式为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为. 14．(5分)设直线2x＋3y＋1＝0和圆x2＋y2－2x－3＝0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是______________． 答案　3x－2y－3＝0 解析　圆的方程x2＋y2－2x－3＝0，化为标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1,0)，由kAB＝－，得AB的垂直平分线的斜率为，且过圆心，从而所求直线方程为y－0＝(x－1)，即3x－2y－3＝0. 15．已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为(　　) A．7 B．8 C．9 D．10 答案　C 解析　由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.故(|SP|＋|SQ|)min＝|P′M|－1＝－1＝9. 16．(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)若b＝－1，求圆C的方程；(6分) (2)当b<1，且b≠0时，圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？若经过，求出该定点；若不经过，请说明理由．(6分) 解　(1)设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，与x2＋2x＋b＝0是同一方程，所以D＝2，F＝b， 令x＝0，y2＋Ey＋F＝0.因为二次函数的图象过点(0，b)，所以b2＋Eb＋F＝0， 所以E＝－b－1， 所以圆C的方程为x2＋y2＋2x＋(－b－1)y＋b＝0， 当b＝－1时，圆C的方程为x2＋y2＋2x－1＝0. (2)由(1)知，圆C的方程为x2＋y2＋2x＋(－b－1)y＋b＝0，可化为x2＋y2＋2x－y－(y－1)b＝0， 由 解得或 故圆C经过定点(0,1)，(－2,1)． 学科网（北京）股份有限公司 $