第二章 §2.1 坐标法（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦平面直角坐标系中的两点间距离公式、中点坐标公式及坐标法，从数轴基本公式自然过渡到平面情形，通过问题引导、知识梳理构建基础，结合例题（如平行四边形顶点求解）与跟踪训练（如对称点坐标）形成递进式学习支架。 以笛卡尔发现坐标系的漫画故事导入，激发兴趣，体现用数学眼光观察现实世界。通过坐标法证明几何问题（如直角三角形斜边中点性质），培养数学思维中的逻辑推理能力。课中例题与分层练习助力教学，课后知识清单与误区提示帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

[学习目标]　1.通过数轴上两点间的距离公式的探索，掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法解决有关问题． 导语 漫画故事 有一天，法国数学家笛卡尔生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？他就拼命琢磨，通过什么样的办法，才能把“点”和“数”联系起来．突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，在上边左右拉丝．蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗．如果把蜘蛛看作一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？后来在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系．平面内建立直角坐标系后，点的位置可以用坐标来刻画．此时，平面内的直线是否可以通过直线上点的坐标来刻画呢？平面内其他几何对象能否也用类似的方法来描述？这些都是本章我们要一起去探讨的问题． 一、平面直角坐标系中的基本公式 问题1　利用平面直角坐标系中的基本公式可以解决哪些问题？ 提示　可以解决一些有关距离和中点的问题． 问题2　如何建立平面直角坐标系？ 提示　(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上； (2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴； (3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点，将图形的对称轴作为坐标轴． 知识梳理 1．数轴上的基本公式 如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为x1，记作A(x1))，且B(x2)． (1)向量的坐标为x2－x1. (2)A，B两点之间的距离为|AB|＝||＝|x2－x1|. (3)A，B两点的中点坐标为x＝. 2．平面直角坐标系中的基本公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)． (1)＝(x2－x1，y2－y1)． (2)两点间的距离公式： |AB|＝||＝. (3)中点坐标公式：若M(x，y)为AB的中点，则x＝，y＝. 例1　(1)已知数轴上A(－4)，B(3)，则|AB|＝________. 答案　7 (2)若A(－5,6)，B(a，－2)两点之间的距离为10，则a＝____________. 答案　1或－11 解析　∵|AB|＝＝10， ∴a＝1或－11. (3)已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(－3,4)，求另外两顶点C，D的坐标． 解　设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点， 得 解得 设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点， 得解得 故C点的坐标为(－10,6)，D点的坐标为(－11,1)． 反思感悟　(1)两点间的距离公式应用的两种形式 ①在求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可． ②利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状． (2)利用中点坐标公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)为顶点的△ABC的重心坐标为. 跟踪训练1　(1)已知点A(－3,4)，点B(2,1)，试在x轴上找一点P，使得d(P，A)＝d(P，B)，则d(P，A)＝________. 答案　 解析　设P(x,0)，由题意得 d(P，A)＝＝， d(P，B)＝＝. 由d(P，A)＝d(P，B)， 即＝， 化简得x＝－2，故点P的坐标为， d(P，A)＝ ＝. (2)点M(4,3)关于点N(5，－3)的对称点的坐标为________________． 答案　(6，－9) 解析　设所求点的坐标为(x，y)， 则解得 故所求对称点的坐标为(6，－9)． 二、用坐标法证明几何问题 知识梳理 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为代数问题，然后通过代数运算等解决问题的方法称为坐标法． 例2　证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等． 证明　如图所示，以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，直角边CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则C(0,0)． 设A(a,0)，B(0，b)， 则斜边中点M的坐标为. 因为|OM|＝ ＝， |BM|＝＝， |MA|＝＝， 所以|OM|＝|BM|＝|MA|. 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等． 反思感悟　用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论． 跟踪训练2　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：|AE|＝|CD|. 证明　令△ABD的边长为a，△BCE的边长为b， 如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 则A(－a,0)，C(b,0)，D，E. |AE|＝＝， |CD|＝＝， ∴|AE|＝|CD|，即证原等式成立． 三、坐标法的应用 例3　已知正△ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值． 解　以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示． 则A，B，C， 设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 ＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2 ＝3x2＋3y2－ay＋a2 ＝3x2＋32＋a2≥a2， 当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立， 所以所求最小值为a2，此时点P的坐标为. 反思感悟　坐标法解决问题的一般解题步骤 (1)建立平面直角坐标系． (2)分类讨论所有可能的情况． (3)分别进行代数运算． (4)回归几何问题． 跟踪训练3　已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，－2)，(3,1)，(0,2)，求这个平行四边形第四个顶点的坐标． 解　设A(－1，－2)，B(3,1)，C(0,2)，第四个顶点D的坐标为(x，y)， (1)若四边形ABCD是平行四边形， 则由中点坐标公式得 解得 ∴点D的坐标为(－4，－1)． (2)若四边形ABDC是平行四边形， 则由中点坐标公式得解得 ∴点D的坐标为(4,5)． (3)若四边形ACBD是平行四边形， 则由中点坐标公式得 解得 ∴点D的坐标为(2，－3)． 综上所述，满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4,5)或(2，－3)． 1.知识清单： (1)数轴上的基本公式． (2)平面直角坐标系中的两点间距离公式、中点坐标公式和重心坐标公式． (3)坐标法的应用． 2．方法归纳：数形结合、分类讨论． 3．常见误区：用坐标法解决几何问题时，最后需还原到原几何问题． 1．下列各组点中，点C位于点D的右侧的是(　　) A．C(－3)和D(－4) B．C(3)和D(4) C．C(－4)和D(3) D．C(－4)和D(－3) 答案　A 2．已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　B 3．已知点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则a的值是(　　) A．－2 B．2 C．－ D. 答案　C 解析　因为点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)， 且|PQ|＝|PM|， 所以 ＝， 解得a＝－. 4．已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)．则△ABC的形状是________． 答案　等腰直角三角形 解析　∵|AB|＝＝2， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形． [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．在数轴上从点A(－2)引一线段到点B(1)，再同向延长同样的长度到点C，则点C的坐标为(　　) A．13 B．0 C．4 D．－2 答案　C 解析　如图所示，故C(4)为所求． 2．若点P(x，y)到两点M(2,3)，N(4,5)的距离相等，则x＋y的值为(　　) A．5 B．6 C．7 D．不确定 答案　C 解析　由两点间距离公式，得＝，两边平方，得x＋y＝7. 3．若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为(　　) A．(2,0) B．(1,0) C. D．(，0) 答案　D 解析　设M(x,0)(x>0)， 则由已知得x2＝52＋(－3)2＝34. 又x>0，∴x＝，∴M(，0)． 4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于(　　) A．5 B．4 C．2 D．2 答案　C 解析　设A(a,0)，B(0，b)， 则＝2，＝－1， 解得a＝4，b＝－2， ∴|AB|＝2. 5．(多选)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是(　　) A．(6,4) B．(2,0) C．(4,6) D．(0,2) 答案　BC 解析　设B(x，y)，＝(3，－1)，＝(x－3，y－3)， 则 解得或 6．(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A．可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B．可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离 C．可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D．可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离 答案　BCD 解析　由题意，可得 ＝ ＝ ＝， 可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离， 可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离， 可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确． 7．(5分)已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是________． 答案　 解析　由题意知，解得 ∴d＝＝. 8．(5分)在△ABC中，A(1，－2)，B(－3,2)，C(－4,12)，其重心坐标为________，AB边的中线长为______． 答案　(－2,4)　3 解析　∵在△ABC中，A(1，－2)，B(－3,2)， C(－4,12)，设重心坐标为G(xG，yG)， ∴xG＝＝－2，yG＝＝4， ∴重心坐标为(－2,4)． 又∵AB中点的横坐标为x＝＝－1， 纵坐标为y＝＝0， ∴AB的中点坐标为(－1,0)， ∴AB边的中线长为 ＝3. 9．(10分)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0)． (1)判断△ABC的形状；(5分) (2)求△ABC的面积．(5分) 解　(1)由已知得， d(A，B)＝＝2， d(A，C)＝＝， d(B，C)＝＝5. ∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， ∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形． (2)由角A为直角，得 S△ABC＝|AB|·|AC|＝×2×＝5. 10．(10分)已知AO是△ABC中BC边的中线，证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 证明　取BC边所在直线为x轴，BC边的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示． 设A(m，n)，B(－a,0)，C(a,0)(a>0)，则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋a2＋n2)， 又|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2)． 11．若A，B，C，D是数轴上的四个点，且＝6，＝－2，＝6，则等于(　　) A．0 B．－2 C．10 D．－10 答案　B 解析　如图，＝6，|BA|＝6，且A在B右侧， ＝－2，|BC|＝2，且C在B左侧， ∴|CA|＝|CB|＋|BA|＝8且A在C右侧， 又＝6，∴|CD|＝6且D在C右侧， ∴D在A左侧，且|AD|＝2， ∴＝－2. 12．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 答案　C 解析　|AB|＝ ＝ ，所以当a＝时，|AB|最小． 13．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射之后经过点B(2,10)，则光线从点A到点B的距离为(　　) A．5 B．2 C．10 D．5 答案　D 解析　点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由光线反射的对称性可知，从点A到点B的光线距离就是线段AB′的长度．|AB′|＝＝5. 14．(5分)使得|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为__________． 答案　(－∞，4] 解析　设函数y＝|x－3|＋|x＋1|， 则y表示到点A(3)和B(－1)的距离的和， 即y≥4， 所以使|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为(－∞，4]． 15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　　) A．2 B．5 C．4 D．8 答案　B 解析　∵f(x)＝＋ ＝＋， ∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值， 利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5，当且仅当A′，M，B三点共线时等号成立， 即f(x)＝＋的最小值为5. 16．(13分)(定义新知)在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2，可以用绝对值表示点M，N两点间的距离d(M，N)，即d(M，N)＝|x1－x2|. (初步应用)(1)在数轴上，点A，B，C分别表示数－1，2，x，解答下列问题： ①d(A，B)＝________；(2分) ②若d(A，C)＝2，则x的值为________；(2分) ③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x为整数，则符合条件的x的取值有________个．(2分) (综合应用)(2)在数轴上，点D，E，F分别表示数－2，4,6.动点P沿数轴从点D开始运动，到达点F后立刻返回，再回到点D时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位．设点P的运动时间为t秒． ①当t＝________时，d(D，P)＝3；(3分) ②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示d(E，P)．(4分) 答案　(1)①3　②－3或1　③4　(2)①或 ②当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2， 则d(E，P)＝|4－(2t－2)|＝|6－2t|； 当4<t≤8时，点P表示的数为14－2t， 则d(E，P)＝|4－(14－2t)|＝|2t－10|. 解析　(1)①d(A，B)＝|－1－2|＝3. ②∵d(A，C)＝2， ∴|－1－x|＝2，即－1－x＝2或－1－x＝－2. ∴x＝－3或x＝1. ③∵d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)， ∴|－1－x|＋|2－x|＝3， 当x≤－1时，|－1－x|＋|2－x|＝－1－x＋2－x＝3，x＝－1； 当－1<x≤2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋2－x＝3，符合条件的x的取值为0,1,2； 当x>2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋x－2＝3，x＝2(舍去)， 综上所述，符合条件的x的取值有4个． (2)①由题意可得，d(D，F)＝8，点P从D到F的时间为4秒，运动路程为2t， 当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2，则 d(D，P)＝|－2－(2t－2)|＝3， 解得t＝或t＝－(舍去)； 当4<t≤8时，点P表示的数为14－2t，则 d(D，P)＝|－2－(14－2t)|＝3，解得t＝(舍去)或t＝， 综上所述，t＝或. 学科网（北京）股份有限公司 $