第一章 再练一课(范围：§1.1～§1.2)（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

再练一课(范围：§1.1～§1.2) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1．给出下列命题，其中是假命题的是(　　) A．若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底 B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底 C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面 D．若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底 答案　D 解析　A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，故A是真命题； B中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，故B是真命题； C中，由，，有公共点B，∴A，B，M，N四点共面，故C是真命题； D中，∵a，b，c共面，∴{a，b，c}不能构成基底，故D是假命题． 2．设直线l的方向向量为u＝(－2,2，t)，平面α的法向量为v＝(6，－6,12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于(　　) A．4 B．－4 C．2 D．－2 答案　B 解析　由题意得，u∥v，∴＝，即t＝－4. 3．已知点A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C为线段AB上一点，且＝，则C的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为C为线段AB上一点，所以＝t， 又因为||＝||，所以t＝， 设点O为坐标原点， 所以＝＋t＝(4,1,3)＋(－2，－6，－2)＝. 4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点F是侧面CC1D1D的中心，且＝＋m－n，则m，n的值分别为(　　) A.，－ B．－，－ C．－， D.， 答案　A 解析　由题意知，＝＋＝＋(＋)＝＋＋，所以m＝，n＝－. 5．若点A(2,3,2)关于zOx平面的对称点为A′，点B(－2,1,4)关于y轴的对称点为B′，点M为线段A′B′的中点，则|MA|等于(　　) A. B．3 C．5 D. 答案　C 解析　∵点A(2,3,2)关于zOx平面的对称点为A′， ∴A′(2，－3,2)， ∵点B(－2,1,4)关于y轴的对称点为B′， ∴B′(2,1，－4)， ∵点M为线段A′B′的中点， ∴M(2，－1，－1)， ∴|MA|＝＝5. 6．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，M， B(a，a,0)，A1(a,0，a)， ∴＝，＝(a，a,0)，DA1＝(a,0，a)． 设平面MBD的法向量为n＝(x，y，z)，则即 令x＝1，则y＝－1，z＝－2，可得n＝(1，－1，－2)． ∴点A1到平面MBD的距离 d＝＝＝a. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7．下列结论中，正确的是(　　) A．若两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2,3，－1)，b＝(－2，－3,1)，则l1∥l2 B．若直线l的一个方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的一个法向量是u＝(6,4，－1)，则l⊥α C．若两个不同的平面α，β的法向量分别是u＝(2,2，－1)，v＝(－3,4,2)，则α⊥β D．若直线l的一个方向向量是a＝(0,3,0)，平面α的一个法向量是u＝(0，－5,0)，则l∥α 答案　AC 解析　对于A，由题意知，b＝－a，所以a∥b，即l1∥l2，故A正确；对于B，若直线l的一个方向向量是a＝(1，－1,2)，平面α的一个法向量是u＝(6,4，－1)，则a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以a⊥u，即l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，因为u·v＝2×(－3)＋2×4－1×2＝0，所以α⊥β，故C正确；对于D，因为u＝－a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误． 8．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，A(1,0,0)，B(1，2,0)，C(0,0,1)，D(1,0,1)，E(5,6，－4)，则(　　) A.＝4－3 B．A，B，C，E四点共面 C．向量是平面ABC的一个法向量 D．OE与平面ABE所成角的正弦值为 答案　BC 解析　由题意知＝(0,2,0)，＝(－1,0,1)，＝(4,6，－4)， 所以4－3＝4(0,2,0)－3(－1,0,1)＝(3,8，－3)≠，故A错误； 设＝x＋y， 即解得 即＝3－4， 设＝λ，即(－1,0,1)＝λ(0,2,0)，即显然无解，即与不共线，所以A，B，C，E四点共面，故B正确； 因为＝(1,0,1)，所以·＝0，·＝1×(－1)＋1×1＝0， 所以⊥且⊥，所以向量是平面ABC的一个法向量，故C正确； 设平面ABE的法向量为n＝(x1，y1，z1)， 所以 y1＝0，令x1＝1，则z1＝1， 所以n＝(1,0,1)，＝(5,6，－4)，设OE与平面ABE所成角为θ， 所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，即OE与平面ABE所成角的正弦值为，故D错误． 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，则下列结论正确的是(　　) A．B1G⊥BC B．平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1 C．A1H∥平面AEF D．平面AEF与平面AFC所成的角为 答案　BC 解析　由题意可知，B1G在底面上的射影为BG，而BC不垂直BG，则B1G不垂直于BC，所以选项A不正确； 连接AD1和BC1，由E，F，G，H分别为CC1，BC，CD，BB1的中点，可知EF∥BC1∥AD1，则平面AEF∩平面AA1D1D＝AD1，所以选项B正确； 由题知，可设正方体的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2,0,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，H(2,2,1)，F(1,2,0)，＝(0,2，－1)，＝(－1,2,0)，＝(1,0，－1)，＝(0,0,2)，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即 令y＝1，得x＝2，z＝2，得平面AEF的一个法向量为n＝(2,1,2)，所以·n＝0，所以A1H∥平面AEF，所以C选项正确； 由图可知，AA1⊥平面AFC，所以是平面AFC的法向量，则cos〈，n〉＝＝. 故平面AEF与平面AFC所成角的大小不是，所以D不正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10．在直三棱柱ABC－A′B′C′中，所有的棱长都相等，M为B′C′的中点，N为A′B′的中点，则AM与BN所成角的余弦值为________． 答案　 解析　以A为原点，在平面ABC中，过A作AC的垂线为x轴，AC所在直线为y轴，AA′所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设直三棱柱ABC－A′B′C′中，所有的棱长都为2，则A(0,0,0)，M， B(，1,0)，N，所以＝，＝.设AM与BN所成角为θ，则cos θ＝＝＝. 11.棱长为1的正方体ABCD－EFGH如图所示，P，Q分别为直线AF，BG上的动点，则线段PQ长度的最小值为________． 答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设P(1，y0,1－y0)，Q(x0，1，x0)，当PQ为两异面直线的公垂线段时，PQ长度最短， 则＝(x0－1,1－y0，x0＋y0－1)， ＝(0,1，－1)，＝(1,0,1)， 由 解得x0＝y0＝， 所以P，Q， 所以|PQ|min＝＝. 12.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，B1C，C1D与底面所成的角分别为60°和45°，AC＝2，点P为线段B1C上一点，则·的最小值为________． 答案　 解析　如图． 因为CC1⊥平面A1B1C1D1，所以∠CB1C1＝60°，∠DC1D1＝45°， 设DD1＝x，则C1D1＝x，CC1＝x，C1B1＝x，D1A1＝x， 因为AC＝2，所以A1C1＝2， 所以D1C＋D1A＝A1C， 即x2＋2＝22，解得x＝， 所以CC1＝，C1B1＝1，B1C＝2， 所以·＝·(＋)＝·＋2＝2， 当C1P⊥B1C时，C1P取最小值， 最小值为＝＝， 所以2的最小值为， 即·的最小值为. 四、解答题(共37分) 13．(10分)如图，三棱锥O－ABC所有棱的长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且＝λ，记＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示向量；(4分) (2)求||的最小值．(6分) 解　(1)＝＋＋＝＋－＝(－)＋λ－＝－a－b＋λc. (2)因为三棱锥O－ABC所有棱的长都为1， 所以a2＝b2＝c2＝1， a·b＝a·c＝b·c＝， ||2＝2 ＝＋＋λ2＋a·b－λa·c－λb·c ＝＋λ2－λ ＝2＋， 故当λ＝时，||取得最小值， 且||min＝＝. 14．(12分)如图，已知PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝AD，M，N分别为AB，PC的中点，求证： (1)MN∥平面PAD；(6分) (2)平面PMC⊥平面PDC.(6分) 证明　如图，以A为坐标原点，以，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系．设PA＝AD＝a，AB＝b，则有A(0,0,0)，P(0,0，a)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，B(b,0,0)． (1)方法一　∵M，N分别为AB，PC的中点， ∴M，N. ∴＝， ＝(0,0，a)，＝(0，a,0)． ∴＝＋. 又∵MN⊄平面PAD，∴MN∥平面PAD. 方法二　由方法一知＝. 易知为平面PAD的一个法向量， ＝(b,0,0)， ∴·＝0， ∴⊥，又MN⊄平面PAD， ∴MN∥平面PAD. (2)由(1)，知M， ∴＝(b，a，－a)，＝， ＝(0，a，－a)． 设平面PMC的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 解得令z1＝b，则n1＝(2a，－b，b)． 设平面PDC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则即 得令z2＝1，则n2＝(0,1,1)， ∵n1·n2＝0－b＋b＝0， ∴n1⊥n2，故平面PMC⊥平面PDC. 15．(15分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝DO. (1)证明：PA⊥平面PBC；(5分) (2)求二面角B－PC－E的余弦值．(10分) (1)证明　由题设，知△DAE为等边三角形，设AE＝1， 则DO＝，CO＝BO＝AE＝， 所以PO＝DO＝， PC＝＝，PB＝＝， 又△ABC为等边三角形，则＝2OA， 所以BA＝，PA＝＝， PA2＋PB2＝＝AB2，则∠APB＝90°， 所以PA⊥PB，同理PA⊥PC， 又PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC. (2)解　过O作ON∥BC交AB于点N， 因为PO⊥平面ABC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，ON所在直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E，P， B，C， ＝， ＝，＝， 设平面PCB的一个法向量为n＝(x1，y1，z1)， 由 得 令x1＝，得z1＝－1，y1＝0， 所以n＝(，0，－1)， 设平面PCE的一个法向量为m＝(x2，y2，z2)， 由 得 令x2＝1，得z2＝－，y2＝， 所以m＝， 故cos〈m，n〉＝＝＝， 所以二面角B－PC－E的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $