第一章 1.2.5 空间中的距离（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦“空间中的距离”核心知识点，系统梳理两点间距离、点线距、点面距、线面距及面面距的求法，以向量长度计算公式为基础，通过例题解析与跟踪训练构建从基础到综合的学习支架，帮助学生逐步掌握用向量法和坐标法解决空间距离问题。 该资料以生活中距离问题导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，结合正方体、三棱锥等实例，通过向量运算培养数学思维中的推理与运算能力，知识梳理与反思感悟助力学生用数学语言表达距离公式及方法。课中例题解析辅助教师教学，课后练习题与总结帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

1.2.5　空间中的距离 [学习目标]　掌握向量长度计算公式，会用向量方法求两点间的距离、点线距、点面距、线面距和面面距． 导语 同学们，生活中的距离问题非常常见，比如，任意两个同学之间的距离、每一个同学与黑板之间的距离、体育课上同学们和旗杆之间的距离等等，这些反映到我们数学上，实际上就是空间点、线、面之间的距离问题，今天我们就具体探究解决这些距离问题的方法． 一、空间中两点之间的距离 问题1　求空间两点之间的距离有哪些方法？ 提示　方法一：(几何法)通过把空间两点放到三角形中去，然后利用正弦定理或余弦定理求长度． 方法二：(向量法)选取空间向量的一组基底，要求该组基底的模已知，夹角已知，然后用基底表示目标向量，求模即可． 方法三：(坐标法)建系，写出相关点的坐标，利用公式即可． 知识梳理 空间中两点之间的距离指的是这两个点连线的线段长，可借助向量构造三角形利用三角形法则求向量的模或建立空间直角坐标系求解． 例1　(1)如图，在三棱锥A－BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，有AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD的中点，则AE的长为(　　) A. B. C．2 D. 答案　B 解析　因为＝＋＋，||＝||＝||＝1，且·＝·＝·＝0，所以2＝(＋＋)2＝3，即AE的长为. (2)如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<)． ①求MN的长． ②a为何值时，MN的长最小？ 解　①建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)． 因为CM＝BN＝a(0<a<)， 且四边形ABCD，ABEF均为正方形， 所以M，N. 所以＝， 所以||＝， 即MN＝. ②由①知MN＝(0<a<)， 所以当a＝时，MNmin＝. 即M，N分别移动到AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为. 反思感悟　计算两点间的距离的两种方法 (1)利用|a|2＝a·a，通过向量运算求|a|，如求A，B两点间的距离，一般用AB＝＝求解． (2)用坐标法求向量的模(或两点间距离)，此法适用于求解的图形适宜建立空间直角坐标系时． 跟踪训练1　(1)在空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(x，－1,6)之间的距离为，则x＝_________________. 答案　2或－8 解析　由已知得＝， 解得x＝2或x＝－8. (2)从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则点B坐标为(　　) A．(18,17，－17) B．(－14，－19,17) C. D. 答案　A 解析　设B点坐标为(x，y，z)， 则＝λa(λ>0)， 即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)， 由||＝34，即＝34， 得λ＝2(负值舍去)，所以x＝18，y＝17，z＝－17. 二、点到直线的距离 问题2　求空间点到直线的距离有哪些方法？ 提示　方法一：(几何法)利用等面积法求点到直线的距离． 方法二：(坐标法)如图． 先求出垂足B的坐标，则|AB|即为点A到直线l的距离． 知识梳理 给定空间中一条直线l及l外一点A，因为l与A能确定一个平面，所以过A可以作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到直线l的距离，点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度． 注意点：(1)点到直线的距离公式d＝，其中A为直线外一点，为直线的任一方向向量；(2)空间两平行直线的距离转化为点到直线的距离． 例2　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离． 解　方法一　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 令DA＝2，则A(2,0,0)， E(0,2,1)，F(1,0,2)，＝(1，－2,1)． 设点M满足＝λ且AM⊥EF， 令M(x，y，z)， ∴(x－1，y，z－2)＝λ(1，－2,1)， ∴x＝λ＋1，y＝－2λ，z＝λ＋2， ∴M(λ＋1，－2λ，λ＋2)， ∴＝(λ－1，－2λ，λ＋2)， ∵AM⊥EF， ∴·＝λ－1＋4λ＋λ＋2＝0，解得λ＝－. ∴＝， ∴||＝＝， ∴点A到直线EF的距离为. 方法二　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图． 设DA＝2，则A(2,0,0)，E(0，2,1)，F(1,0,2)，＝(1，－2,1)， ＝(1,0，－2)． ∴||＝＝， ·＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1， ∴在上的投影长度为＝ . ∴点A到直线EF的距离 d＝ ＝＝. 反思感悟　用向量法求点到直线的距离的一般步骤 方法一：利用空间向量找垂线段，再求模即可． 方法二：(1)建立空间直角坐标系． (2)求直线的方向向量． (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影． (4)利用勾股定理求点到直线的距离． 另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化． 跟踪训练2　已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解　以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，A1(4,0,1)，C1(0,3,1)， 所以直线A1C1的方向向量为＝(－4,3,0)，而＝(0,3,1)， 所以点B到直线A1C1的距离 d＝＝＝. 三、点到平面的距离 知识梳理 给定空间中一个平面α及α外一点A，过A可以作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长称为点A到平面α的距离，点到平面的距离也是这个点与平面内点的最短连线的长度． 如图，A为平面α外一点，B是平面α内一点，n是平面α的一个法向量，则点A到平面α的距离d＝. 例3　已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E，F分别是边AB，AD的中点，CG垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG＝2，求点B到平面EFG的距离． 解　建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 则G(0,0,2)，E(4，－2，0)，F(2，－4,0)，B(4,0,0)， ∴＝(4，－2，－2)，＝(2，－4，－2)， ＝(0，－2,0)． 设平面EFG的一个法向量为n＝(x，y，z)． 由得 ∴x＝－y，z＝－3y. 取y＝1，则n＝(－1,1，－3)． ∴点B到平面EFG的距离d＝ ＝＝. 反思感悟　利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系． (2)求出该平面的一个法向量． (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量． (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离． 跟踪训练3　如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． 解　如图，取CD的中点O，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD， 平面MCD∩平面BCD＝CD， 所以MO⊥平面BCD. 以O为坐标原点，分别以直线OC，BO，OM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示． 因为△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，所以OB＝OM＝，则O(0,0,0)，C(1,0,0)，M(0,0，)，B(0，－，0)，A(0，－，2)，所以＝(1，，0)，＝(0，，)，＝(0,0,2)． 设平面MBC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取x＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝(，－1,1)．又＝(0,0,2)， 所以所求距离d＝＝. 四、直线到平面的距离、平面到平面的距离 知识梳理 (1)当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离． (2)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离． (3)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线． 公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段． 公垂线段的长即为两个平行平面之间的距离． (4)直线与平面之间的距离和平面与平面之间的距离都可以归结成点到平面的距离． 例4　在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离． 解　如图，以D为坐标原点， 分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则A1(1,0,2)，A(1,0,0)， E(0，，1)，C(0，，0)． 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，∴B(1,2，0)， ∴＝(0,2，0)，＝(－1，－，1)． 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)． ∵＝(0,0,2)， ∴直线A1B1与平面ABE的距离 d＝＝＝. 反思感悟　(1)求线面距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． (2)求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的方法求解即可． 跟踪训练4　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间的距离． 解　以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，A1(1，0,1)，B(1,1,0)， D1(0,0,1)，＝(0,1，－1)，＝(－1，0，－1)， ＝(－1，0,0)． 设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝1，得y＝1，x＝－1，∴n＝(－1,1,1)． ∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝. ∵平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， ∴平面A1BD与平面B1CD1间的距离为. 1.知识清单： (1)空间中两点之间的距离． (2)点到直线的距离． (3)点到面的距离． (4)直线到平面、平面到平面的距离． 2．方法归纳：数形结合、转化法． 3．常见误区：线到平面、平面到平面的距离，前提是线与面平行、平面与平面平行，并不是所有的线面、面面都有距离． 1．已知空间两点A，B的坐标分别为(1,1,1)，(2,2,2)，则A，B两点的距离为(　　) A．3 B．3 C. D. 答案　C 解析　AB＝||＝＝. 2．正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则A1A到平面B1D1DB的距离为(　　) A. B．2 C. D. 答案　A 解析　方法一　以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，易知＝(－2,2,0)为平面B1D1DB的一个法向量．又＝(2,0,0)， 所以A1A到平面B1D1DB的距离为＝. 方法二　由题意可知，A1A∥平面B1D1DB，A1A到平面B1D1DB的距离就是点A1到平面的距离．连接A1C1(图略)，交B1D1于O1，A1O1即为所求． 由题意可得A1O1＝A1C1＝. 3．若三棱锥P－ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　分别以PA，PB，PC所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)． 可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)，则d＝＝. 4．已知直线l过点A(2,3,1)，且n＝(0,1,1)为其一个方向向量，则点P(4,3,2)到直线l的距离为________． 答案　 解析　因为点A(2,3,1)，点P(4,3,2)， 所以＝(－2,0，－1)， 所以点P(4,3,2)到直线l的距离为 d＝＝＝. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．在空间直角坐标系中，已知点A(2,3,4)，B(－2,1,0)，C(1,1,1)，那么点C到线段AB中点的距离是(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　B 解析　线段AB中点D的坐标为(0,2,2)，||＝＝. 2．已知A(0,0, 2) ，B(1,0,2) ，C(0,2,0) ，则点A到直线BC的距离为(　　) A. B．1 C. D. 2 答案　A 解析　 ∵A(0, 0,2)，B(1, 0,2)，C(0, 2,0)， ＝(1, 0,0) ，＝(－1, 2，－2) ， ∴点A到直线BC的距离为 d＝＝ ＝. 3．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n＝(2，－2,1)．已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离为(　　) A. B．2 C．4 D．2 答案　D 解析　d＝＝＝2. 4.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，PA＝AD＝2AB＝2BC＝2，M，N分别为PD，AD的中点，则平面PAB与平面CMN之间的距离为(　　) A．2 B．1 C. D. 答案　B 解析　∵在△PAD中，M，N分别为PD，AD的中点，∴MN∥PA， ∵MN⊄平面PAB，PA⊂平面PAB， ∴MN∥平面PAB.又AN∥BC，且AN＝BC＝1， ∴四边形ABCN为平行四边形，∴CN∥AB. 又CN⊄平面PAB，AB⊂平面PAB， ∴CN∥平面PAB， 又CN∩MN＝N，∴平面CMN∥平面PAB， 又AD⊥AB，AD⊥PA，且AB∩PA＝A， ∴AD⊥平面PAB，AD⊥平面CMN， ∴线段AN为平面PAB与平面CMN的公垂线段，且AN＝1， ∴平面PAB与平面CMN之间的距离为1. 5.如图，已知直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝2，BO＝6，D为A1B1的中点，且异面直线OD与A1B垂直，则直线A1B1到平面ABO的距离为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　C 解析　由直棱柱的性质，知直线A1B1到平面ABO的距离为棱柱的高，不妨设为t(t>0)． 以OA，OB，OO1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,6,0)，A1(2,0，t)，B1(0,6，t)， 则D(1,3，t)，所以＝(－2,6，－t)，＝(1,3，t)， 所以·＝－2＋18－t2＝0，所以t＝4. 6．(多选)已知直线l的方向向量n＝(1,0，－1)，A(2,1，－3)为直线l上一点，若点P(－1,0，－2)为直线l外一点，则点P到直线l上任意一点Q的距离可能为(　　) A．2 B. C. D．1 答案　AB 解析　由题设条件可知，＝(－3，－1,1)， 所以点P到直线l的距离 d＝＝， 故点P到直线l上任意一点Q的距离要大于等于，故A，B符合题意． 7．(5分)如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABEF为矩形，且它们所在的平面互相垂直，AB＝2BE＝4，M为对角线AC上的一个定点，且3AM＝MC，则点M到直线BF的距离为________． 答案　 解析　如图，建立空间直角坐标系， 则B(0,0,0)，F(4,2,0)， C(0,0,4)，A(4,0,0)， 因为3AM＝MC，所以＝， 所以＝(4,2,0)，＝＋＝(4,0,0)＋(－4,0,4)＝(3,0,1)， 令a＝＝(3,0,1)，u＝＝＝， 所以a2＝10，a·u＝， 则点M到直线BF的距离为＝＝. 8．(5分)如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为________． 答案　 解析　如图，取AB的中点O，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，E(1,0,0)，D(0，－1,2)，C(0,1,2)，从而＝(0,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,2)．设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即令y＝1，则x＝－1，z＝－1，所以n＝(－1,1，－1)为平面ACE的一个法向量，故点D到平面ACE的距离d＝＝＝. 9．(10分)如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点． (1)求点D到平面PEF的距离；(5分) (2)求直线AC到平面PEF的距离．(5分) 解　(1)建立以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示． 则D(0,0,0)，P(0,0,1)， A(1,0,0), C(0,1,0)， E， F， ＝，＝， ＝. 设平面PEF的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离 d＝＝＝. (2)因为＝， 所以点A到平面PEF的距离 d＝＝＝. 因为E，F分别为AB，BC的中点， 所以EF∥AC，又EF⊂平面PEF， AC⊄平面PEF， 所以AC∥平面PEF， 所以AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，为. 10．(12分)已知边长为4的正三角形ABC，E，F分别为BC，AC的中点．PA＝2，且PA⊥平面ABC，设Q是CE的中点． (1)求证：AE∥平面PFQ；(6分) (2)求AE与平面PFQ之间的距离．(6分) (1)证明　如图所示，以A为坐标原点，平面ABC内垂直于AC边的直线为x轴，AC所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系． ∵AP＝2，AB＝BC＝AC＝4，又E，F分别是BC，AC的中点， ∴A(0,0,0)，B(2，2,0)，C(0,4,0)，F(0,2,0)， E(，3,0)，Q，P(0,0,2)． ∵＝，＝(，3,0)， ∴＝2. ∵与无交点， ∴AE∥FQ.又FQ⊂平面PFQ，AE⊄平面PFQ， ∴AE∥平面PFQ. (2)解　由(1)知，AE∥平面PFQ， ∴点A到平面PFQ的距离就是AE与平面PFQ之间的距离． 设平面PFQ的法向量为n＝(x，y，z)， 又＝(0,2，－2)，＝， ∴ 即 令y＝1，则x＝－，z＝1， ∴平面PFQ的一个法向量为n＝(－，1,1)． 又＝， ∴所求距离d＝＝. 11．已知棱长为1的正方体ABCD－EFGH，若点P在正方体内部且满足＝＋＋，则点P到AB的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以A为原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)， 则＝(1,0,0)＋(0,1,0)＋(0,0,1) ＝. 又＝(1,0,0)， 所以在上的投影的长度为＝. 所以点P到AB的距离为 ＝. 12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B(1,1,0)， C(0,1,0)，C1(0,1,2)． 根据题意，可设点P的坐标为(0，λ，2λ)，λ∈[0,1]， 点Q的坐标为(1－μ，μ，0)，μ∈[0,1]， 则PQ＝ ＝ ＝， 当且仅当λ＝，μ＝时，线段PQ的长度取得最小值. 13．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G＝λ(0<λ<2)，则点G到平面D1EF的距离为(　　) A．2 B. C. D. 答案　D 解析　以D为坐标原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则G(2，λ，2)，D1(0,0,2)， E(2,0,1)，F(2,2,1)， 所以＝(－2,0,1)，＝(0,2,0)，＝(0，λ，1)． 设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝1，得n＝(1,0,2)为平面D1EF的一个法向量， ∴点G到平面D1EF的距离d＝＝＝. 14．(5分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC为正三角形，且侧棱AA1⊥底面ABC，底面边长与侧棱长都等于2，O，O1分别为AC，A1C1的中点，则平面AB1O1与平面BC1O之间的距离为________． 答案　 解析　如图，连接OO1，根据题意，OO1⊥底面ABC， 则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OO1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． ∵AO1∥OC1，OB∥O1B1，AO1∩O1B1＝O1，OC1∩OB＝O， ∴平面AB1O1∥平面BC1O， ∴平面AB1O1与平面BC1O之间的距离即为点O1到平面BC1O的距离． ∵O(0,0,0)，B(，0,0)，C1(0,1,2)，O1(0,0,2)， ∴＝(，0,0)，＝(0,1,2)，＝(0,0,2)， 设n＝(x，y，z)为平面BC1O的法向量， 则即 ∴可取n＝(0,2，－1)． 记点O1到平面BC1O的距离为d， 则d＝＝＝， ∴平面AB1O1与平面BC1O之间的距离为. 15．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长是1，则直线DA1与AC之间的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，C(0,1,0)， 所以＝(－1,1,0)， ＝(1,0,1)． 设n＝(x，y，z)，令则 令x＝1，则n＝(1,1，－1)． 又＝(1,0,0)， 所以DA1与AC之间的距离d＝＝. 16．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，O为AD的中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 解　在△PAD中，PA＝PD，O为AD的中点， ∴PO⊥AD. 又侧面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PO⊥平面ABCD. 建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1,0)，B(1，－1，0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0，0,1)， ∴＝(－1,0,1)，＝(－1,1,0)．假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为， 设Q(0，y,0)(－1≤y≤1)， 则＝(－1，y,0)． 设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)， 则∴ 取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,1)． ∴点Q到平面PCD的距离d＝＝＝， ∴y＝－或y＝(舍去)． 此时AQ＝，QD＝. ∴存在点Q满足题意，此时＝. 学科网（北京）股份有限公司 $