第一章 1.2.3 直线与平面的夹角（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面的夹角”，从握笔写字、地球仪地轴等生活实例导入，系统梳理定义（斜线与射影所成锐角）、范围（0°-90°）、最小角定理及空间向量求法，构建“直观感知-抽象定义-性质应用-代数表达”的学习支架。 以生活情境激发数学眼光，通过正三棱柱、四棱锥等典型例题融合几何推理与向量运算，培养逻辑思维与符号表达能力。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖基础与综合，帮助学生查漏补缺，深化理解。

1.2.3　直线与平面的夹角 [学习目标]　1.理解斜线与平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会利用空间向量求直线与平面的夹角． 导语 日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象，如图1所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面呈一定角度；如图2所示，地球仪的地轴(即旋转轴)与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面呈一定角度，那么怎样来刻画直线与平面所成的角呢？我们今天就来研究这个角． 一、直线与平面的夹角 问题1　直线与平面所成的角是如何定义的？ 提示　如图，AA′⊥平面α，AB是平面α的一条斜线，直线A′B是斜线AB在平面α内的射影，且唯一确定，则∠ABA′即为直线AB与平面α所成的角． 知识梳理 1．斜线与平面所成的角 注意到平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，称为这条斜线与平面所成的角． 2．直线与平面所成的角 (1)定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A′B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA′就是直线AB与平面α所成的角． (2)范围：直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°. 当θ＝0°，AB∥α或AB⊂α； 当θ＝90°，AB⊥α. 例1　正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长为2，侧棱长为2，则B1C与平面AA1B1B所成的角为(　　) A．30° B．60° C．45° D．90° 答案　A 解析　如图，取AB的中点O，连接CO，B1O，△ABC为等边三角形，O为AB的中点， ∴CO⊥AB，而平面ABC⊥平面AA1B1B，且平面ABC∩平面AA1B1B＝AB，CO⊂平面ABC， ∴CO⊥平面AA1B1B， ∴∠CB1O即为B1C与平面AA1B1B所成的角． 在Rt△COB1中，CO＝，B1C＝＝2， ∴sin∠CB1O＝＝＝. 又0°≤∠CB1O≤90°， ∴∠CB1O＝30°. 反思感悟　利用线面角定义，求线面角即求斜线与它在平面内的射影所成的角，所以找该斜线在平面内的射影是关键，而要找射影关键是找垂线，所以求线面角的关键是找平面的垂线． 跟踪训练1　在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BCD1所成角的正弦值等于________． 答案　 解析　如图，过D作DO⊥CD1，O为垂足． ∵BC⊥平面CDD1C1， ∴BC⊥DO， 又DO⊥CD1且BC∩CD1＝C，BC，CD1⊂平面BCD1， ∴DO⊥平面BCD1， ∴∠DCO为CD与平面BCD1所成的角． 令AB＝1，∴CD＝1，DD1＝2， ∴CD1＝， ∴在Rt△CDD1中，sin∠DCO＝＝＝. 二、最小角定理 问题2　如图，OA为平面α的一条斜线，OB是OA在平面α内的射影，OC为α内的任一射线，证明∠AOB≤∠AOC. 提示　过B做BE⊥OC于E，则由三垂线定理得AE⊥OC，所以sin∠AOB＝，sin∠AOC＝，显然AB≤AE，所以有∠AOB≤∠AOC，当OC与OB重合时等号成立． 知识梳理 如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是cos θ＝cos θ1 cos θ2. 平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角． 注意点： (1)辅助记忆：这三个角中，θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积，其中θ，θ1，θ2分别称为斜角、立角、平角，它们之间的余弦关系式又称为斜立平公式． (2)从空间一点O引出的三条射线OA，OB，OM满足cos∠AOM＝cos∠AOB·cos∠BOM，则平面AOB⊥平面BOM. 例2　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥平面ABCD，且PB＝，PC＝＋1，BC＝2，∠ACB＝45°. 求PC与平面ABCD所成的角． 解　∵PA⊥平面ABCD， ∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角， 在△PCB中，由余弦定理知， cos∠PCB＝＝＝. 又cos∠PCB＝cos∠ACB·cos∠PCA， ∴cos∠PCA＝＝＝. 又0°≤∠PCA≤90°，∴∠PCA＝45°. 反思感悟　几何法求线面角 (1)直接法，平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角．通常是解由斜线段、垂线段、斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用． (2)利用最小角公式cos θ＝cos θ1·cos θ2. 跟踪训练2　在正四棱锥P－ABCD中，侧棱与底面所成的角为，则侧棱所在直线与底面的边所在直线所成的角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　如图，正四棱锥P－ABCD，PO⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形， 记∠PDO＝θ1，∠CDO＝θ2，∠PDC＝θ. 依题意θ1＝，θ2＝， 因为cos θ＝cos θ1·cos θ2＝×＝， 所以PD与DC所成角的余弦值为，即侧棱所在直线与底面的边所在直线所成的角的余弦值为. 三、用空间向量求直线与平面的夹角 问题3　如何用直线的方向向量和平面的法向量表示线面角？ 提示　如图，可以发现，直线的方向向量与平面法向量的夹角并不是直线与平面所成的角，如左图，直线的方向向量与平面法向量的夹角和线面角互余；如右图，直线的方向向量与平面法向量的夹角的补角和线面角互余．于是我们有线面角公式sin θ＝|cos〈v，n〉|＝(θ为直线与平面所成的角)． 知识梳理 如图所示，v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量． θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－， 特别地，cos θ＝sin〈v，n〉，sin θ＝|cos〈v，n〉|. 注意点：用向量法求线面角的解题步骤：(1)建系；(2)写相关点的坐标；(3)写出直线的方向向量a；(4)求出平面的法向量n；(5)代入公式sin θ＝|cos〈a，n〉|＝；(6)回归几何问题． 例3　如图，已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点． (1)证明：CM⊥SN； (2)求SN与平面CMN所成角的大小． (1)证明　设PA＝1，以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 则C(0,1,0)，M， N，S. 所以＝，＝， 因为·＝－＋＋0＝0， 所以CM⊥SN. (2)解　由(1)知＝，＝，＝. 设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 则即 令x＝2，得n＝(2,1，－2)为平面CMN的一个法向量． 因为|cos〈n，〉|＝＝， 所以SN与平面CMN所成角的大小为45°. 反思感悟　用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角． 跟踪训练3　中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P－ABCD，其中AC⊥BD于O，OA＝OB＝OD＝4，OC＝8，PO⊥平面ABCD. (1)求证：PD⊥AC； (2)试验表明，当PO＝OA时，风筝表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成角的正弦值． (1)证明　∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴PO⊥AC，又AC⊥BD， PO∩BD＝O，PO⊂平面POD，BD⊂平面POD， ∴AC⊥平面POD， 又PD⊂平面POD.∴PD⊥AC. (2)解　如图， 以O为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，则B(4,0,0)，C(0,8,0)，D(－4,0,0)，P(0,0,2)， ∴＝(4,0，－2)，＝(0,8，－2)， ＝(－4,0，－2)， 设m＝(a，b，c)为平面PBC的一个法向量， 则即 令c＝4，则m＝(2,1,4)， 设直线PD与平面PBC所成角为θ， 则sin θ＝＝＝. ∴直线PD与平面PBC所成角的正弦值为. 1.知识清单： (1)直线与平面所成的角及其性质． (2)利用空间向量求直线与平面的夹角． 2．方法归纳：数形结合、代入法、转化法． 3．常见误区： (1)应用cos θ＝cos θ1·cos θ2时混淆各角． (2)利用空间向量求直线与平面的夹角时，忽略所求夹角与求出的向量夹角的区别． 1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 2.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，则BC1与平面CDD1C1所成角的正切值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵BC⊥平面CDD1C1， ∴∠BC1C为BC1与平面CDD1C1所成的角， ∴tan∠BC1C＝＝＝. 3.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，直线DC1与DB所成的角为60°，则直线DC1与平面ABCD所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　B 解析　依题意，得∠C1DB＝60°， 又底面ABCD为正方形，∴∠CDB＝45°. ∵CC1⊥平面ABCD， ∴∠C1DC为DC1与平面ABCD所成的角， ∵cos∠C1DB＝cos∠CDB·cos∠C1DC， ∴cos 60°＝cos 45°·cos∠C1DC， ∴cos∠C1DC＝＝， 又0°≤∠C1DC≤90°， ∴∠C1DC＝45°. 4．若平面α的一个法向量为n＝(－，1,1)，直线l的一个方向向量为a＝(，1,1)，则l与α所成角的正弦值为________． 答案　 解析　由题设l与α所成的角为θ， 可得sin θ＝|cos〈n，a〉|＝ ＝＝. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1．已知向量m，n分别是直线l的方向向量和平面α的法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　A 解析　设l与α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝.又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 2．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为v，直线l与平面α所成的角为θ，则下列关系式一定成立的是(　　) A．cos θ＝ B．cos θ＝ C．sin θ＝ D．sin θ＝ 答案　D 解析　若直线与平面所成的角为θ，直线与该平面的法向量所在直线所成的角为β，则θ＝90°－β或θ＝β－90°. 所以sin θ＝|cos β|＝. 3．已知∠APB在平面α内，大小为60°，射线PC与PA，PB所成的角均为135°，则PC与平面α所成角的余弦值是(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　B 解析　设PC与平面α所成的角为θ，则cos 45°＝cos θ·cos 30°，所以cos θ＝. 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中点，则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则D(0,0,0)，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，E(0,2,1)， 则＝(－2，－2,0)，＝(0,0,2)， ＝(－2，0,1)． 设平面B1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)． 因为n⊥，n⊥， 所以 即即 令y＝1，则n＝(－1,1,0)为平面B1BD的一个法向量． 于是，cos〈n，〉＝＝，则直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为. 5.如图，三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，N是BC的中点，点P在A1B1上，且满足＝λ，则直线PN与平面ABC所成的角最大时的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　如图，以AB，AC，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则P(λ，0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)， N， ＝， 平面ABC的一个法向量为n＝(0,0,1)， 设直线PN与平面ABC所成的角为θ， ∴sin θ＝|cos〈，n〉| ＝＝， ∴当λ＝时，(sin θ)max＝， 此时角θ最大． 6．(多选)直线l与平面α所成的角为，则直线l的方向向量与平面α的法向量所成的角可能为(　　) A. B. C. D. 答案　BC 解析　设v为直线l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为直线l与平面α所成的角， ∴θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－， ∴〈v，n〉＝－θ或〈v，n〉＝θ＋， ∴〈v，n〉＝或. 7．(5分)在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小为________． 答案　 解析　如图，PA⊥平面ABCD， ∴∠PCA为PC与平面ABCD所成的角， ∵AB＝1，BC＝， ∴AC＝， ∴在Rt△PAC中，AC＝，PA＝1， ∴tan∠PCA＝＝＝. 又∵∠PCA∈， ∴∠PCA＝. 8．(5分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为________． 答案　 解析　设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系． 则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)． 平面ACD1的一个法向量为＝(1,1,1)． 又＝(0,0,1)， 则cos〈，〉＝＝＝. 所以BB1与平面ACD1所成角的正弦值为， 所以BB1与平面ACD1所成角的余弦值为. 9．(10分)如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC的中点．求BE与平面ABCD所成角的余弦值． 解　如图，取CD的中点M，连接EM，BM， 则EM∥PD， ∵PD⊥平面ABCD， ∴EM⊥平面ABCD， ∴BE在平面ABCD上的射影为BM， ∴∠MBE为BE与平面ABCD的夹角． 建立空间如图所示的直角坐标系Dxyz， 设PD＝DC＝1， 则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)， ∴M，E， ∴＝， ＝， cos〈，〉＝＝＝， ∴BE与平面ABCD所成角的余弦值为. 10．(10分)如图，四棱锥P－ABCD的侧面△PAD是正三角形，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝AB＝2CD＝2，M为BC的中点． (1)求证：PM⊥AD；(4分) (2)若PB＝AB，求直线PM与平面PAB所成角的正弦值．(6分) (1)证明　如图，取AD的中点N，连接PN，NM，因为△PAD是正三角形，所以PN⊥AD. 又M是BC的中点，所以NM∥AB. 因为∠BAD＝90°，即AB⊥AD. 所以NM⊥AD，因为NM∩PN＝N，NM，PN⊂平面PMN， 所以AD⊥平面PMN，又PM⊂平面PMN，所以PM⊥AD. (2)解　PB＝AB，又AB＝PA， 所以PA2＋AB2＝PB2，则AB⊥PA. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又AB⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD， 因为PN⊥AD，PN⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 所以PN⊥平面ABCD. 以N为原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 可得P(0,0，)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，M，＝(－1,0，)，＝(0,2,0)， 设平面PAB的一个法向量为n＝(x，y，z)，所以即令x＝， 可得z＝1，y＝0， 则n＝(，0,1)，又＝，设直线PM与平面PAB所成角为θ， 所以sin θ＝＝＝. 所以直线PM与平面PAB所成角的正弦值为. 11．(多选)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，下列结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AB，CD所成角为 C．△ADC为等边三角形 D．AB与平面BCD所成角为60° 答案　ABC 解析　如图，取BD的中点O，连接AO，CO，易知BD⊥平面AOC，故BD⊥AC. 如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为a， 则A，B， 故＝，C， D， 故＝. 由两向量夹角公式得cos〈，〉＝－， 故两异面直线所成的角为. 在Rt△AOC中，由AO＝CO＝a，AO⊥CO， 所以AC＝AO＝a，故△ADC为等边三角形． 易知∠ABO即为直线AB与平面BCD所成的角， 可求得∠ABO＝45°，故D错． 12．已知三棱锥P－ABC的底面是以AC为斜边的直角三角形，顶点P在底面的射影恰好是△ABC的外心，PA＝AB＝1，BC＝，则PB与底面ABC所成角的大小为(　　) A．60° B．30° C．45° D．90° 答案　B 解析　设△ABC的外心为O，PB与底面ABC所成的角为θ. 因为△ABC是以AC为斜边的直角三角形， 所以O为AC的中点．由AB＝1，BC＝，知AC＝， 则OA＝.又PA＝1，PO⊥AC，所以PO＝， 因为OB＝OA＝，得tan θ＝＝， 又0°≤θ≤90°，所以θ＝30°. 13．(5分)如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________． 答案　 解析　如图，取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系． 设BC＝1， 则A，B，C，D， 所以＝，＝，＝. 设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则所以 取x＝1，则y＝－，z＝1， 所以n＝(1，－，1)， 所以|cos〈n，〉|＝＝， 因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为. 14．(5分)如图1，在等腰三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′－BCDE.若A′O⊥平面BCDE，则A′D与平面A′BC所成角的正弦值为________． 答案　 解析　取DE的中点H，连接OH，OD，OE，则OH⊥OB.以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 由题意，知OH＝1，DH＝2，DO＝，A′D＝2， ∴OA′＝＝， ∴A′(0,0，)，D(1，－2,0)， ∴＝(1，－2，－)． 设A′D与平面A′BC所成的角为θ，易得平面A′BC的一个法向量为n＝(1,0,0)， ∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝. ∴A′D与平面A′BC所成角的正弦值为. 15．(5分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB＝2，CF＝3.若直线FO与平面BED所成的角为45°，则AE＝________. 答案　2 解析　如图，以O为原点，以OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系． 设AE＝a(a>0)， 则B(0，，0)，D(0，－，0)， F(－1,0,3)，E(1,0，a)， 所以＝(－1,0,3)，＝(0，2，0)，＝(－1，，－a)． 设平面BED的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 即 则y＝0，令z＝1，得x＝－a， 所以n＝(－a,0,1)， 所以cos〈n，〉＝＝ . 因为直线FO与平面BED所成角的大小为45°， 所以＝， 解得a＝2或a＝－(舍去)，所以AE＝2. 16．(13分)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD交于O点，A1在底面的射影为O点，AA1与底面所成的角为60°，AB＝2，cos∠A1AD＝cos∠A1AB＝，求对角线AC1的长． 解　由题意知，A1O⊥平面ABCD，则∠A1AO为AA1与平面ABCD所成的角， ∴∠A1AO＝60°. ∵cos∠A1AB＝cos∠BAO·cos∠A1AO， ∴cos∠BAO＝＝＝， 又0°<∠BAO<180°， ∴∠BAO＝30°. 同理∠DAO＝30°， ∴AC为∠DAB的平分线， ∴平行四边形ABCD为菱形． ∵AB＝AD＝2， ∴△ABD为等边三角形， ∴AO＝. 在Rt△A1OA中，AA1＝＝＝2. 又＝＋＋， ∴2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝4＋4＋12＋2×2×2cos 60°＋2×2×2×cos∠A1AB×2＝36， ∴AC1＝6. 学科网（北京）股份有限公司 $