第一章 1.2.2 第1课时 平面的法向量（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦平面法向量的概念、性质及应用，承接空间直线方向向量知识，构建用向量表示平面的工具，可判定线面和面面平行垂直，为后续空间几何问题解决奠定基础。 通过问题驱动抽象概念培养数学眼光，如从“向量垂直平面”引出法向量定义。结合例题用待定系数法推理求法向量发展数学思维，向量语言表达强化数学语言运用。课中辅助分层教学，课后习题助学生巩固，查漏补缺。

1.2.2　空间中的平面与空间向量 第1课时　平面的法向量 [学习目标]　1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直． 导语 同学们，通过前面的学习，我们发现，直线的方向向量极大地方便了我们判断与证明空间直线的位置关系以及求两直线的夹角，但空间还有很多和平面有关的位置关系，记得我们当初用几何法求二面角的时候，构造二面角的平面角何其艰难，如果说能用空间向量来表示空间平面，这个问题是不是更容易一些，让我们先来看一下如何用空间向量表示空间平面． 一、平面法向量的概念及性质 问题1　设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的集合构成什么图形？ 提示　如图． 容易看出，如果任取两点M1，M2(M1，M2和A三点不共线)，且·n＝0，·n＝0，则n⊥α(α为A，M1，M2所在平面)，由直线与平面垂直的判定定理可知，在平面α内的任一点M都满足·n＝0，又知满足条件·n＝0的所有点M都在平面α内，这就说明，我们可以用·n＝0表述通过空间内任一点并且与一个向量垂直的平面，我们把·n＝0通常称为一个平面的向量表示式，其中把非零向量n称为平面α的法向量． 知识梳理 平面的法向量 定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称n为平面α的一个法向量，也称n与平面α垂直，记作n⊥α. 性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都平行． ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝0，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定． 注意点：(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行． 例1　(多选)下列说法中不正确的是(　　) A．平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量 B．一个平面的所有法向量互相平行 C．平面的单位法向量是唯一确定的 D．如果a，b与平面α共面且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量 答案　CD 解析　选项A，B显然是正确的；对于C，与平面垂直的直线的方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，则平面的单位法向量也不唯一，C不正确；当a，b共线时，n不一定是平面α的法向量，D不正确． 反思感悟　明确平面的法向量与平面垂直这一重要特征，平面的法向量不唯一且非零． 跟踪训练1　下列说法不正确的是(　　) A．若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的法向量 B．若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直 C．0是任意一个平面的法向量 D．一个平面的法向量是不唯一的 答案　C 解析　对于A，根据直线的方向向量的定义及平面的法向量的定义可知，若直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的法向量，是正确的；对于B，由平面的法向量的定义可知，平面的法向量垂直于平面共面的所有向量，若n是平面α的一个法向量，则n与平面α内任意一条直线的方向向量均垂直，是正确的；对于C，由平面的法向量的定义可知，0是任意一个平面的法向量，是错误的；对于D，由平面的法向量的定义可知，一个平面的法向量是不唯一的，是正确的． 二、利用法向量证明线面、面面平行与垂直 问题2　请同学们写出线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理． 提示　线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直；面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直． 知识梳理 1．直线与平面平行、垂直的判定 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 2．两平面平行、垂直的判定 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则 例2　(1)若直线l的一个方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为n＝(－2,1,1)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α或l∥α D．l与α斜交 答案　C 解析　∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,1,1)，∴a·n＝1×(－2)＋0×1＋2×1＝0，即l⊂α或l∥α. (2)若平面α，β的一个法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α∥β，则x的值为(　　) A．10 B．－10 C. D．－ 答案　C 解析　因为α∥β，所以a，b共线，故＝＝，故x＝. 反思感悟　用向量证明线面平行需检验该直线是否是平面内的直线，若不在平面内，则线面平行，若在平面内，则不能判断为平行；若直线与平面垂直，则直线的方向向量可以作为平面的法向量． 跟踪训练2　(1)若直线l的一个方向向量为a＝(－1,0，－2)，平面α的一个法向量为u＝(4,0,8)，则(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 答案　B 解析　由a＝(－1,0，－2)，u＝(4,0,8)， 则u＝－4a，所以u∥a，则l⊥α. (2)若平面α⊥β，且平面α的一个法向量为n＝，则平面β的法向量可以是(　　) A. B．(2，－1,0) C．(1,2,0) D. 答案　C 解析　∵平面α⊥β，∴平面α的一个法向量与平面β的法向量垂直，即它们的数量积为0.对于A，·＝2＋＋≠0，故A错误；对于B，(2，－1,0)·＝－4－1＋0＝－5≠0，故B错误；对于C，(1,2,0)·＝－2＋2＋0＝0，故C正确；对于D，·＝－1＋1＋1＝1≠0，故D错误． 三、求平面的法向量 问题3　如何求平面的法向量？ 提示　一般地，如果题目中有已知的线面垂直关系，则该直线的方向向量即为平面的法向量；否则要利用待定系数法求平面的法向量． 知识梳理 利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 注意点：赋值时应尽可能保证法向量的三个坐标都为整数，若含有根式，则尽可能不出现在分母． 例3　如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD的一个法向量； (2)求平面SAB的一个法向量； (3)求平面SCD的一个法向量． 解　 以点A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(0，1,0)，C(1,1,0)，D，S(0,0,1)． (1)∵SA⊥平面ABCD， ∴＝(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量． (2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB，∴AD⊥平面SAB， ∴＝是平面SAB的一个法向量． (3)在平面SCD中，＝， ＝(1,1，－1)． 设平面SCD的一个法向量是n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥，∴ 得方程组∴ 令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1,1)． ∴n＝(2，－1,1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一)． 反思感悟　求平面的一个法向量的方法 (1)平面垂线的方向向量法，证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一个方向向量即为所求． (2)待定系数法求平面的法向量． 跟踪训练3　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量． 解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直． 如图，以A为坐标原点，，，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Axyz，则D(0，，0)，E，B(1,0,0)，C(1，，0)， 于是＝，＝(1，，0)． 设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量， 则即 所以 令y＝－1， 则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)． (答案不唯一)． 1.知识清单： (1)平面法向量的概念及性质． (2)利用法向量判断线面、面面平行与垂直的关系． (3)求平面的法向量． 2．方法归纳：数形结合、转化与化归、待定系数法． 3．常见误区：正确的赋值求平面的法向量是解决问题的关键． 1．已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　) A．(4,2，－2) B．(2,0,4) C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2) 答案　D 解析　平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β， 设平面β的法向量为(x，y，z)， 则(2，－1,1)＝λ(x，y，z)，λ≠0， 对比四个选项可知，只有D符合要求． 2．若直线l∥α，且l的一个方向向量为(2，m,1)，平面α的一个法向量为，则m等于(　　) A．－4 B．－6 C．－8 D．8 答案　C 解析　∵l∥α，平面α的一个法向量为， ∴(2，m,1)·＝0，即2＋m＋2＝0， ∴m＝－8. 3．已知平面α，β的一个法向量分别为a＝(－1，y,4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β，则x＋y的值为(　　) A．－8 B．－4 C．4 D．8 答案　A 解析　因为平面α，β的一个法向量分别为a＝(－1，y,4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β， 所以a·b＝0，即－x－y－8＝0， 则x＋y＝－8. 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点，以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则平面D1EF的一个法向量是________． 答案　(－6,3,2)(答案不唯一) 解析　∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，E，F分别是BC，CD的中点， 则D1(0,0,3)，E(1,4,0)，F(0,2,0)， ＝(1,4，－3)，＝(0,2，－3)， 设平面D1EF的一个法向量是n＝(x，y，z)， 则 取y＝3，得n＝(－6,3,2)， 则平面D1EF的一个法向量是(－6,3,2)(答案不唯一)． 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合 答案　D 解析　因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合． 2．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　依题意，＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，得n＝(1,1,1)，于是得与n同向的单位向量为＝， 与n反向的单位向量为 －＝，D满足； 显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足． 3．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,1)，直线AB与平面α相交但不垂直，则向量的坐标可以是(　　) A．(－2,2，－2) B．(1,3,2) C．(2,1，－1) D．(1,2,3) 答案　D 解析　选项A的向量与n平行，从而线面垂直，选项B，C的向量与n垂直，从而线面平行或线在面内，而选项D的向量与n不平行，也不垂直．∴的坐标可以是(1,2,3)． 4．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则直线PA与底面ABCD的关系是(　　) A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．相交但不垂直 答案　B 解析　因为·＝0，·＝0， 所以AP⊥AD，AP⊥AB， 又因为AB∩AD＝A，所以PA⊥平面ABCD. 5．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的一个法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z等于(　　) A．2∶3∶(－4) B．1∶1∶1 C.∶1∶1 D．3∶2∶4 答案　A 解析　＝，＝(－3,2,0)， 因为平面α的一个法向量为a＝(x，y，z)， 所以 取y＝3，则x＝2，z＝－4. 所以x∶y∶z＝2∶3∶(－4)． 6．(多选)给定下列命题，其中为真命题的是(　　) A．若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则n1∥n2⇔α∥β B．若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则α∥β⇔n1·n2＝0 C．若n是平面α的一个法向量，且向量a是平面α内直线l的一个方向向量，则a·n＝0 D．若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直 答案　CD 解析　因为n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，所以n1⊥α，n2⊥β，所以n1∥n2⇔α∥β或α与β重合，所以A，B为假命题；若n是平面α的一个法向量，则n⊥α，所以n⊥l，所以n⊥a，所以a·n＝0，所以C为真命题；若两个平面垂直，则其法向量一定垂直，所以D为真命题． 7．(5分)空间直角坐标系中，平面α与β的法向量分别为n1＝(2,1,1)，n2＝(0,2,1)，若α∩β＝l，则直线l的一个方向向量为______________(写出一个方向向量的坐标即可)． 答案　(答案不唯一) 解析　设直线l的一个方向向量为d＝(x，y，z)， 依题意可知所以 令y＝1，则z＝－2，x＝，所以d＝(答案不唯一)． 8．(5分)若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝____________________. 答案　 解析　由题意，知 即解得 所以a＝. 9．(10分)如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝1，AD＝AA1＝3，AB＝. 试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACD1的一个法向量． 解　易知，AB，AD，AA1两两垂直． 如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系． 则A(0,0,0)，C(，1,0)，D1(0,3,3)． ＝(0,3,3)，＝(，1,0)， 设n＝(x，y，z)是平面ACD1的一个法向量． 则即 令x＝1，则n＝(1，－，)． 所以平面ACD1的一个法向量为(1，－，)(答案不唯一)． 10.(12分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BB1，CD的中点．求证：为平面ADE的一个法向量． 证明　由题意，以点D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，D1(0,0,2)，F(0，1,0)， 可得＝(2,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0，1，－2)， 所以·＝2－2＝0，·＝0， 所以D1F⊥DE，D1F⊥DA，且DE⊂平面ADE，DA⊂平面ADE，DE∩DA＝D， 所以D1F⊥平面ADE， 所以为平面ADE的一个法向量． 11．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　∵m·n＝0， 即m⊥n，不一定有l∥α，也可能l⊂α， ∴“m·n＝0”是“l∥α”的不充分条件． ∵l∥α，可以推出m⊥n， ∴“m·n＝0”是“l∥α”的必要条件， 综上所述，“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件． 12．以下命题正确的是(　　) A．直线l的方向向量为a＝(1，－1,2)，直线m的方向向量b＝(1,2,1)，则l与m垂直 B．直线l的方向向量为a＝(0,1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥α C．两个不同平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－1,0)，n2＝(－4,2,0)，则α∥β D．平面α经过三点A(1,0，－1)，B(0,1,0)，C(－1,2,0)，向量b＝(1，u，t)是平面α的法向量，则t＝1 答案　C 解析　对于A项，因为a·b＝1－2＋2＝1≠0， 所以a，b不垂直，所以l与m不垂直，故A错误； 对于B项，因为a·n＝－1＋1＝0， 所以a⊥n，所以l∥α或l⊂α，不垂直，故B错误； 对于C项，因为n2＝－2n1， 所以n1∥n2，所以α∥β，故C正确； 对于D项，因为＝(－1,1,1)，＝(－2,2,1)， 向量b＝(1，u，t)是平面α的法向量， 所以 即 解得故D错误． 13．(5分)设u，v分别是不同平面α，β的一个法向量，u＝(－2，2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 答案　α⊥β　α∥β 解析　∵u，v分别为不同平面α，β的一个法向量且u＝(－2,2,5)， 当v＝(3，－2,2)时，u·v＝－6－4＋10＝0， ∴u⊥v，即α⊥β； 当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u，∴u∥v，即α∥β. 14．(5分)在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2，1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________． 答案　(－2,4,1)或(2，－4，－1) 解析　依题意，得＝(－1，－1,2)，＝(1,0,2)． 设n＝(x，y，z)， ∵n与平面ABC垂直， ∴即 可得 ∵|n|＝， ∴＝， 解得y＝4或y＝－4. 当y＝4时，x＝－2，z＝1； 当y＝－4时，x＝2，z＝－1. ∴n的坐标为(－2,4,1)或(2，－4，－1)． 15．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程x＝1在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在三维空间中，它表示一个平面．那么，过点P0(1,2,1)且法向量为u＝(－2,1,3)的平面的方程为(　　) A．x＋2y－z＋3＝0 B．2x－y－3z－3＝0 C．x＋2y＋z－3＝0 D．2x－y－3z＋3＝0 答案　D 解析　设P(x，y，z)是该平面内的任意一点，则＝(x－1，y－2，z－1)， 过点P0(1,2,1)且法向量为u＝(－2,1,3)的平面的方程为－2(x－1)＋(y－2)＋3(z－1)＝0， 整理得2x－y－3z＋3＝0. 16．(12分)已知A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)． (1)求平面ABC的一个法向量；(6分) (2)证明：向量a＝(3，－4,1)与平面ABC平行．(6分) (1)解　因为A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)， 所以＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)， 设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 则有 所以x＝y＝z，不妨令x＝1， 则n＝(1,1,1)， 所以平面ABC的一个法向量为n＝(1,1,1)(答案不唯一)． (2)证明　由(1)知a·n＝(3，－4,1)·(1,1,1)＝0，所以向量a＝(3，－4,1)与平面ABC平行． 学科网（北京）股份有限公司 $