第一章 1.2.1 第2课时 异面直线与空间向量（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦利用空间向量解决异面直线问题，系统梳理空间直线所成角与方向向量夹角的关系、异面直线的判定及公垂线段距离计算，通过问题导入、知识梳理、例题与跟踪训练搭建从概念到应用的学习支架。 资料通过几何法、基底法、坐标法多方法融合及问题驱动探究，培养学生数学思维的推理能力与转化思想，如例2用三种方法求解。课中助力教师灵活授课，课后练习题与解析帮助学生自主查漏补缺，提升空间观念与创新意识。

第2课时　异面直线与空间向量 [学习目标]　1.了解空间中两条直线所成的角与两直线方向向量所成的角的关系，会求空间中两条直线所成的角.2.了解空间中两条异面直线的公垂线段． 导语 同学们，生活中，我们经常听到换个角度思考问题，尤其是在解决数学问题时，对于相同的问题，因对角度的理解不同，会导致不同的结果，从而启发我们看问题要全面，透过现象看本质，只有从正确的角度出发，让视野开阔，才能得出我们想要的答案． 一、空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系 问题1　空间中两条直线所成的角与它们的方向向量的夹角一定相等吗？ 提示　不一定相等．若两条直线的方向向量的夹角〈v1，v2〉∈，则两条直线所成的角等于它们的方向向量的夹角，若〈v1，v2〉∈，则两条直线所成的角为π－〈v1，v2〉． 知识梳理 空间中两条直线所成的角 v1，v2分别为空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ. 如图，则①θ的范围为. ②θ＝〈v1，v2〉或θ＝π－〈v1，v2〉． ③sin θ＝sin〈v1，v2〉或cos θ＝|cos〈v1，v2〉|. ④l1⊥l2⇔〈v1，v2〉＝⇔v1·v2＝0. 例1　若异面直线l1，l2的方向向量分别是a＝(0，－2，－1)，b＝(2,0,4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　设l1与l2的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝＝＝. 反思感悟　一般地，设两直线所成的角为θ，两直线的方向向量分别为a，b，则有cos θ＝|cos〈a，b〉|＝.若求正弦值，则利用平方关系即可，sin θ＝. 跟踪训练1　若异面直线l1，l2的方向向量的夹角为120°，则异面直线l1与l2所成的角等于___________． 答案　60° 二、空间中两条直线所成的角 例2　如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，求EF和CD所成角的大小． 解　方法一　(基底法) 设正方体的棱长为1，取{，，}为空间向量的一组基底， 则＝－＝(＋)－(＋)＝－－， 所以·＝·＝－， ||＝＝，||＝1， 所以cos〈，〉＝＝－， 因为两直线夹角的范围是， 故EF与CD所成角的大小是. 方法二　(坐标法) 以D为原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz如图所示， 设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F， ＝，＝(0,1,0)， ∴cos〈，〉＝＝－， ∴〈，〉＝， ∴异面直线EF和CD所成角的大小是. 方法三　(几何法) 设正方体的棱长为1，连接A1D，DC1(图略)， 则F在线段A1D上且是线段A1D的中点， 又因为E为A1C1的中点， 故EF是△A1DC1的中位线， 故有EF∥DC1，则∠CDC1即为直线EF与直线CD所成的角， 在Rt△CDC1中，CD＝CC1＝1，DC1＝， 即Rt△CDC1为等腰直角三角形， 所以∠CDC1＝， 故直线EF与直线CD所成角的大小是. 反思感悟　(1)向量所成角与空间直线所成角的差异：向量所成角的范围是[0，π]，而空间直线所成角的范围是，故空间直线所成角的余弦值一定大于或等于0. (2)求空间直线所成角的三种方法 ①几何法：平移直线(两条或一条)到一个公共点，再通过解三角形求角． ②基底法：确定一组基底，用基底表示两直线的方向向量． ③坐标法：建立空间直角坐标系，用坐标表示两直线的方向向量． 跟踪训练2　长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝BB1＝2，E，F分别是侧面A1B1C1D1与侧面B1BCC1的中心，求异面直线AF与BE所成角的余弦值． 解　如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz， 则A(2,0,0)，B(2,4,0)， C1(0,4,2)，A1(2,0,2)， ∴E(1,2,2)，F(1,4,1)， ＝(－1,4,1)， ＝(－1，－2,2)， ∴||＝＝3，||＝＝3， ·＝1－8＋2＝－5， ∴cos〈，〉＝＝－. ∵异面直线所成角的范围是， 设AF与BE所成角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝. 即异面直线AF与BE所成角的余弦值为. 三、异面直线与空间向量 问题2　如果空间两直线没有交点，这两条直线一定平行吗？ 提示　不一定，根据直线的分类，我们把空间直线分为共面直线和异面直线，共面直线包括平行直线和相交直线，而异面直线说的是这两条直线不同在一个平面内． 知识梳理 异面直线与空间向量 1．异面直线的判定 如图(1)(2)所示，如果A∈l1，B∈l2，则l1与l2异面时，可知v1，v2，是不共面的；反之，如果v1，v2，不共面，则l1与l2是异面的．也就是说，此时，“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件． 2．异面直线间的距离 一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，则称MN为l1与l2的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离． 例3　在正三棱柱ABC－A1B1C1中，棱长都为2，试找出异面直线BA1与CB1的公垂线段，并求两条异面直线的距离． 解　如图，建立空间直角坐标系． B(0，，0)，C(－1,0,0)， A1(1,0,2)，B1(0，，2)． 假设MN为BA1与CB1的公垂线段， 即∃M∈BA1，N∈CB1，使MN⊥BA1，MN⊥CB1， 令＝λ，＝μ， ＝(1，－，2)，＝(1，，2)． 设M(x，y，z)，∴＝(x，y－，z)， ∴(x，y－，z)＝λ(1，－，2)， ∴x＝λ，y＝－λ＋，z＝2λ， 即点M(λ，－λ＋，2λ)， 同理可求得点N(μ－1，μ，2μ)， ∴＝(μ－λ－1，μ＋λ－，2μ－2λ)． 又MN⊥BA1，MN⊥CB1， ∴⊥，⊥， ∴ 解得∴＝， ∴||＝ ＝. 故在BA1与CB1上存在点M，N，当＝，＝时，MN为BA1与CB1的公垂线段且两条异面直线BA1与CB1之间的距离为. 反思感悟　两条异面直线的公垂线段有且仅有一条，当公垂线不便寻找时，利用几何知识很难找到．利用空间直角坐标系，转化成方向向量之间的关系较为简单．求解时要注意先建系，再设出M，N的坐标，利用MN与异面直线都垂直，就能找到M，N. 跟踪训练3　已知四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD为正方形，SD⊥平面ABCD，且SD＝AD＝1，求异面直线SB与AC间的距离． 解　以点D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)， 则A(1,0,0)，C(0,1,0)，S(0,0,1)，B(1,1,0)，＝(1,1，－1)，＝(－1,1,0)． 假设MN为SB与AC的公垂线段， 且M∈SB，N∈AC，则MN⊥SB，MN⊥AC. 令＝λ，＝μ， 设M(x，y，z)，∴＝(x，y，z－1)． ∴(x，y，z－1)＝λ(1,1，－1)， ∴x＝λ，y＝λ，z＝1－λ，即M(λ，λ，1－λ)． 同理可求得点N(1－μ，μ，0)． ∴＝(1－λ－μ，μ－λ，λ－1)． 又MN⊥SB，MN⊥AC， ∴⊥，⊥， ∴ 解得 ∴＝， ∴||＝＝， 即异面直线SB与AC之间的距离为. 1.知识清单： (1)空间中两条直线所成的角与方向向量所成的角的关系． (2)两条异面直线的公垂线段． 2．方法归纳：数形结合、转化与化归． 3．常见误区：两条直线所成的角与方向向量所成的角之间的关系易混淆． 1．已知A(0,1,1)，B(2，－1,0)，C(3,5,7)，D(1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为(　　) A. B．－ C. D．－ 答案　A 解析　∵＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)， ∴cos〈，〉＝＝＝， ∴直线AB，CD所成角的余弦值为. 2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)， 则＝， ＝， cos〈，〉＝＝0. ∴〈，〉＝. 3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO，AM的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 答案　C 解析　建立坐标系，如图所示， 设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，M(0,0,1)，O(1,1,0)，N(2，1,2)， ＝(－1,0，－2)，＝(－2，0,1)，·＝0， 则直线NO，AM的位置关系是异面垂直． 4．已知两条空间直线a，b的夹角为60°，a，b分别为直线a，b的方向向量，则〈a，b〉＝________. 答案　60°或120° 解析　由空间中两条直线所成的角与其方向向量的夹角的关系可知，〈a，b〉＝60°或120°. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2的夹角为(　　) A．30° B．150° C．30°或150° D．以上均不对 答案　A 解析　根据异面直线所成角的定义即知l1，l2所成角为30°. 2．(多选)若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b夹角的余弦值为，则λ等于(　　) A．2 B．－2 C. D．－ 答案　BC 解析　∵a·b＝2－λ＋4＝6－λ， |a|＝，|b|＝3， ∴cos〈a，b〉＝＝＝. 即55λ2＋108λ－4＝0，解得λ＝－2或λ＝. 3．在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AA1的中点，F为线段C1D1上靠近D1的三等分点，则异面直线A1B与EF所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，建立空间直角坐标系， 则A1(3,0,0)，B(3,3,3)， E，F(0,1,0)， 所以＝(0,3,3)，＝， 所以|cos〈，〉|＝ ＝＝. 所以异面直线A1B与EF所成角的余弦值为. 4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　如图所示，以C为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设CA＝CB＝CC1＝1，则B(0,1,0)，M，A(1,0,0)， N.故＝， ＝， 所以|cos〈，〉|＝＝＝. 所以BM与AN所成角的余弦值为. 5．在正四棱锥P－ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为，则异面直线DM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　不妨设正四棱锥底面边长为2，底面中心为O，连接PO，则PO⊥平面ABCD， 取BC的中点E，连接OE，PE，则OE⊥BC，PE⊥BC， 所以∠PEO为侧面PBC与底面ABCD所成的角， 即tan∠PEO＝，OE＝1，所以PO＝， 取底面正方形的中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1，1,0)，D(－1，－1,0)，P(0,0，)， 则M，N， 所以＝，＝. 设DM与AN所成的角为θ，则cos θ＝＝. 6．设动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线BD1上，记＝λ.当∠APC为锐角时，λ的取值范围是(　　) A. B. C. D．(0,1) 答案　B 解析　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，C(0,1,0)， B(1,1,0)，D1(0,0,1)， 由＝λ得P(λ，λ，1－λ)， 则＝(1－λ，－λ，λ－1)，＝(－λ，1－λ，λ－1)， 因为∠APC为锐角， 所以·＝(1－λ，－λ，λ－1)·(－λ，1－λ，λ－1)＝(λ－1)(3λ－1)>0，解得λ<或λ>1， 又因为动点P在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线BD1上， 所以λ的取值范围为0≤λ<. 7．(5分)已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角的大小为________． 答案　60° 解析　由题意，知，分别为直线a，b的方向向量，因为＝＋＋， 所以·＝·＋2＋·， 即2×1×cos〈，〉＝1， 所以cos〈，〉＝， 即〈，〉＝60°，得a与b所成的角的大小为60°. 8．(5分)在四面体ABCD中，AB，BC，BD两两互相垂直，且AB＝BC＝1，点E是AC的中点，设异面直线AD与BE所成的角为θ，且cos θ＝，则该四面体的体积为________． 答案　 解析　以B为原点，BC，BA，BD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设BD＝a(a>0)，则B(0,0,0)，A(0,1,0)，E，D(0,0，a)， ∴＝(0，－1，a)，＝， ∴cos θ＝ ＝＝， ∴a＝2(负值舍去)， ∴该四面体的体积为××1×1×2＝. 9．(10分)如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点． (1)求异面直线AO1与B1E所成角的余弦值；(5分) (2)作O1D⊥AC于点D，求O1D的长．(5分) 解　(1)如图，以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系． 由题设，知A(2,0,0)，O1(0,0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)， 所以＝(－2,0,2)，＝(－1,0，－2)， 因此cos〈，〉＝ ＝＝－. 故异面直线AO1与B1E所成角的余弦值为. (2)由题意得⊥，∥. 因为C(0,3,0)，设D(x，y,0)， 所以＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)， 于是解得 所以＝. 故O1D＝||＝＝. 10．(12分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M是线段DC1上的动点，试求点M到直线AD1距离的最小值． 解　如图，以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系． ∴A(a,0,0)，D1(0,0，a)， 设M(0，m，m)(0≤m≤a)， ∴＝(－a,0，a)， ＝(a，－m，－m)， ∵·＝－a2－am， ∴在上的投影的长度为 ＝ ＝(a＋m)， ∴点M到直线AD1的距离为 d＝ ＝ ＝. 根式内的二次函数当m＝－＝时取最小值2－a×＋a2＝a2， 故d的最小值为a. ∴点M到直线AD1距离的最小值为a. 11.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为(　　) A. B．－ C．－ D. 答案　A 解析　不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)， C(0,0,1)，S(0,0,0)， M，N. 因为＝，＝， 所以||＝，||＝，·＝－， cos〈，〉＝＝－， 所以异面直线SM与BN所成角的余弦值为. 12．已知四面体O－ABC的各棱长均为1，D是棱OA的中点，则异面直线BD与AC所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　＝－＝－， ＝－， ∴||＝，||＝1， 且·＝·(－)＝－， ∴cos〈，〉＝＝＝－， 故异面直线BD与AC所成角的余弦值为. 13.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则(　　) A．EF至多与A1D，AC之一垂直 B．EF⊥A1D，EF⊥AC C．EF与BD1相交 D．EF与BD1异面 答案　B 解析　如图，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为3， 则E(1,0,1)，F(2,1,0)，A1(3,0,3)，A(3,0,0)，C(0,3,0)，D(0，0,0)，B(3,3,0)，D1(0,0,3)， ∴＝(1,1，－1)，＝(－3,3,0)， ＝(－3,0，－3)， ∴·＝0，·＝0， ∴EF⊥AC，EF⊥A1D. ＝(－3，－3,3)，∴＝－3，∴BD1∥EF. 14．(5分)如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，且SA＝AB＝BC＝1，则异面直线SB与AC之间的距离为________． 答案　 解析　构造如图所示的正方体，取AB的中点O，连接OD交AC于点E，连接OM交SB于点F， 由平面几何知识可知， OF＝OM，OE＝OD， 所以EF∥DM. 又因为AC⊥BD，AC⊥BM， 所以AC⊥平面BDM，AC⊥DM， 因为EF∥DM，所以AC⊥EF. 同理可证SB⊥DM，所以SB⊥EF， 所以EF是异面直线AC和SB的公垂线段， 所以EF＝DM＝. 15．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上(包括A1，C两端点)，E，F分别为DD1，AD的中点．若异面直线EF与BM所成的角为θ，则θ的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　以D为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)， 设DA＝2，则F(1,0,0)，E(0,0,1)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)， 所以＝(1,0，－1)，＝(－2,0,0)，＝(2，－2，2)． 设＝λ (0≤λ≤1)， 则＝(2λ，－2λ，2λ)，＝＋＝(2λ－2，－2λ，2λ)， 则cos θ＝|cos〈，〉|， 即cos θ＝＝ ＝(0≤λ≤1)， 当λ＝时，cos θ取到最大值， 当λ＝1时，cos θ取到最小值， 又θ∈，所以θ的取值范围为. 16．(12分)如图所示，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D，E分别是OA，BC的中点，连接DE. (1)求证：DE是异面直线OA与BC的公垂线段；(6分) (2)求异面直线OA与BC间的距离．(6分) (1)证明　∵E为BC的中点， ∴＝(＋)，由题意知DB⊥OA， 得·＝0.同理可得·＝0. ∴·＝(＋)· ＝·＋·＝0， ∴⊥，即DE⊥OA.同理可证DE⊥BC. ∴DE是异面直线OA与BC的公垂线段． (2)解　∵＝－＝＋－， ∴||2＝2 ＝(2＋2＋2＋2·－2·－2·) ＝×(12＋12＋12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°)＝， ∴||＝，即异面直线OA与BC间的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $