第一章 1.1.3 第3课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间直角坐标系及空间向量坐标的应用，从平面向量类比引入空间直角坐标系建立，系统梳理点的坐标确定、对称问题，到空间向量坐标运算（距离、中点、夹角），构建从基础到应用的学习支架。 资料以问题驱动结合实例教学，通过正方体、正四棱锥等模型培养空间观念与推理能力，例题解析助教师授课，练习题供学生巩固，提升用数学语言表达几何问题的能力，落实数学眼光与思维素养。

第3课时　空间直角坐标系及空间向量坐标的应用 [学习目标]　1.了解空间直角坐标系.2.会求空间中的点的坐标，两点间的距离以及两点的中点坐标.3.掌握空间向量坐标的简单应用． 导语 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算．类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题． 一、空间直角坐标系 问题1　我们画空间几何图形用的什么方法？ 提示　斜二测画法，它是空间几何直观图的画法基础．它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现． 知识梳理 1．空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系xOy.然后过O作一条与xOy平面垂直的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系，记作Oxyz. (1)x轴、y轴、z轴是两两互相垂直的，都称为坐标轴． (2)通过每两个坐标轴的平面都称为坐标平面，分别记为xOy平面，yOz平面，zOx平面． (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴)垂直．如图(1)(2)所示． 2．在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的坐标分量，且x称为点M的横坐标(或x坐标)，y称为点M的纵坐标(或y坐标)，z称为点M的竖坐标(或z坐标)． 3．卦限及各卦限内的符号：在空间直角坐标系中，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，各卦限的点(x，y，z)的坐标符号为：第Ⅰ卦限(＋，＋，＋)，第Ⅱ卦限(－，＋，＋)，第Ⅲ卦限(－，－，＋)，第Ⅳ卦限(＋，－，＋)，第Ⅴ卦限(＋，＋，－)，第Ⅵ卦限(－，＋，－)，第Ⅶ卦限(－，－，－)，第Ⅷ卦限(＋，－，－)． 注意点：(1)基向量：|e1|＝|e2|＝|e3|＝1，e1·e2＝e1·e3＝e2·e3＝0. (2)建系的条件：特殊图形以及有垂直关系的条件可考虑建系． (3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性． (4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果． 例1　如图所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标． 解　因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD， 所以OE⊥平面ABC. 又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以OE⊥AF，OE⊥BC， 又BC是圆O的直径，所以OB＝OC， 又AB＝AC＝6， 所以OA⊥BC，BC＝6， 所以OA＝OB＝OC＝OF＝3. 如图所示，以O为坐标原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，所以A(0，－3，0)，B(3，0,0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，8)，E(0,0,8)，F(0，3，0)．(答案不唯一) 反思感悟　确定点的坐标的常用方法 (1)垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线．注意坐标符号． (2)公式法：利用中点坐标公式、重心坐标公式求出坐标． (3)方程(组)法：利用向量平行或共线相等关系，设出所求点坐标，建立方程组． 跟踪训练1　如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点．已知AB＝2，VO＝3，建立如图所示的空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标． 解　∵点V在z轴上，且OV＝3， ∴点V的坐标为(0,0,3)． 同理得A(－1，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,1,0)，D(－1，1,0)． 二、空间点的对称问题 例2　在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4)． (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标． 解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的分量不变，在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P1(－2，－1，－4)． (2)由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的分量不变，在z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P2(－2,1，－4)． (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12)． 反思感悟　空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论． 跟踪训练2　已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． 答案　(2，－3,1) 解析　点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)． 三、空间向量的坐标 问题2　在平面直角坐标系下，O为坐标原点，的坐标和P点的坐标是否相同？ 提示　相同；若O(0,0)，P(x，y)，则＝(x，y)，也就是说有向线段的向量坐标表示为终点坐标减去起点坐标． 知识梳理 1．空间直角坐标系下向量坐标 在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为单位正交基底，且向量的坐标与P点的坐标相同．即＝xe1＋ye2＋ze3＝(x，y，z)⇔P(x，y，z)． 2．空间向量坐标的计算及应用 在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则(1)＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)． (2)||＝. (3)线段AB中点M的坐标为. 注意点：在空间直角坐标系中，有向线段表示的向量坐标为终点坐标减去起点坐标．特别地，当始点为坐标原点时，其坐标与终点坐标相同． 例3　如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标． (1)，，； (2)，，. 解　方法一　(1)＝＋＝＋＝＋＝， ＝＋＝＋＝， ＝＋＋＝＋＋＝. (2)＝－＝－＝＋＝， ＝－＝－ ＝－－＝， ＝－＝＋－ ＝－＝. 方法二　(1)以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴建立空间直角坐标系Axyz， ∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A′(0,0,1)，B′(1,0,1)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)， 由中点坐标公式得E，F，G. ∴＝，＝，＝， (2)＝－＝， ＝－＝， ＝－＝. 延伸探究 本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标． 解　以点D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)， ∵A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A′(1,0,1)，B′(1,1,1)，C′(0,1,1)，D′(0,0,1)， ∴E，F，G， ∴＝， ＝， ＝. 反思感悟　用坐标表示空间向量的步骤 跟踪训练3　设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标． 解　如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上． ∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上， ∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0)． 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称， ∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0)． 又|SP1|＝2，|OP1|＝， ∴在Rt△SOP1中，|SO|＝， ∴S(0,0，)． ∴＝－＝(1,1，－)， ＝－＝(0，－2,0)． (答案不唯一) 四、利用坐标研究几何问题 例4　棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点． (1)求证：⊥； (2)求与夹角的余弦值； (3)求CE的长． (1)证明　建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F，G. 所以＝，＝， ＝，＝. 因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥. (2)解　因为·＝×1＋×0＋×＝， ||＝ ＝， ||＝ ＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. (3)解　CE＝||＝ ＝. 反思感悟　通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内，以便写点的坐标时便捷．建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题． 跟踪训练4　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 解　如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)， 因为3＝， 所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a， 解得a＝， 所以点P的坐标为. 由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)， 因为·＝0， 所以·＝0， 即－－＝0， 解得b＝， 所以点Q的坐标为. 因为＝λ， 所以(－1，－1,0)＝λ， 所以＝－1， 故λ＝－4. 1.知识清单： (1)空间直角坐标系． (2)空间点的对称问题与空间向量的坐标． (3)空间向量坐标的应用． 2．方法归纳：数形结合、类比． 3．常见误区：x，y，z轴的选择不是随意的，应符合正确的建系要求． 1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1,2,1)，B(1,3,4)，则(　　) A.＝(－1,2,1) B.＝(1,3,4) C.＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3) 答案　C 解析　＝－＝(2,1,3)． 2．在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是(　　) A．(－1,3，－5) B．(1,3,5) C．(1，－3,5) D．(－1，－3,5) 答案　B 3．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若＝，则C的坐标是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　∵＝(－3,7，－5)， ∴＝(－3,7，－5)＝， ∴C. 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为________． 答案　 解析　以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(1,1，)，F， 所以||＝＝. 　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为(　　) A．(－1，－2，－4) B．(－1，－2,4) C．(1,2，－4) D．(1,2,4) 答案　A 解析　关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4)． 2．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则与的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　设与的夹角为θ. 由题意，得＝(－1,1,0)，＝(0,3,3)， ∴cos θ＝＝＝， 又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 3．已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且＝2a，则点B的坐标为(　　) A．(－7,10,24) B．(7，－10，－24) C．(－6,8,24) D．(－5,6,24) 答案　D 解析　∵a＝(－3,4,12)，＝2a， ∴＝(－6,8,24)． 设B(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z)， ∴解得 即点B的坐标为(－5,6,24)． 4．在空间直角坐标系中，O为坐标原点，向量＝(x2＋4,4－y,1＋2z)，＝(－4x,9,7－z)且A，B两点关于y轴对称，则x，y，z的值依次是(　　) A．1，－4,9 B．2，－5，－8 C．2,5,8 D．－2，－5,8 答案　B 解析　由A，B两点关于y轴对称， 得 解得x＝2，y＝－5，z＝－8. 5．(多选)已知点A(－1,2,0)，B(－3,4,2)，点P在直线AB上，且||＝||，则点P的坐标为(　　) A．(－2,3,1) B．(2，－3，－1) C．(0，－1,1) D．(0,1，－1) 答案　AD 解析　设P(x，y，z)， ∵＝(x＋1，y－2，z)，＝(－2,2,2)， ∵||＝||， ∴＝或＝－. 当＝时，(x＋1，y－2，z)＝(－2,2,2)， ∴ 解得 ∴点P(－2,3,1)； 当＝－时， (x＋1，y－2，z)＝－(－2,2,2)， ∴解得 ∴点P(0,1，－1)． 6．(多选)在△ABC中，点A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(2，－3,1)，若△ABC为直角三角形，则k的值为(　　) A. B. C．－1 D．－ 答案　BD 解析　＝(－3，－1,3k)，＝(1，－5,1＋3k)， ＝(4，－4,1)． 若A＝90°，则·＝0， 则－3＋5＋3k(1＋3k)＝0， 即9k2＋3k＋2＝0，方程无解； 若B＝90°，则·＝0， 则－12＋4＋3k＝0，解得k＝； 若C＝90°，则·＝0， 则4＋20＋1＋3k＝0，解得k＝－. 7．(5分)若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝________. 答案　0 解析　因为＝(m－1,1，m－2n－3)， ＝(2，－2,6)， 由题意得∥，所以＝＝， 所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. 8．(5分)如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________． 答案　 解析　由题意知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)． 由重心坐标公式得点G的坐标为. 9．(10分)已知点A(0,1,2)，B(1，－1,3)，C(1,5，－1)． (1)若D为线段BC的中点，求线段AD的长；(4分) (2)若＝(2，a,1)，且·＝1，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值．(6分) 解　(1)由题意得，D(1,2,1)，∴＝(1,1，－1)，||＝＝，即线段AD的长为. (2)易知＝(1，－2,1)， ∴·＝2－2a＋1＝1，解得a＝1， ∴＝(2,1,1)． ∴cos〈，〉＝＝＝， 即向量与夹角的余弦值为. 10．(10分)已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系． (1)求三棱柱的侧棱长；(3分) (2)若M为BC1的中点，试用基底{，，}表示向量；(3分) (3)求与夹角的余弦值．(4分) 解　(1)设侧棱长为b，则A(0，－1,0)，B1(，0，b)， B(，0,0)，C1(0,1，b)， 所以＝(，1，b)，＝(－，1，b)． 因为AB1⊥BC1， 所以·＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0，解得b＝. (2)因为M为BC1的中点， 所以＝(＋)＝(＋＋)． (3)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1,0)， 因为||＝＝， ||＝＝2， ·＝(，1，)·(－，1,0) ＝－()2＋1×1＝－2， 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以与夹角的余弦值为－. 11．已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵点Q在直线OP上运动， ∴存在实数λ使得＝λ＝(λ，λ，2λ)， ∴＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－， 当且仅当λ＝时，·取得最小值， 此时Q. 12．已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，若＋λ与(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为(　　) A. B．－ C．± D．± 答案　B 解析　＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1,1)， cos 120°＝＝＝－， 可得λ<0，解得λ＝－. 13.如图，在边长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝3，点P在底面正方形ABCD上移动(包含边界)，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为(　　) A. B. C．3 D. 答案　B 解析　依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，E(1,3,0)，B1(3,3,3)， 设P(x，y,0)(x，y∈[0,3])，所以＝(x－3，y－3，－3)，＝(1,3，－3)，即·＝x＋3y－3＝0⇒x＝3－3y， 所以0≤3－3y≤3⇒y∈[0,1]， 而||＝ ＝， 由二次函数的单调性可知t＝10y2－6y＋18＝102＋18－， 当y＝1时，tmax＝22，则||max＝. 14．(5分)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为________． 答案　(－1,1,2) 解析　设点D(x，y，z)， 则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)， ＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)， 因为DB∥AC，DC∥AB， 所以∥，∥， 则 解得 所以D(－1,1,2)． 15．已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为(　　) A．4 B．1 C．10 D．11 答案　D 解析　＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)， ＝(x－4，－2,0)， 因为A，B，C，D共面，所以，，共面， 所以存在λ，v，使＝λ＋v， 即(x－4，－2,0)＝(－2λ－v,2λ＋6v，－2λ－8v)， 所以 解得 16．(13分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点． 求证：(1)AM∥平面BDE；(6分) (2)AM⊥平面BDF.(7分) 证明　(1)∵平面ABCD⊥平面ACEF， 平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC， ∴EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC， 如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 则点N，E的坐标分别为，(0,0,1)． ∴＝. 又点A，M的坐标分别是，， ∴＝. ∴＝. 又NE与AM不共线，∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE. (2)由(1)知＝. ∵D(，0,0)，F(，，1)， ∴＝(0，，1)，∴·＝0， ∴⊥. 同理，⊥. 又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF， ∴AM⊥平面BDF. 学科网（北京）股份有限公司 $