第一章 1.1.3 第2课时 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间向量平行与垂直的坐标表示核心知识点，通过类比平面向量平行与垂直的坐标关系，系统梳理空间向量平行（b=λa及坐标比例关系）、垂直（数量积为零及坐标乘积和为零）的表示方法，辅以知识梳理、例题解析及跟踪训练，搭建从二维到三维的认知支架。 以生活实例（如斑马线、电线杆）引入培养数学眼光，通过问题链引导平面到空间的推理发展数学思维，知识清单与分层练习结合助力用坐标语言表达空间关系。课中辅助教师引导学生迁移，课后练习题帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

第2课时　空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直 [学习目标]　1.能利用坐标表示空间向量的平行与垂直关系.2.能根据空间向量的平行与垂直关系解决简单的问题． 导语 同学们，生活中有非常多的平行与垂直的关系，比如十字路口的斑马线、马路上的两根电线杆、教室里的灯管，阳光下你和你的影子，任何直棱柱与上、下底面的棱之间的关系等等，而我们今天要研究的是在用平面向量解决平行与垂直的基础上，继续采用类比的方法来研究空间向量的平行与垂直关系． 一、空间向量平行的坐标表示 问题1　已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a∥b，你还记得如何用坐标表示它们的平行关系吗？ 提示　a∥b⇔b＝λa⇔当x1，y1都不为0时，有＝＝λ，即x1y2－x2y1＝0，而此时x1，y1，x2，y2可以是任意实数． 知识梳理 空间向量的平行 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0)． 平行：a∥b⇔b＝λa⇔ 当a的每一个坐标分量都不为零时， a∥b⇔＝＝. 注意点：(1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中当a＝0，时b，c不一定平行． (2)若两个向量平行，其中一个向量的坐标分量为0时，则相应的另一个向量的坐标分量也一定为0. 例1　已知a＝(2x,1,0)，b＝(－2,3,1－z)，若a与b为共线向量，则x＝________，z＝________. 答案　－　1 解析　∵a＝(2x,1,0)与b＝(－2,3,1－z)共线， ∴解得 反思感悟　空间向量的平行常见题型：平行的判断；利用平行求参数或解其他问题． 解空间向量平行应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以λ为变量表示坐标，以达到简化运算的目的． 跟踪训练1　(多选)下列每组中的两个向量满足平行的是(　　) A．(5,0,5)，(0,5,0) B．(0,0,1)，(0,0,3) C．(2,3，－1)，(2,3,1) D．(1，－1,2)，(－2,2，－4) 答案　BD 解析　逐个检验每组中是否满足b＝λa即可． 二、空间向量垂直的坐标表示 问题2　已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a⊥b，你还记得如何用坐标表示它们的垂直关系吗？ 提示　a⊥b⇔〈a，b〉＝90°⇔cos 90°＝＝0⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 知识梳理 空间向量的垂直 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0)． 垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＋z1z2＝0. 例2　在空间直角坐标系中，若有△ABC，其中＝(1，a＋1，－a)，＝(0，a＋1，－2－a)，＝(－1,0，－2)，并且满足(－2)⊥，则实数a的值为________． 答案　－ 解析　由题意知＝(1，a＋1，－a)， ＝(0，a＋1，－2－a)，＝(－1,0，－2)， 则－2＝(1，－a－1，a＋4)， 所以(－2)·＝－1－2(a＋4)＝0， 解得a＝－. 反思感悟　空间向量的垂直常见题型：垂直的判断；利用垂直求参数或解其他问题． 解空间向量垂直应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达到简化运算的目的． 跟踪训练2　已知向量a＝(3,1，－2)，b＝(1,0,3)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k＝________. 答案　 解析　因为向量a＝(3,1，－2)，b＝(1,0,3)，c＝a＋kb，a⊥c，所以a·(a＋kb)＝|a|2＋ka·b＝32＋12＋(－2)2＋k·[3×1＋1×0＋(－2)×3]＝14－3k＝0，解得k＝. 三、空间向量平行、垂直的坐标表示的综合问题 例3　已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)． (1)若|c|＝3，且c∥(a－b)，求c； (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. 解　(1)a－b＝(2,1，－2)． ∵c∥(a－b)， 设c＝λ(a－b)， 即c＝λ(2,1，－2)＝(2λ，λ，－2λ)， ∴|c|＝＝3|λ|＝3，∴λ＝±1， ∴c＝(2,1，－2)或c＝(－2，－1,2)． (2)∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－，故所求k的值为2或－. 反思感悟　平行与垂直的应用 (1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程． (2)选择坐标形式，以λ为变量表示坐标，以达到简化运算的目的． 跟踪训练3　已知a＝(1，－2,4)，b＝(2,1，－3)，c＝(2，x，y)． (1)若a∥c，求x，y的值； (2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐标，如果不存在，说明理由． 解　(1)因为a＝(1，－2,4)的每一个坐标分量均不为零，a∥c，设c＝λa， 所以(2，x，y)＝λ(1，－2,4)， 即解得 (2)因为c⊥a且c⊥b，所以 解得解得 即存在x＝11，y＝5，使得c⊥a且c⊥b，此时c＝(2,11,5)． 1.知识清单： (1)空间向量平行的坐标表示． (2)空间向量垂直的坐标表示． 2．方法归纳：公式法． 3．常见误区：当两向量共线时，两向量的坐标比例相同的前提是坐标分量均不为0. 1．与向量m＝(0,1，－2)共线的向量坐标是(　　) A．(2,0，－4) B．(3,6，－12) C．(1,1，－2) D. 答案　D 解析　∵＝m， ∴与m共线的向量是. 2．已知向量a＝(1,2，－1)，则下列向量与a垂直的是(　　) A．(0,0,1) B．(－2,1,0) C．(1,1,2) D．(4，－1,1) 答案　B 解析　(1,2，－1)·(0,0,1)＝－1≠0， (1,2，－1)·(－2,1,0)＝－2＋2＋0＝0， (1,2，－1)·(1,1,2)＝1＋2－2＝1≠0， (1,2，－1)·(4，－1,1)＝4－2－1＝1≠0， 只有B满足与a垂直． 3．向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为(　　) A．－3 B．1 C．3或1 D．－3或1 答案　D 解析　因为a·b＝2x＋4y＋4＝0， 又|a|＝＝＝6， 所以联立 解得或 所以x＋y＝1或x＋y＝－3. 4．已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，且a∥b，则λ＋μ＝________. 答案　 解析　∵a∥b，∴a＝tb， ∴解得 ∴λ＋μ＝＋＝. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　) A．(1,1,1) B．(－2，－3,5) C．(2，－3,5) D．(－4,6，－2) 答案　D 解析　设b＝(－4,6，－2)，又a＝(2，－3,1)， 所以b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b. 2．已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是(　　) A.a＝b B．a1·b1＝a2·b2＝a3·b3 C．a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 D．存在非零实数k，使a＝kb 答案　D 解析　根据空间向量平行的充要条件，易知选D. 3．已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x，2)，若(a＋b)⊥c，则x等于(　　) A．4 B．－4 C. D．－6 答案　B 解析　由已知，得a＋b＝(－2,1,3＋x)． 又(a＋b)⊥c，所以－2－x＋2(3＋x)＝0， 解得x＝－4. 4．已知向量a＝(－1,1,0)，b＝(1,0,2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k等于(　　) A．－ B. C. D．－ 答案　D 解析　ka＋b＝(－k＋1，k,2)，a－2b＝(－3,1，－4)，则＝＝，解得k＝－. 5．已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是(　　) A．a∥b，a∥c B．a∥b，a⊥c C．a⊥b，a∥c D．a⊥b，a⊥c 答案　C 解析　因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a， 所以a∥c. 又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0， 所以a⊥b. 6．(多选)同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是(　　) A. B. C. D. 答案　AC 解析　设同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量为e＝(x，y，z)， 则即 解得或 故e＝或e＝. 7．(5分)设向量a＝(2,2m－3，n＋2)，b＝(4,2m＋1,3n－2)，且a∥b，则a·b的值为________． 答案　168 解析　因为a∥b，不妨设a＝λb， 又因为a＝(2,2m－3，n＋2)， b＝(4,2m＋1，3n－2)， 所以(2,2m－3，n＋2)＝λ(4,2m＋1,3n－2)， 所以解得 所以a＝(2,4,8)，b＝(4,8,16)， 所以a·b＝2×4＋4×8＋8×16＝168. 8．(5分)已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是________． 答案　90° 解析　因为a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)， a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)， 所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以〈a＋b，a－b〉＝90°. 9．(10分)已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值；(5分) (2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，求实数λ的值．(5分) 解　(1)λa＋b＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)， a－3b＝(7，－4，－16)， 当(λa＋b)∥(a－3b)时，存在实数t使得(λa＋b)＝t(a－3b)， 所以解得λ＝－. (2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，(λa＋b)·(a－3b)＝0， 所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0， 解得λ＝. 10．(10分)已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.求向量a，b，c及向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值． 解　因为a∥b，所以＝＝，且y≠0， 解得x＝2，y＝－4， 此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)． 又由b⊥c得b·c＝0， 故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2，此时c＝(3，－2,2)． a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)， 因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为 cos θ＝＝＝－. 11．已知a＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b＝，且a⊥b，则θ为(　　) A．－ B. C．2kπ－(k∈Z) D．kπ－(k∈Z) 答案　D 解析　因为a⊥b， a＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b＝， 所以sin θcos θ＋cos θsin θ＋1＝0， 即sin 2θ＝－1，所以2θ＝－＋2kπ，k∈Z， 即θ＝－＋kπ，k∈Z. 12．(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2,1,4)，＝(1，－2,1)，＝(4,2,0)，则(　　) A．PA⊥AB B．AP⊥BP C．BC＝ D．AP∥BC 答案　AC 解析　因为·＝0，故A正确；＝(3，－3，－3)，·＝3＋6－3＝6≠0，故B不正确；＝(6,1，－4)，||＝＝，故C正确；＝(1，－2,1)，＝(6,1，－4)，各个对应分量的比例不同，故D不正确． 13．(5分)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为________． 答案　4 解析　由题意知a∥b， 所以＝＝， 即 解得或 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a， 向量a，b反向，不符合题意，所以舍去． 当时，b＝(1,2,3)＝a， a与b同向，此时x＋y＝4. 14．(5分)已知向量a＝(1，x2，－1)，b＝(y2－1,2,1)，若向量a⊥b，则xy的最大值为________． 答案　 解析　由题意，知1×(y2－1)＋2x2－1×1＝0， 即2＝2x2＋y2. 又2x2＋y2≥2xy(当且仅当y＝x时等号成立)， 所以2xy≤2， 所以xy≤，即xy的最大值为. 15．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x＋y＋z＝________. 答案　 解析　因为⊥，所以·＝3＋5－2z＝0，所以z＝4，所以＝(3,1,4)，又因为BP⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以BP⊥AB，BP⊥BC， 所以 解得 因此x＋y＋z＝. 16．(13分)已知a＝(1,2,3)，b＝(2,1,2)，c＝(1,1,2)，且向量p∥c，求(p－a)·(p－b)的最小值，并求此时向量p的坐标． 解　因为向量p∥c，所以设p＝λc， 则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2,2λ－3)， p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1,2λ－2)， 所以(p－a)·(p－b)＝(λ－1，λ－2,2λ－3)·(λ－2，λ－1,2λ－2)＝2(3λ2－8λ＋5)＝62－. 当λ＝时，(p－a)·(p－b)取得最小值，最小值为－，此时p＝c＝. 学科网（北京）股份有限公司 $