第一章 1.1.3 第1课时 空间向量的坐标与运算（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间向量的坐标表示及运算这一核心知识点，通过类比平面向量坐标知识，系统梳理空间单位正交基底、向量坐标定义及线性运算、数量积、模、夹角的坐标公式，构建从平面到空间的知识迁移支架。 以“抢修队员拉巨石”实际情境引入，引导学生用数学眼光观察现实问题，通过问题链驱动类比推理，培养数学思维，例题与跟踪训练结合规范数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后可帮助学生巩固知识、查漏补缺。

1.1.3　空间向量的坐标与空间直角坐标系 第1课时　空间向量的坐标与运算 [学习目标]　1.了解空间中向量的坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角． 导语 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝2 000 N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示． 一、空间中向量的坐标 问题1　平面中{e1，e2}是向量p的单位正交基底，你能用{e1，e2}表示向量p吗？ 提示　p＝xe1＋ye2；其中有序数组(x，y)是向量p的坐标．实际上，对于平面中任意不共线的向量{a，b}，若p＝xa＋yb，则有序数组(x，y)是基底{a，b}下的坐标． 知识梳理 空间中向量的坐标 (1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，而且这三个向量两两垂直，就称这组基底为单位正交基底． (2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的单位正交分解． (3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝(x，y，z)，其中x，y，z都称为p的坐标分量． 注意点：(1)零向量的坐标为(0,0,0)． (2)书写向量坐标等号莫漏掉． (3)书写点的坐标等号不能要． 例1　已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，试写出a与b的坐标． 解　a＝(3,2，－1)；b＝(－1,0,3)． 反思感悟　在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z)． 跟踪训练1　已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是(　　) A．若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2,1,3) B．若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1,2) C．若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1,3，－1) D．若s＝－3e2，则s＝(0,0，－3) 答案　C 解析　A中，p＝(2，－1,3)；B中，q＝(－1,2,0)；C中，r＝(1,3，－1)；D中，s＝(0，－3,0)． 二、空间向量的运算与坐标的关系 问题2　在平面中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你还记得这两个向量的加法、减法、数乘等一系列的运算吗？ 提示　a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|＝等． 知识梳理 空间向量的坐标运算 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 加法 a＋b (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 线性运算 μa＋vb (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 数量积 a·b x1x2＋y1y2＋z1z2 模 |a|＝ 夹角 cos〈a，b〉＝ 例2　(1)向量a＝(2,0,5)，b＝(3,1，－2)，c＝(－1,4,0)，则a＋6b－8c＝________. 答案　(28，－26，－7) 解析　a＋6b－8c ＝(2,0,5)＋6(3,1，－2)－8(－1,4,0) ＝(2,0,5)＋(18,6，－12)－(－8,32,0) ＝(28，－26，－7)． (2)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b·(a＋b)等于(　　) A．36 B．26 C．46 D．30 答案　A 解析　依题意，得b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)，则a＋b＝(3，－6,3)，所以b·(a＋b)＝(2，－4,2)·(3，－6，3)＝6＋24＋6＝36. 反思感悟　空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程组求其坐标． 跟踪训练2　已知a＋b＝(－2,5,4)，a－b＝(4，－1，2)，则a＝________，b＝________. 答案　(1,2,3)　(－3,3,1) 解析　a＝ ＝ ＝(2,4,6)＝(1,2,3)． b＝＝ ＝(－6,6,2)＝(－3,3,1)． 三、空间向量坐标运算的综合应用 例3　已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2)． 求：(1)|a＋b－2c|； (2)cos〈a－b，b－c〉． 解　(1)a＋b－2c＝(2，－3,1)＋(2,0,3)－2(0,2,2) ＝(2，－3,1)＋(2,0,3)－(0,4,4)＝(4，－7,0)． ∴|a＋b－2c|＝＝. (2)a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2,1)， ∴|a－b|＝，|b－c|＝＝3， (a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4. ∴cos〈a－b，b－c〉＝ ＝＝. 反思感悟　空间向量的数量积、模、夹角公式的坐标表示a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)． (1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. (2)|a|＝＝. (3)cos〈a，b〉＝＝. 跟踪训练3　(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝________. 答案　2 解析　由题意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)， 由(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. (2)已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________. 答案　－ 解析　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝， ∴cos〈a，b〉＝＝－， ∴k<0，且＝， 解得k2＝39，∴k＝－(正值舍去)． 1.知识清单： (1)空间中向量的坐标． (2)空间向量的坐标运算． 2．方法归纳：公式法． 3．常见误区： (1)正确运用坐标表示空间的向量以及向量的运算． (2)向量坐标与点的坐标书写时的规范性． 1．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于(　　) A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) 答案　D 解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)． 2．已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为(　　) A．0 B. C. D．π 答案　C 解析　∵cos〈a，b〉＝＝＝0， 〈a，b〉∈[0，π]．∴〈a，b〉＝. 3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝，且λ>0，则λ等于(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 答案　C 解析　λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3. 4．设＝(cos α＋sin α，0，－sin α)，＝(0，cos α，0)，则||的最大值为________． 答案　 解析　∵＝＋＝(cos α＋sin α，cos α，－sin α)， ∴||2＝(cos α＋sin α)2＋cos2α＋(－sin α)2 ＝2＋sin 2α≤3， ∴||的最大值为. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1．已知{i，j，k}是单位正交基底，且＝－i＋j－k，则的坐标为(　　) A．(－1,1，－1) B．(－1,1,1) C．(1，－1，－1) D．(1，－1,1) 答案　A 解析　根据空间向量坐标的定义， 知＝(－1,1，－1)． 2．已知向量a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，则|a＋b|等于(　　) A. B．3 C. D．9 答案　C 解析　由题意可得，a＋b＝(3,5,1)， 故|a＋b|＝＝. 3．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案　C 解析　因为a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)， 所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5. 4．已知a＝(x,3,1)，b＝(2，y,4)，若a＝zb且c＝(x，y，z)，则c等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意可得(x,3,1)＝z(2，y,4)， 即解得x＝，y＝12，z＝， 所以c＝. 5．已知向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c的坐标为(　　) A．(5，－1,4) B．(5,1，－4) C．(－5,1,4) D．(－5，－1,4) 答案　A 解析　向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c＝(3,5，－1)－(2,2,3)＋4(1，－1,2)＝(5，－1,4)． 6．(多选)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一组基底，则实数λ的值可为(　　) A．0 B. C．9 D. 答案　ABC 解析　∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)， 假设a，b，c三个向量不能构成空间的一组基底， 则a，b，c三个向量共面， 又a与b不平行， ∴存在实数x，y，使得c＝xa＋yb， 即解得λ＝， ∴当λ＝时，a，b，c三向量共面，当λ≠时，a，b，c三向量不共面．即能作为一组基底． 7．(5分)已知空间向量a＝(1,0,1)，b＝(1,1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为________． 答案　 解析　∵a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝＝，b＝(1,1,2)，∴cos〈a，b〉＝＝＝，且〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为. 8．(5分)已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，c＝(x，－1,2)，若a，b，c是共面向量，则x＝________. 答案　－2 解析　由于a，b不共线，且和c共面，根据共面向量定理，有c＝ma＋nb，即(x，－1,2)＝(m－n，m,2n)，即解得 9．(10分)已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组单位正交基底，试求a·b及a，b之间夹角的余弦值． 解　由题意知a＝(4,3，－1)，b＝(5，－4,2)， 所以a·b＝(4,3，－1)·(5，－4,2)＝4×5＋3×(－4)＋(－1)×2＝6. 因为|a|＝＝， |b|＝＝＝3， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 所以a·b＝6，a与b夹角的余弦值为. 10．(12分)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求： (1)a＋b；(2分)(2)a－b；(2分)(3)a·b；(2分) (4)2a·(－b)；(3分)(5)(a＋b)·(a－b)．(3分) 解　(1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2)． (2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6)． (3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)因为2a＝(4，－2，－4)，所以2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14. (5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8. 11．已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为(　　) A. B. C．4 D．8 答案　B 解析　∵|a|＝＝3， |b|＝＝3， ∴cos〈a，b〉＝＝＝， ∴sin〈a，b〉＝， ∴以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝. 12．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为(　　) A. B. C. D．1 答案　B 解析　由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0)． 所以|b－a|＝ ＝＝. 所以当t＝时，|b－a|的最小值为. 13．已知向量a＝(1,0，－1)，b＝(0,1,1)，则a在b上的投影为(　　) A. B. C．(0，－1，－1) D. 答案　A 解析　根据题意a在b上的投影为·＝×＝. 14．(5分)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，则a与c的夹角为________________________________________________________________________． 答案　120° 解析　a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a， 故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7， 而|a|＝＝， 所以cos〈a，c〉＝＝－，且〈a，c〉∈[0,180°]，所以〈a，c〉＝120°. 15．已知向量a，b，c是空间的一组单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一组基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(1,3,4)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(　　) A．(2,1,4) B．(2，－1,4) C．(－2，－1,4) D．(－2,1,4) 答案　B 解析　不妨设a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,0,1)． p＝a＋3b＋4c. 设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc ＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc. 所以解得 所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(2，－1,4)． 16．(12分)已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围． 解　∵〈a，b〉为钝角， ∴cos〈a，b〉<0且〈a，b〉≠π. 若cos〈a，b〉<0，则a·b<0， 即3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0， 解得x>－2. 若〈a，b〉＝π，则a与b反向， 则a＝λb(λ<0)， ∴解得 ∵〈a，b〉≠π， ∴x≠， 即x>－2且x≠， 故x的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $