第一章 1.1.2 空间向量基本定理（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间向量基本定理核心知识点，通过回顾共线向量、平面向量基本定理，递进探究共面向量定理及推论，最终构建空间向量基本定理的知识体系。设置问题引导、知识梳理及例题跟踪训练，搭建从二维到三维的学习支架。 资料以“三维基底能否生成空间向量”设问驱动，结合矩形、长方体等几何模型设计例题，在唯一性证明中培养推理能力，用基底表示向量步骤强化符号意识。课中助力教师引导学生递进理解，课后分层练习帮助学生巩固空间观念，查漏补缺。

1.1.2　空间向量基本定理 [学习目标]　1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.理解共线向量基本定理和共面向量定理及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念． 导语 我们学过的平面向量基本定理可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，给出一组三维的基底，是否可以生成空间中的所有向量．通过今天的学习，我们一起去寻找答案． 一、共面向量定理 问题1　共线向量基本定理和平面向量基本定理的内容是什么？它们适用于空间向量吗？ 提示　共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，它适用于空间向量． 平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb，它适用于空间向量． 知识梳理 1．共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 2．共面向量定理： (1)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb. (2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使c＝xa＋yb. (3)共面向量定理的推论：如果A，B，C三点不共线，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在唯一的实数对(x，y)，使＝x＋y. 注意点：(1)与共线，则A，B，C，D四点不一定共线． (2)若P，A，B，C四点共面，对于空间中的任意一点O，有＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝1，反之亦成立． 例1　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面． 证明　因为M在BD上，且BM＝BD， 所以＝＝＋. 同理＝＋. 所以＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＝＋. 又与不共线，根据共面向量定理可知，，共面． 反思感悟　证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面． (2)四点共面：证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)． 跟踪训练1　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 证明　设＝a，＝b，＝c， 则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又AN∶NC＝2∶1，∴＝＝(b＋c)， ∴＝－＝(b＋c)－a ＝(b－a)＋ ＝＋， ∴，，为共面向量． ∵三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面． 二、空间向量基本定理 问题2　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p 能否用i，j，k表示呢？ 提示　如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则＝＋. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＝＋zk. 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj. 从而＝＋zk＝xi＋yj＋zk. 问题3　请证明有序实数组的唯一性． 提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk. 不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k. 两边同除以(x′－x)，得i＝j＋k. 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的． 知识梳理 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. ①若xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. ②表达式xa＋yb＋zc称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式． ③如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，空间向量的一组基底记为{a，b，c}．此时a，b，c都称为基向量；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式． 注意点：(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 例2　(1)已知{e1，e2，e3}是空间的一组基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基底． 解　假设，，共面． 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3 ＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一组基底． (2)如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点．试用基底{a，b，c}表示向量，，，. 解　连接BO(图略)，则＝＝(＋)＝(c－b－a)＝－a－b＋c. ＝＋＝－a＋＝－a＋(＋)＝－a－b＋c. ＝＋＝＋＋(＋)＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c. ＝＝＝a. 反思感悟　用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的数乘运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 跟踪训练2　如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，＝－，＝.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，. 解　连接AN(图略)，则＝＋. 由ABCD是平行四边形，得＝＋＝a＋b， 则＝－＝－(a＋b)． 又＝－＝b－c， 故＝＋＝－＝－ ＝b－(b－c)． 故＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c) ＝(－a＋b＋c)． 连接AD1(图略)，则＝＋. ＝－＝－(a＋b)， ＝＋＝b＋c， 故＝＋＝－(a＋b)＋b＋c ＝－a＋b＋c. 三、空间向量基本定理的应用 例3　已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以同一顶点A为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°. (1)求·； (2)求的模． 解　如图，令＝a，＝b，＝c， {a，b，c}为一组基底． (1)∵＝b＋c， ＝－＝a－c， ∴·＝(b＋c)·(a－c) ＝a·b＋a·c－b·c－c2 ＝1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－1 ＝－1＝－. (2)∵＝a＋b＋c， ∴||2＝|a＋b＋c|2 ＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6， ∴||＝. 反思感悟　利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧 根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，有时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量，可证平行、垂直．可求两向量的数量积、夹角、长度． 跟踪训练3　(1)对空间内任意一点O，都有OA，OB，OC两两垂直，则△ABC是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 答案　A 解析　OA，OB，OC两两互相垂直，所以·＝(－)·(－)＝·＝||2>0， 所以〈，〉为锐角， 同理∠ABC，∠BCA均为锐角．故△ABC为锐角三角形． (2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则与所成的角为________． 答案　90° 解析　令＝a，＝b，＝c， ＝＋＝a＋b， ＝－＝＋－－－＝＋－－－＝－－＝a－b－c， 故·＝· ＝a2－a·b－a·c＋b·a－b2－b·c＝×4－×8＝0， 即⊥，则与所成的角为90°. 1.知识清单： (1)共线向量基本定理、共面向量定理． (2)空间向量基本定理． 2．方法归纳：数形结合、转化与化归． 3．常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错． 1．若{a，b，c}是空间的一组基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基底的向量为(　　) A．a B．b C．c D．2a 答案　C 解析　由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝·[(a＋b)＋(a－b)]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[(a＋b)－(a－b)]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D. 2.如图，已知三棱锥O－ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　) A.(b＋c－a) B.(a＋b－c) C.(a－b＋c) D.(c－a－b) 答案　D 解析　由题意知＝－＝－(＋)．因为＝a，＝b，＝c，所以＝(c－b－a)． 3．对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6＝＋2＋3，则(　　) A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 答案　B 解析　由6＝＋2＋3， 得－＝2(－)＋3(－)， 即＝2＋3，∴，，共面， 又它们有公共点P，∴P，A，B，C四点共面． 4.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点． 则：(1)·＝____；(2)·＝_______________. 答案　(1)16　(2)0 解析　设＝a，＝b，＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. (1)·＝·(＋) ＝b·＝|b|2＝42＝16. (2)·＝(＋)·(＋) ＝·(a＋c) ＝|c|2－|a|2 ＝22－22＝0. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一组基底的是(　　) A．{3a，a－b，a＋2b} B．{2b，b－2a，b＋2a} C．{a,2b，b－c} D．{c，a＋c，a－c} 答案　C 解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为空间的一组基底；同理可判断B，D中的向量共面． 2．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的是(　　) A. B. C. D.或 答案　C 解析　∵＝(a－b)，∴与a，b共面， ∴a，b，不能构成空间基底． 3.如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则等于(　　) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C.a－b＋c D．－a＋b＋c 答案　B 解析　连接AE(图略)， ∵E是CD的中点，＝b，＝c， ∴＝(＋)＝(b＋c)． ＝＋＝－＋， 又＝a， ∴＝－a＋(b＋c)＝－a＋b＋c. 4．下列条件中使点M与点A，B，C一定共面的是(　　) A.＝－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 答案　C 解析　对于C，由＋＋＝0，得＝－－，则，，为共面向量，即M，A，B，C四点共面； 对于A，由＝－－，其系数和1－1－1＝－1≠1，不能得出M，A，B，C四点共面； 对于B，由＝＋＋，其系数和＋＋＝≠1，所以M，A，B，C四点不共面； 对于D，由＋＋＋＝0，得＝－(＋＋)，其系数和为－3，不为1，所以M，A，B，C四点不共面． 5．{e1，e2，e3}是空间的一组基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　　) A.，－1，－ B.，1， C．－，1，－ D.，1，－ 答案　A 解析　xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3， 由空间向量基本定理，得 解得 6．(多选)关于空间向量，以下说法正确的是(　　) A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若对空间中任意一点O，有＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 C．设{a，b，c}是空间中的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底 D．若a·b<0，则〈a，b〉是钝角 答案　ABC 解析　根据平面向量基本定理可知，空间的三个向量中，若有两个向量共线，那么这三个向量一定共面，故A正确； 由于＋＋＝1，所以根据共面向量定理可知，P，A，B，C四点共面，故B正确； 因为{a，b，c}是空间中的一组基底，所以a，b，c不共面，所以a＋b，b＋c，c＋a也不共面，因此{a＋b，b＋c，c＋a}也是空间的一组基底，故C正确； a·b<0，则〈a，b〉可以是钝角，也可以是180°，故D错误． 7．(5分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝________________. 答案　(＋＋) 解析　∵2＝2＋2＋2 ＝(＋)＋(＋)＋(＋) ＝＋＋， ∴＝(＋＋)． 8．(5分)已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝________. 答案　3a＋3b－5c 解析　如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG. ＝－＝－ ＝＋ ＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c. 9．(10分)已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点． (1)证明：E，F，G，H四点共面；(5分) (2)证明：BD∥平面EFGH.(5分) 证明　如图，连接EG，BG. (1)＝＋＝＋(＋ )＝＋＋ ＝＋， 由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面． (2)方法一　∵＝－＝－＝，∴EH∥BD. 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 方法二　∵＝＋＝2＋2 ＝2＝2(＋)＝2＋2， 又，不共线， ∴与，共面． 又BD⊄平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH. 10．(10分)如图所示，已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长；(3分) (2)求证：AA1⊥BD；(3分) (3)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值．(4分) (1)解　设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1，∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，∴||＝|a＋b＋c|＝＝ ＝＝， ∴线段AC1的长为. (2)证明　∵＝c，＝b－a，∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴⊥，即AA1⊥BD. (3)解　由(1)知＝a＋b＋c，∵＝b－c， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－c) ＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， ||＝＝ ＝＝， 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， ∴cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝， ∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. 11.如图，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点，M是线段CC1的中点，点N在线段BA1上，且BN＝2NA1，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z等于(　　) A. B．－ C．2 D. 答案　B 解析　由题意可知＝＋＝＋＋＝－＋－＋(－)＝－＋，所以x＝，y＝－1，z＝，故x＋y＋z＝－. 12．点G是三棱锥P－ABC的底面△ABC的重心，且满足λ＝＋＋，则λ为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　连接AG并延长AG交BC于点D，连接PD，则D为BC的中点，所以＝(＋)， 因为G为△ABC的重心，则＝，即－＝(－)，所以＝＋＝(＋＋)，即3＝＋＋，故λ＝3. 13．(多选)若向量，，的始点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则不能使向量，，成为空间一组基底的关系的是(　　) A.＝＋＋ B.＝＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 答案　ABD 解析　 对于A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面知，，，共面；对于B，D，易知，，共面；故只有C中，，不共面，只要，，共面，就不能作为一组基底． 14．(5分)如图，在三棱锥O－ABC中，点G为底面三角形ABC的重心，M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若＝k，＝m，＝n，则＋＋＝________. 答案　 解析　由题意可知，＝＝(＋) ＝ ＝ ＝＋＋. 因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ， 使＝λ＋μ， 所以－＝λ(－)＋μ(－)， 所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ ＝(1－λ－μ)k＋λm＋μn， 所以 所以＋＋＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝. 15．(5分)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若＝x＋y＋z，且0≤x≤y≤z≤1，则点P所有可能的位置所构成的几何体的体积是________． 答案　 解析　根据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满足0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD－A1C1D1内；满足0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1－BB1C1内，故同时满足0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A－A1C1D1，其体积是××1×1×1＝. 16．(13分)如图，已知在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 证明　如图，连接ON，设∠AOB＝∠BOC＝AOC＝θ， 又设＝a， ＝b， ＝c， 则|a|＝|b|＝|c|. ∵＝(＋) ＝ ＝(a＋b＋c)， ＝c－b， ∴·＝(a＋b＋c)·(c－b) ＝(a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c) ＝(|a|2·cos θ－|a|2·cos θ－|a|2＋|a|2)＝0. ∴⊥， 即OG⊥BC. 学科网（北京）股份有限公司 $