1.1.2 空间向量基本定理（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理核心知识点，先以共面向量定理为基础，涵盖向量共面定义、判定及应用，再延伸至空间向量基本定理，包括基底概念与向量分解，构建从平面到空间的向量理论学习支架。 资料通过“即学即练”结合典例变式，分题型强化共面判定、基底判断等应用，培养学生推理能力与模型观念。课中助力教师系统授课，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺，提升空间向量解决问题的能力。

1.1.2 空间向量基本定理 教学目标 1.理解空间向量的共面定理，并会应用。 2.理解空间向量基本定理及其意义，并会应用。 教学重难点 1.重点 （1）运用向量共线定理和共面定理解决共线问题和共面问题； （2）空间向量基本定理的应用。 2.难点 （1）证明四点共面问题； （2）运用空间向量基本定理解决问题。 知识点01 共面向量定理 1. 空间向量共面定理 （1）向量共面的定义： 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，与向量、共面的充要条件是存在唯一实数对，使。 （3）向量共面证明： ①判断三个向量共面一般用； ②证明三线共面常用； ③证明四点共面常用（其中）， 也可以用。 【即学即练】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知向量，不共线，如果，，，求证：A，B，C，D四点共面． 2．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 知识点02 空间向量基本定理 （1）定义：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. （2）基底与基向量：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是， 这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 【即学即练】 1.（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 3.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 题型01 向量共面的判定 【典例1】（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（其中为实数） 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面 【变式4】（25-26高二上·广东清远·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 题型02 根据空间向量共面求参数 【典例1】（25-26高一下·广东深圳·期末）已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 题型03 空间向量基底的判断 【典例1】（25-26高一下·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）以下说法中，正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式4】（21-22高二下·四川绵阳·期中）已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 题型04 用空间基底表示空间向量 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 题型05 空间向量基本定理的应用 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【变式2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 【变式3】（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 1．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 3．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若，则四点共面 D．若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 4．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 5．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，空间四边形OABC中，点M、N分别是OA、BC的中点，若以｛，，｝为基底，则__________ 6．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 7．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 8．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 9．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 10．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知三点A，B，C不共线，对平面ABC外一点O，且满足，判断点P是否与点A，B，C共面. 11．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 12．（24-25高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 1．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高二上·河南·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________． 4．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 6．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.2 空间向量基本定理 教学目标 1.理解空间向量的共面定理，并会应用。 2.理解空间向量基本定理及其意义，并会应用。 教学重难点 1.重点 （1）运用向量共线定理和共面定理解决共线问题和共面问题； （2）空间向量基本定理的应用。 2.难点 （1）证明四点共面问题； （2）运用空间向量基本定理解决问题。 知识点01 共面向量定理 1. 空间向量共面定理 （1）向量共面的定义： 一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理 如果两个向量、不共线，与向量、共面的充要条件是存在唯一实数对，使。 （3）向量共面证明： ①判断三个向量共面一般用； ②证明三线共面常用； ③证明四点共面常用（其中）， 也可以用。 【即学即练】 1．（25-26高二·全国·暑假作业）已知向量，不共线，如果，，，求证：A，B，C，D四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】易得不共线．令， 则． 和不共线，，解得， ，∴A，B，C，D四点共面． 2．（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）（多选）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】根据空间向量共面定理求出和的关系，即可得出结论. 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 知识点02 空间向量基本定理 （1）定义：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使. （2）基底与基向量：如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是， 这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量。 说明：空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 【即学即练】 1.（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】对于A，易得，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为， 所以，，共面，故C错误； 对于D，假设，，共面， 则存在实数，，使得， 因为，，不共面，所以， 该方程组无解，所以假设不成立，故D正确. 2.（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 3.（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若空间中的满足，则三点共线 B．空间中三个向量，若，则向量共面 C．已知四点不共面，点满足：，则四点共面 D．是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底 【答案】ABC 【分析】选项A，对已知等式变形，根据向量共线条件判断；选项B、C，根据共面向量定理判断；选项D，利用反证法得不共面，所以可作基底. 【详解】，， 可得，所以三点共线，选项A正确； ，则存在实数，， 所以存在实数，，向量共面，选项B正确； ，，， 所以，即， 所以四点共面，选项C正确； 假设共面，则存在实数，使得， 即，即， 因为不共面，所以无解， 所以不共面，能为空间的一组基底，选项D错误. 题型01 向量共面的判定 【典例1】（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期中）已知点、、不共线，为平面外一点，下列能够确定、、、四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量共面的推论，判断是否成立即可. 【详解】对于A：根据给定线性关系式有，A错误； 对于B：根据给定线性关系式有，B错误； 对于C：根据给定线性关系式有，C错误； 对于D：根据给定线性关系式有，D正确. 【变式2】（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（其中为实数） 【答案】B 【分析】根据向量共面的定义逐项分析即可. 【详解】对于A，设， 由与是不共面的向量，则，即方程组有解， 所以向量、、共面，故A错误； 对于B，设， 由与是不共面的向量，则，方程组无解， 所以向量、、不共面，故B正确； 对于C，设， 由与是不共面的向量，则，即方程组有解， 所以向量、、共面，故C错误； 对于D，设， 由与是不共面的向量，则， 当时，方程组有解为，此时向量、、共面， 当时，方程组无解，此时向量、、不共面， 所以向量、、不一定共面，故D错误. 【变式3】（2026高二·全国·专题练习）如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面 【答案】证明：分别连接、、、交对边于、、、点. 因为、、、分别是所在三角形的重心. 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且， 所以，，故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面. 【分析】分别连接、、、交对边于、、、点，可根据重心的已知条件，推导出四边形为平行四边形，进而推导出，即，即可证明结论成立. 【详解】略 【变式4】（25-26高二上·广东清远·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】以长方体为例，令，数形结合判断各项对应向量是否共面即可. 【详解】如下图示，令， 则，，，，，，，    A：由图，，不共面， B：由图，，不共面， C：由图，，不共面， D：由图，，共面. 故选：D 题型02 根据空间向量共面求参数 【典例1】（25-26高一下·广东深圳·期末）已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 【变式1】（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 【变式2】（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 【变式3】（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，，， 设， 则，解得， 则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件. 【变式4】（25-26高一下·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 题型03 空间向量基底的判断 【典例1】（25-26高一下·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. 【变式1】（25-26高二下·福建宁德·期末）已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 【变式2】（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）以下说法中，正确的个数为（    ） ①“”是“，共线”的充分不必要条件； ②若，则存在唯一的实数λ，使得； ③若，，则； ④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】对于①，若，则，反向共线，充分性成立， 但当非零向量，同向共线时，不存在，必要性不成立， 则“”是“，共线”的充分不必要条件，故①正确； 对于②，当为零向量，不为零向量时，不存在，故②错误； 对于③，由，，则，， 不能得到，故③错误； 对于④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， 即不共面，构成空间的另一个基底，故④正确； 对⑤，，故⑤错误． 【变式3】（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得. 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 故选：D 【变式4】（21-22高二下·四川绵阳·期中）已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理可判断. 【详解】∵向量，，不能构成空间的一组基底， ∴，，共面， ∵向量，，有共同的点， ∴四点共面，故D正确； 当四点共面时， ，，不一定共线，故A错误； 中不一定有三点共线，故B错误； 与不一定共线，故C错误， 故选：D. 题型04 用空间基底表示空间向量 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·期末）如图，在平行六面体中，M为与的交点，若，则下面向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可得，. 【变式1】（25-26高一下·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 【变式2】（25-26高二下·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 【变式3】（25-26高二下·四川泸州·期末）如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知：，， 所以 . 【变式4】（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． 题型05 空间向量基本定理的应用 【典例1】（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 【变式1】（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）如图所示，在正四面体中，，则（    ） A． B． C．在平面内的投影向量为 D．在平面内的投影向量为 【答案】BD 【分析】由空间向量基本定理，空间向量的线性运算及正四面体的性质即可求解． 【详解】对于AB，由题知，， ，故A错误，B正确； 对于CD，设点在平面的投影为点， 由正四面体得，底面为等边三角形，且侧棱， 所以由正四面体的性质得，顶点在底面的投影是底面的重心，在平面的投影向量为，则， 所以在平面内的投影向量为，故C错误，D正确． 【变式2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）如图，在平行六面体中，，，，点P为线段BC中点. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)三个不共面的向量作为基底，再用基底表示,再用模长公式.         (2)用基底表示,用数量积计算得出结果就行. 【详解】（1）设，，，这三个向量不共面，构成空间的一个基底， 则，，， 因为， 所以 （2）由（1）可知， 同理可得， . 所以 . 【变式3】（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2） ， 所以． 1．（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 2．（2026高二·全国·专题练习）在以下命题中，正确的命题有（ ） A．是，共线的充要条件 B．若，则存在唯一的实数，使 C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面 D．已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得 【答案】C 【分析】利用向量共线的概念可判断A；利用与任意向量共线可判断B；利用共面定理可判断C；利用向量共面的性质可判断D. 【详解】对于A：当非零向量同向时，，共线，但，故A错误； 对于B：当，，满足，此时不存在实数，使，故B错误； 对于C：因为，满足，则由共面向量定理知四点共面，故C正确； 对于D: 若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立,故D错误. 3．（24-25高二下·江苏常州·阶段检测）（多选）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若，则向量的夹角是锐角 B．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 C．若，则四点共面 D．若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不共面 【答案】BC 【详解】对于A，由，得向量的夹角是锐角或0，A错误； 对于B，根据空间向量共面定理知，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，B正确； 对于C，对空间中任意一点，，由，得四点共面，C正确； 对于D，若分别表示两空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，但向量可以平移到同一个平面，D错误． 4．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 【答案】/ 【详解】由，为中点，可得， 所以 ， 所以，因此. 5．（25-26高二上·广东东莞·期末）如图，空间四边形OABC中，点M、N分别是OA、BC的中点，若以｛，，｝为基底，则__________ 【答案】 【详解】本题考查空间向量的线性运算，空间向量基本定理．根据空间向量的线性运算即可得答案． 【解答】如图所示，连接， 则，， 所以. 故答案为：. 6．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 7．（2026·湖南长沙·二模）为空间任意一点，若，若A，B，C，P四点共面，则实数等于_______. 【答案】/ 【分析】借助空间向量线性运算及四点共面条件计算即可得. 【详解】由，则， 则， 由A，B，C，P四点共面，则，解得. 8．（25-26高二下·江苏镇江·期末）如图，在四面体中，，，，，点，分别为，的中点. (1)求线段的长； (2)若，，求证：，，，四点共面. 【答案】(1) (2)由题意知，， 因为，所以， 所以，， ， 不妨设， 即，解得.即 ， 根据共面向量定理，共面，即四点共面. 【分析】（1）将作为基底， 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可. （2）由共面向量定理证明即可. 【详解】（1）设，且，分别为，的中点. 所以. 则 ， 所以. （2）略 9．（25-26高二·全国·暑假作业）如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）． 10．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知三点A，B，C不共线，对平面ABC外一点O，且满足，判断点P是否与点A，B，C共面. 【答案】共面 【分析】若点与点共面，则存在唯一实数对使得.根据空间向量的线性运算可得，结合题意建立方程组，求出x、y即可下结论. 【详解】点与点共面，理由如下： 若点与点共面，则存在唯一实数对，使得， 那么对空间任意一点，有， 即，又， 所以，解得， 所以，即向量共面， 又有公共起点，故点与点共面. 11．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【答案】(1)共面 (2)不共面 【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； （2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； 【详解】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若， 即， 又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面. （2）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若，此时， 根据空间向量的共面定理，可得点与不共面． 12．（24-25高二上·河北保定·期中）如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1)，. (2)2 【分析】（1）根据三角形法则与平行四边形法则分别表示出向量即可； （2）结合（1）的结论利用向量数量积以及向量运算律计算即可. 【详解】（1）因为， 所以 ， . （2）由题意易知， 所以， ， 则 . 1．（25-26高三上·陕西榆林·阶段检测）已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，结合，可知点在平面内，所以当平面时，最小，再根据即可求得结果. 【详解】设，则 ，， 所以点在平面内， 依题意当平面时，最小， 四面体为正四面体，为底面的中心，如图，连接并延长交于点，则为的中点. 则， 所以， 即的最小值为， 又，所以，即的最小值为． 故选：B． 2.（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，，.若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的条件，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为的重心，所以 ， 又，，，， 所以， 因为点在平面内， 所以，得，且. 所以 当且仅当时等号成立. 故选：D. 3．（25-26高二上·河南·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理得到，结合四点共面性质得到在平面内存在一点，使得，继而得到，利用三棱锥体积的性质进行求解即可. 【详解】因为，，， ， 所以， 即， 两边同时乘以得， 因为，所以在平面内存在一点，使得成立， 所以，即， . 故答案为：. 4．（25-26高二下·江苏徐州·期末）（多选）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 5．（25-26高二下·广东潮州·期末）（多选）如图，在直三棱柱中，，，则（     ） A．向量在向量上的投影向量为 B．向量在向量上的投影向量为 C． D．与的夹角为锐角 【答案】BCD 【分析】由已知可得可作为一组基底，得到，再利用投影向量的计算公式，向量夹角的计算公式即可. 【详解】在直三棱柱中，，所以两两垂直，可作为一组基底. 因为，所以. 所以 . 对于选项A，向量在向量上的投影向量为，故A错误； 对于选项B，向量在向量上的投影向量为，故B正确； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，， 所以.又因为，所以，故D正确. 6．（25-26高二下·江苏南京·期中）（多选）已知平行六面体的所有棱长均为，点在线段上，如图所示，则（    ） A． B．平面 C．四边形为正方形 D．的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量基本定理及空间向量的运算法则即可判断各选项． 【详解】对于A，因为， 所以 ， 所以，故A错误； 对于B，由题可知，， 因为， ， 所以， 又平面，， 所以平面，故B正确； 对于C，由题可知，四边形为平行四边形， 又因为， 所以， 所以平行四边形为菱形， 又， 所以，则菱形为正方形，故C正确； 对于D，设， 则， 所以 ， 所以的最小值为，故D正确． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $