第一章 1.1.1 第2课时 空间向量的数量积（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间向量的数量积核心知识点，通过类比平面向量数量积，系统梳理空间向量夹角的定义、数量积的概念性质及运算律。设置问题引导概念生成，结合正方体正四面体模型例题解析，辅以跟踪训练构建从概念到应用的学习支架。 资料以“类比”为核心线索，通过问题链激活数学眼光，从平面到空间的抽象迁移培养空间观念。例题与训练题依托几何模型，在推理计算中提升运算能力与推理意识，体现数学思维。课中助力教师引导知识构建，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化应用意识。

第2课时　空间向量的数量积 [学习目标]　1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直． 导语 同学们，上节课我们体会了用类比的思想把平面中向量的加法、减法以及数乘运算推广到了空间中的线性运算，我们知道以上三种运算的结果仍是一个向量，其性质没有变化，而我们平面中还有两个向量的数量积的运算，显然本节课的关键词仍是“类比”． 一、空间向量的夹角及数量积的概念 问题　空间中任意两个向量可以平移到同一起点吗？此时两个向量所形成的角可以找到吗？ 提示　可以，可以． 知识梳理 1．两个空间向量的夹角 (1)定义：给定两个非零向量a，b，任意在空间内选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉． (2)如果〈a，b〉＝，则称向量a与向量b垂直，记作a⊥b. (3)约定零向量与任意向量都垂直． 2．空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 注意点：(1)数量积必须是点乘，其结果是一个实数． (2)当两个向量的夹角θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，夹角θ不一定为锐角，因为θ可能为0. (3)当两个向量的夹角θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，夹角θ不一定为钝角，因为θ可能为π. (4)找两个向量夹角时，起点必须相同． 例1　(1)对于空间中任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　 B 解析　显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件． (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的夹角〈，〉＝________；向量与的夹角〈，〉＝________________________________. 答案　90°　120° 解析　∵AB⊥平面BCC1B1，C1B⊂平面BCC1B1， ∴AB⊥C1B， 故〈，〉＝90°， 连接BD，A1D(图略)， ∵∥， ∴〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1BD， ∵△A1BD为等边三角形， ∴∠A1BD＝60°，∴〈，〉＝120°. 反思感悟　找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]． 跟踪训练1　在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　由题意，可得＝， 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 二、空间向量的数量积的性质 知识梳理 1．数量积的几何意义 (1)向量的投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线， 假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影．如图所示． (2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积．特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量． 2．空间向量的数量积的性质 向量数量 积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0 共线 同向：a·b＝|a|·|b| 反向：a·b＝－|a|·|b| 模 (1)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2； (2)|a|＝； (3)|a·b|≤|a|·|b| 夹角 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 运算律 (1)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c 注意点：(1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量． (2)投影的数量为|a|cos θ(θ为a与b的夹角)． (3)向量的数量积不满足结合律，对于三个非零向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立． 例2　已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心．求： (1)·；(2)·；(3)·. 解　(1)〈，〉＝〈，〉＝60°， 又||＝||＝a， ∴·＝||||cos〈，〉 ＝a×a×cos 60°＝a2. (2)如图所示，||＝a， 在上的投影为， ∵||＝a， ∴·＝||·||＝a×a＝a2. (3)取AB的中点E，∴O1E⊥AB， ∴在上的投影为， 又||＝a，|A|＝a， ∴·＝||·||＝a×a＝a2. 反思感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算． (2)利用数量积的几何意义求解． (3)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算． 跟踪训练2　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·； (4)·. 解　(1)·＝· ＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝. (2)·＝·＝||2＝. (3)·＝· ＝||·||cos〈，〉 ＝cos 120°＝－. (4)·＝·(－) ＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. 三、空间向量数量积的简单应用 例3　如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长． (1)证明　＝＋，＝＋. ∵BB1⊥平面ABC， ∴·＝0，·＝0. 又△ABC为正三角形， ∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ∵·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋＋· ＝||||cos，＋＝－1＋1＝0， ∴AB1⊥BC1. (2)解　由(1)知·＝||||cos，＋＝－1. 又||＝＝＝||， ∴cos，＝＝， ∴||＝2，即侧棱长为2. 反思感悟　利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题．(a，b为非零向量) (1)a⊥b⇔a·b＝0. (2)cos〈a，b〉＝. (3)|a|2＝a2. 跟踪训练3　(1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为(　　) A．－6 B．6 C．3 D．－3 答案　B 解析　由a⊥b，得a·b＝0， 所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， 所以2k－12＝0，所以k＝6. (2)已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉＝________. 答案　 解析　∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， ∴cos〈a，b〉＝＝－， 又〈a，b〉∈[0，π]， ∴〈a，b〉＝. 1.知识清单： (1)空间向量的夹角及数量积的概念． (2)空间向量的投影． (3)空间向量的数量积的性质． 2．方法归纳：数形结合． 3．常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点，向量的投影仍是一个向量． 1．(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　AD 2．(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是(　　) A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D．若a·b>0，则〈a，b〉是锐角 答案　ACD 解析　对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，当a，b同向时，a·b>0，而〈a，b〉不是锐角． 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则·＝________. 答案　－a2 解析　如图， · ＝||·||cos〈，〉 ＝a·a×cos 120°＝－a2. 4．已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________. 答案　22 解析　∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576， 则a2＋2a·b＋b2＝576， ∴2a·b＝576－132－192＝46. 又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．下列命题中正确的是(　　) A．(a·b)2＝a2·b2 B．|a·b|≤|a||b| C．(a·b)·c＝a·(b·c) D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0 答案　B 解析　对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2， ∴左边≤右边，故A错误； 对于B项， ∵a·b＝|a||b|cosa，b，－1≤cos〈a，b〉≤1， ∴|a·b|≤|a||b|，故B正确； 对于C项，数量积不满足结合律，故C错误； 对于D项，∵a·(b－c)＝0， ∴a·b－a·c＝0， ∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误． 2．已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于(　　) A．12 B．8＋ C．4 D．13 答案　D 解析　(2a－b)·a＝2a2－b·a ＝2|a|2－|a||b|·cos 120° ＝2×4－2×5×＝13. 3．已知空间向量a，b，|b|＝4，|a|＝2，〈a，b〉＝，则b在a上的投影的数量为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案　D 解析　b在a上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝4×cos ＝－2. 4．已知正四面体ABCD的棱长为1，且＝2，＝2，则·等于(　　) A. B. C．－ D．－ 答案　D 解析　由正四面体ABCD的棱长为1，且＝2，＝2，得＝，则·＝·＝×1×1×cos 120°＝－. 5.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有(　　) A.·＝2a2 B.·＝a2 C.·＝a2 D.·＝a2 答案　BC 解析　·＝·(＋)＝2＝a2； ·＝·(＋＋)＝2＝a2； ·＝·＝·(＋＋)＝2＝a2； ·＝·(＋)＝－2＝－a2. 6．(多选)已知在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，且AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则(　　) A．||＝ B．||＝3 C.·＝－9 D．异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为 答案　BD 解析　设＝a，＝b，＝c， 则a·b＝0，a·c＝3，b·c＝4， ＝b＋c，＝－a＋b－c， 则·＝－a·b＋b2－b·c－a·c＋b·c－c2＝9， ||＝＝2， ||＝＝3， 所以cos〈，〉＝＝. 7．(5分)已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，若m⊥n，则λ的值为________． 答案　－ 解析　由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0， 所以a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0， 即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos 135°＝0， 所以λ＝－. 8．(5分)已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________． 答案　－13 解析　∵a＋b＋c＝0， ∴(a＋b＋c)2＝0， ∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， ∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13. 9．(10分)已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角． 解　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 所以〈a，b〉＝60°. 10.(10分)如图，在三棱柱OAB－CA1B1中，＝a，＝b，＝c，三向量夹角均为，M，N分别在CA1，BA1上，且＝，＝，||＝2，||＝2，||＝4，求 (1)AM的长；(5分) (2)与夹角的余弦值．(5分) 解　(1)因为＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－a＋c. 又因为a·c＝4， 所以||＝＝， 即AM的长为. (2)＝(＋) ＝(＋＋) ＝(a＋b＋c)． 因为a·b＝2，b·c＝c·a＝4， 所以· ＝·(a＋b＋c)＝， 又||＝＝， 所以cos〈，〉＝＝， 即与夹角的余弦值为. 11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A．2· 　　 B．2· C．2· 　　 D．2· 答案　C 解析　2·＝－a2，故A错误；2·＝－a2，故B错误；2·＝－a2，故D错误，只有C正确． 12．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则〈，〉等于(　　) A．60° B．45° C．120° D．90° 答案　D 解析　∵·＝·(－) ＝·－· ＝||·||cos －||·||cos ＝0， ∴〈，〉＝90°. 13．已知空间中有AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝1，BC＝2，CD＝3，〈，〉＝60°，则A，D两点间的距离为(　　) A. B. C. D．2 答案　B 解析　＝＋＋， 所以||＝ ＝ ＝＝. 14．(5分)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________． 答案　－4 解析　∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4. 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 答案　D 解析　·＝·(＋) ＝2＋·， ∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥， ∴·＝0， ∴·＝||2＝1， 则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为1. 16．(13分)已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝1，且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝. (1)求B1D的长；(6分) (2)求与夹角的余弦值．(7分) 解　(1)由题可知，＝＋＋＝－－， 则||＝ ＝ ＝ ＝， 因此，B1D的长为. (2)由题知，＝＝－， 则||＝ ＝ ＝＝， 所以· ＝(－)·(－－) ＝·－·－－·＋＋· ＝·－2－·＋ ＝1×3×－32－1×2×＋22＝－， 所以cos〈，〉＝＝ ＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $