1.1.1空间向量及其运算 (第1课时）（教学课件）高二数学人教B版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的概念及线性运算，通过回顾平面向量旧知，创设空间力的合成、位移等情境，引导学生经历从平面到空间的类比推广过程，搭建知识迁移的学习支架。 其亮点在于通过互动探究、典例分析及举一反三，强化空间向量概念辨析与线性运算技能，结合平行六面体等实例培养数学抽象和运算素养。小结梳理核心知识与易错点，助力学生构建知识体系，教师可借助资料提升教学针对性与效率。

【新教材】人教B版·高二选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1空间向量及其运算 (第1课时） 1.1 空间向量及其运算 学 习 目 标 1 2 3 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，体会类比与推广的数学思想方法。 掌握空间向量的加法、减法运算，理解其几何意义，能够运用三角形法则和平行四边形法则进行空间向量的加减运算。掌握空间向量的数乘及线性运算，理解数乘运算的几何意义，掌握空间向量线性运算的运算律。 通过空间向量概念及运算的学习，培养数学抽象素养（理解空间向量的概念）和数学运算素养（掌握空间向量的线性运算）。 新课引入 回顾旧知，唤醒经验 在必修课程中，我们已经学习了平面向量。请同学们回忆—— 既有大小又有方向的量称为向量（简称为向量），向量的大小也称为向量的模（或长度）。 表示方法： 用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段箭头所指的方向表示向量的方向。 始点为A终点为B的向量，记为，向量的模用||表示通常用加粗的斜体小写字母如，b，c或用带箭头的小写字母如，，来表示向量。 向量的模用||或||来表示 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的。零向量用0或表示。零向量的模为0，即 |0|=0 新课引入 回顾旧知，唤醒经验 单位向量 模等于1的向量称为单位向量。因此， e 是单位向量的充要条件是 |e|=1 。 相等向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 向量 和 b 相等, 记作𝒂=b . 特别地, 如图所示, 在平面四边形 ABCD 中, ” 是”四边形 ABCD 为平行四边形”的充要条件. 共线向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反, 则称这两个向量平行. 通常规定零向量与任意向量平行. 两个向量 和 b 平行, 记作 ∥b . 两个向量平行也称为两个向量共线. 新课引入 创设情境, 引出问题 在平面向量中, 我们研究的向量都在同一平面内。但在现实生活中, 很多问题涉及三维空间——比如空间中力的合成 (如吊灯受到多个方向绳子的拉力）、空间中的位移（如飞机从一点飞到另一点）等。这些量不仅有大小，还有方向，而且方向不一定在同一个平面内。 既然平面中的位移、力可以用平面向量来表示和运算，那么空间中的位移、力是否也可以用类似的“空间向量”来表示和运算呢？平面向量的概念和运算法则能否推广到空间中？ 目标一：空间向量及其相关概念 互动探究 概念 空间向量及其运算 空间向量 空间中具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模。 几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量，记为0 单位向量 模等于1的向量称为单位向量 相反向量 与向量大小相等、方向相反、的向量，称为a的相反向量，记为- 平行(共线)向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(也称为两个向量共线) 相等的向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量 示例 . 同学们讨论一下，这个图形中，还有哪些相等的向量？ 典例分析 题型1 空间向量概念 例1 给出下列命题： ① 两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ② 若空间向量 、 满足 ，则 ③ 在正方体 中，必有 ④ 若空间向量 、 、 满足 、 则 ⑤ 空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确的命题的个数是（） A.1 B.2 C.3 D.4 题号 正误 原因分析 ① × 当两向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等不一定起点相同，终点相同 ② × 向量相等的定义，模相等，而且方向相同 ③ √ 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量AC与A1C1方向相同，模也相等，必有AC= A1C1 ④ √ 由向量平行(共线)的性质可知 ⑤ × 空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等 典例分析 题型2 棱锥、棱台的识别与表示 分析 例2 解答 如图所示，ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M、N分别是AC、BF的中点，判断 与 是否共线？ 分析 要判断 与 是否共线，由共线向量定理是否存在实数 使 . 若存在则 与 共线，否则 与 不共线. 连结AE，由于ABEF是平行四边形，N是BF中点，所以N也是AE中点，又M是AC中点，所以，NM是三角形ACE中位线，所以MN平行CE.从向量的角度看，对应的向量是平行或共线关系。 互动探究 空间向量概念 共面向量 空间中的向量，除了共线之外，我们还要讨论共面的情形。 共面向量： 一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面。 图中，虽然直线 与直线 异面，但向量 ， ， 是共面的，因为 经过平移后可以到达 的位置，而 ， ， 都在平面 内；向量 ， ， 不共面，因为这三个向量有一个公共点 ，而 ， ， 都在平面ABCD内，点 在平面ABCD外. 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面. 目标二：空间向量加减运算 互动探究 空间向量加减 加法 回忆平面向量的加法运算，思考如何定义空间向量的加法？ 给定两个平面向量 ， ，在该平面内任取一点 ，作 作出向量 ，则 是向量 与 的和（也称 为向量 与 的和向量）向量 与 的和向量记作 ，因此 当平面向量 与 不共线时， 正好能构成一个三角形，如图所示，因此这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的三角形法则。 因为空间中的任意两个向量都共面，所以空间中两个向量的和，除了 A 点可以在空间中任意选定之外，其他的与平面情形完全一样。特别地，向量加法的三角形法则在空间中也成立。 互动探究 空间向量加减 加法 空间向量加法平行四边形法则，这个法则在空间中和平面中完全一样. 在平行四边形 中， 是以 、 为邻边的对角线。 根据向量加法的平行四边形法则： 适用范围 1. 空间任意两个不共线向量（共线向量不能构成平行四边形，只能用三角形法则）； 2. 平面向量平行四边形法则可以直接推广到空间，空间中两向量确定一个平面，因此平行四边形完全落在这个平面内。 示例 例如，如图所示的长方体ABCD- 中，因为 ，所以 . 两向量必须共起点才能直接用平行四边形法则； 若共线，无法构成平行四边形，只能使用三角形法则； 互动探究 空间向量加减 加法律 对于任意的向量 ，都有 交换律： 结合律： 化简向量式，调整相加顺序 交换律：可以任意调换相加向量的先后顺序，方便把共起点、共线、相同基底的向量放一起合并； 结合律：任意添加、去掉括号，自由分组求和。 例： 交换重组：，再结合分组，直接首尾相连得到。 典例分析 题型2 空间向量加法 例3 如图所示是一个平行六面体ABCD- 化简 运用加法法则及运算律。 解：因为底面ABCD是一个平行四边形，所以 又因为 所以 互动探究 空间向量加减 减法 给定一个空间向量，与这个向量方向相反、大小相等的向量称为它的相反向量，向量 的相反向量记作 。因此， 的相反向量是 ,因为零向量的始点与终点相同，所以 。 相反向量 向量减法 空间向量的减法也可以看成向量的加法，即 -b=+(-b) ，一个向量减去另一个向量，等于第一个向量加上第二个向量的相反向量。 互动探究 空间向量加减 减法 在空间中任取一点 ，作 ， ，作出向量 ，则向量 就是向量 与 的差（也称 为向量 与 的差向量），即 。当 与 不共线时，向量 ， ， 正好能构成一个三角形，因此这种求两向量差的作图方法称为向量减法的三角形法则。 O A B -b 关键注意点 必须共起点 :前提是起点都是；若起点不同，不能直接用减法三角形法则，要先平移统一起点。 差向量方向不能搞反（高频易错） 口诀：箭头方向指向被减。 示例 如图所示的四棱锥 中，有 ， . 同学们对照图形，再举一些应用减法的例子。 典例分析 题型3 空间向量减法 例4 如图所示，已知平行六面体 ，化简下列表达式. (1) ; 解析： 典例分析 题型3 空间向量减法 例4 如图所示，已知平行六面体 ，化简下列表达式. (2) 解析： 空间向量加减混合运算时，可以把减法统一成加法，重新分组（交换、结合）把起点、终点相连的向量放一块，方便抵消合并。 典例分析 题型3 空间向量减法 ① 例5 如图，在长方体 中，下列各式中运算结果为向量 的是（） A. B. C. D. ① 正确：，因为 （平移向量），所以括号内化简为 （根据首尾相接的加法法则）。 所以原式变为 ，根据减法法则（起点相同，终点连向被减向量），这恰好等于 。 典例分析 题型3 空间向量减法 例5 ② 如图，在长方体 中，下列各式中运算结果为向量 的是（） A. B. C. D. ② 正确：，括号内 利用长方体性质等于 （即 ）。 所以原式变为 （利用尾首相接的三角形法则）。 典例分析 题型3 空间向量减法 例5 ③ ④ 如图，在长方体 中，下列各式中运算结果为向量 的是（） A. B. C. D. ③ 错误：，化简为 。注意 ，这里的符号一个是加一个是减，不相等。 ④ 错误：，化简过程中 ，括号内变为 。但后面还要加上一个 ，结果变成了 ，不等于 。结论： 只有 ① 和 ② 正确，选 A。 目标三：空间向量数乘 互动探究 空间向量数乘 数乘 同平面中的情形一样，给定一个实数 与任意一个空间向量 规定它们的乘积是一个空间向量，记作 （1）当 且 时， 的模为 ，而且 的方向： ① 当 时，与 的方向相同； ② 当 时，与 的方向相反 （2）当 或 时， 上述实数 与空间向量 相乘的运算简称为数乘向量 数乘向量的定义说明 三点共线 如果存在实数 ，使得 ，则 与 平行且有公共点 ，从而 三点一定共线。 特别地，当 时，即 时， 为线段 的中点。 线性运算 同平面向量一样，空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算。 运算律对比 交换律 + 结合律 (+b)+c=+(b+c) 分配律 (λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λb 典例分析 题型4空间向量线性运算 证明 例6 应用 设AB是空间中任意一条线段， 是空间中任意一点，求证： 为AB中点的充要条件是 证明：因为 为 中点 所以结论成立 如图所示，如果棱锥 的底面ABCD是一个平行四边形，则 既是 的中点，也是 的中点，从而由上例的结论可知 当然，同样也有 等. 典例分析 题型4空间向量线性运算 (1) 例7 (2_) 如图所示，已知长方体 ，化简下列向量表达式： 解析： (3_) (3) 设 是线段 的中点， 目标四：针对训练 举一反三 1.在平面向量中，下列说法正确的是（） 如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等 B. 如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同 C. 如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等 D. 同向且等长的有向线段表示相等向量 解析 根据两个向量相等的定义可知，选项D正确。 举一反三 2.如图所示， 、 是两个空间向量，且面 面 ， ，则 与 是 相等 向量， 与 是相反 向量. 解析 根据向量相等相反的概念，第一个空是相等，第二个空是相反。 举一反三 3.如图所示，在平行六面体 中， ， ， ，则 等于（） 解（向量链式相加）： 从 出发，可以经过 、 到达 ： 其中- （因为 ），- ， - 。代入得： 举一反三 4.已知平行六面体 ， 是 的中点，点 在对角线 上且 ，设 ， ， ，试用 、 、 表示 ， ， ， 。 答案： 举一反三 5.如图.在四面体ABCD中E是棱AB的中点F是棱CD上一点.且 A. B. C. D. 解析：连接 ，由题意，得 故选：D. 举一反三 6.已知空间四边形ABCD中，连结AC，BD，设M,G分别是BC，CD的中点，则MG- AB+AD等于（） 解析：因为 分别是 的中点， 所以 则 故选：B. 举一反三 7.如图, 已知平行六面体 , 点 是 的中点, 下列结论中正确的是 ( ) (多选) A. B. C. D. 解析: 对于A, 四边形ABCD是平行四边形, A正确; 对于B, B错误; 对于C, C正确; 对于D, D正确. 故选:ACD. 目标五：小结 学海拾贝 本节课我们通过类比平面向量，完成了空间向量概念及线性运算的学习，核心是掌握“平面向量向空间拓展”的规律，绝大多数规则通用，但需重点规避空间立体场景下的易错点，具体总结如下： 核心知识总结 （1）概念层面：空间向量是空间中既有大小又有方向的量，与平面向量定义一致，仅空间范围不同，任意两个空间向量均可共面； （2）运算层面：空间向量加减、数乘线性运算的法则、运算律完全沿用平面向量，无新规则，可通用三角形、平行四边形法则； （3）核心定理：空间向量共线定理，是空间位置关系证明的基础。 学海拾贝 2. 本节重点注意事项（高频易错点） （1）规避“平面思维定式”误区：虽然两个空间向量可共面，但三个及以上空间向量不一定共面，切勿直接套用平面多向量的运算结论，这是空间向量与平面向量的最大区别； （2）向量相等只看大小和方向：空间向量为自由向量，与向量的起点、终点位置无关，只要大小、方向一致，无论向量在空间哪个位置，均为相等向量，可自由平移； （3）零向量的特殊性：零向量方向任意，判断共线问题时，必须先排除 a=0 的情况，共线定理中明确要求基底向量为非零向量； （4）数乘向量的符号辨析：数乘向量的方向由实数 λ 的正负决定，仅 λ≠0 时可判定方向关系， λ=0 时向量归零，无方向； （5）线性运算的核心逻辑：空间向量线性运算的本质是将空间问题转化为平面问题，解题时可灵活平移向量，构造共面图形简化运算； 【新教材】人教B版·高二 选修第一册 感谢聆听! $