第一章 1.1.1 第1课时 空间向量的概念及线性运算（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

本讲义聚焦空间向量的概念及线性运算核心知识点，从平面向量类比推广，系统梳理空间向量的定义、特殊向量（零向量、单位向量等）及线性运算（加减、数乘）的几何意义，结合共线问题应用，构建从概念到运算再到应用的学习支架。 资料以国庆节游客位移为情境导入，引导学生用数学眼光观察空间问题，通过类比平面向量学习空间向量，培养抽象能力与空间观念。结合正方体、平行六面体等几何模型解析例题，助力学生用数学语言表达向量关系，课中辅助教师高效授课，课后便于学生回顾总结，弥补知识盲点。

1.1.1　空间向量及其运算 第1课时　空间向量的概念及线性运算 [学习目标]　1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的相关概念.2.掌握空间向量的加法、减法及数乘运算，理解其几何意义.3.掌握空间向量线性运算的应用． 导语 国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？解决上述问题都离不开它——空间向量． 一、空间向量的概念 问题1　你还记得平面向量中有哪些与向量相关的概念？ 提示　①向量的概念：在平面内既有大小又有方向的量称为向量；②画法：用有向线段AB画出来；③表示方法：或a(书写时用带箭头的小写字母表示)；④零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，零向量的方向是不确定的；⑤单位向量：在平面中模为1的向量称为单位向量；⑥相等的向量：在平面中方向相同且大小相等的向量称为相等的向量；⑦相反向量：在平面中大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量． 知识梳理 1．空间中既有大小又有方向的量称为空间向量，向量的大小也称为向量的模(或长度)．空间向量可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，向量a的始点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为|a|或||. 2．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 始点和终点相同的向量称为零向量，记为0 单位向量 模等于1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a大小相等、方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a 平行(共线)向量 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行(也称为两个向量共线) 相等的向量 大小相等、方向相同的向量称为相等的向量 3.共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移之后，都能在同一平面内，则称这些向量共面；否则，称这些向量不共面． 注意点：(1)空间向量的模可以比较大小，任意两个空间向量可以相等，但不能比较大小． (2)共线向量不一定具有传递性，比如其中一向量为0时，不具有传递性． (3)空间向量书写时必须加“→”． (4)单位向量方向不确定． 例1　(1)下列关于空间向量的说法中正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．空间向量就是空间中的一条有向线段 C．若向量，满足||>||，则> D．相等的向量其方向必相同 答案　D 解析　A中，单位向量的长度相等，方向不确定，故A错误； B中，零向量不能用有向线段表示，故B错误； C中，向量不能比较大小，故C错误； D中，由相等的向量定义可知，D正确． (2)(多选)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b B．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有＝ C．若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D．空间中，a∥b，b∥c，则a∥c 答案　 BC 解析　A为假命题，根据相等的向量的定义知，两向量为相等的向量，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝； C为真命题，向量的相等满足传递性； D为假命题，平行向量不一定具有传递性，当b＝0时，a与c不一定平行． 反思感悟　空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等的向量、向量共线、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1　如图所示，以长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中： (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若AB＝AD＝2，AA1＝1，求向量的模． 解　(1)与向量相等的所有向量(除它自身之外)有，及，共3个． (2)向量的相反向量为，，，. (3)||＝ ＝＝3. 二、空间向量的加减法运算 问题2　同学们，你们还记得平面向量的运算法则吗？ 提示　①平面向量的加法法则：向量加法的三角形法则或向量加法的平行四边形法则，记为a＋b；几何意义：(图略)．a＋b表示以a与b首尾相连的三角形的第三边所对应的向量或以a与b为邻边的平行四边形所夹的对角线所对应的向量；口诀为：首尾相连，首向量的起点指向末向量的终点或相同起点对角线所对应向量．②向量减法的三角形法则：记为a－b，几何意义：(图略)．a－b表示以a与b为邻边的平行四边形的另一条对角线所对应向量，口诀：共起点的两个向量相减，其差为减向量的终点指向被减向量的终点的向量． 知识梳理 空间向量的加减法运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和，若封闭，和为0 图形叙述 平行四边 形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法 运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 加法 运算 交换律 a＋b＝b＋a 结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 注意点：(1)两个向量的减法运算可以看成是一个向量加上另一个向量的相反向量． (2)共起点的两个向量相减，其差为减向量的终点指向被减向量的终点的向量． (3)向量的加法和减法运算结果仍是向量． 例2　(1)(多选)如图，在正方体ABCD －A1B1C1D1中，下列各式运算结果为的是(　　) A.－－ B.＋－ C.－－ D.－＋ 答案　AB 解析　A中，－－＝－＝； B中，＋－＝＋＝； C中，－－＝－＝－＝≠； D中，－＋＝＋＋＝＋≠. (2)化简：(－)－(－)＝______. 答案　0 解析　方法一(转化为加法运算) (－)－(－) ＝－－＋＝＋＋＋ ＝＋＋＋＝0. 方法二(转化为减法运算) (－)－(－) ＝(－)＋(－) ＝＋＝0. 反思感悟　空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 跟踪训练2　如图，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果． (1)＋－； (2)－－. 解　(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. (2)连接GF，则－－＝＋＋＝＋＝，如图中向量. 三、空间向量的数乘运算 问题3　平面中是如何表示a＋a＋a的？ 提示　在平面中a＋a＋a＝3a，我们称为向量的数乘运算，其结果仍是一个向量． 知识梳理 空间向量的数乘运算 定义 实数λ与空间向量a相乘的运算简称为数乘向量 几何 意义 λ>0且a≠0 λa与向量a的方向相同 |λa|＝|λ|·|a| λ<0且a≠0 λa与向量a的方向相反 λ＝0或a＝0 λa＝0，其方向是任意的 运算律 结合律 λ(μa)＝(λμ)a 分配律 (λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb 注意点：(1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度． (3)向量λa与向量a一定共线． (4)空间向量的加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算，统称为空间向量的线性运算． 例3　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)；(2)；(3). 解　(1)∵P是C1D1的中点， ∴＝＋＋＝a＋＋ ＝a＋c＋＝a＋b＋c. (2)∵N是BC的中点， ∴＝＋＋＝－a＋b＋ ＝－a＋b＋＝－a＋b＋c. (3)∵M是AA1的中点， ∴＝＋＝＋ ＝－a＋＝a＋b＋c. 延伸探究 1．若本例条件不变，试用a，b，c表示向量. 解　因为P，N分别是C1D1，BC的中点， 所以＝＋＋＝＋(－)＋＝－a＋b－c. 2．若把本例中“P是C1D1的中点”改为“点P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？ 解　＝＋＝＋＋ ＝a＋b＋c. 反思感悟　(1)利用数乘运算解题时，要结合具体图形，运用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)空间向量线性表示的常用结论 ①＝－； ②在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，有＝＋＋； ③若O为空间中任意一点，则 (i)点P是线段AB中点的充要条件是＝(＋)； (ii)若G为△ABC的重心，则＝(＋＋)． 跟踪训练3　点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，求满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值． 解　取PC的中点E，连接NE， 则＝－ ＝－(－) ＝－ ＝－ ＝－－(－) ＝－－(＋－) ＝－－＋， 又因为＝x＋y＋z， 所以实数x，y，z的值分别为－，－，. 四、空间向量线性运算的应用：共线问题 例4　(1)设e1，e2是空间中两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________. 答案　1 解析　＝＋＋＝(e1＋ke2)＋(5e1＋4e2)＋(e1＋2e2)＝7e1＋(k＋6)e2. 设＝λ，则7e1＋(k＋6)e2＝λ(e1＋ke2)，所以λ＝7且λk＝k＋6，解得k＝1. (2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝. 求证：四边形EFGH是梯形． 证明　∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴＝，＝， 则＝－＝－＝ ＝(－)＝ ＝(－)＝， ∴∥且||＝||≠||. 又F不在直线EH上，∴四边形EFGH是梯形． 反思感悟　对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)． 跟踪训练4　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上且＝.求证：E，F，B三点共线． 证明　设＝a，＝b，＝c， 因为＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b，＝(－) ＝(＋－)＝a＋b－c. 所以＝－＝a－b－c ＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，所以＝，所以E，F，B三点共线． 1.知识清单： (1)向量的相关概念． (2)向量的线性运算(加法、减法和数乘)． (3)向量线性运算的应用． 2．方法归纳：类比、三角形法则、平行四边形法则、数形结合思想． 3．常见误区：应抓住向量的“大小”和“方向”两个要素，并注意它是一个“量”，而不是一个数． 1．(多选)下列命题中，是真命题的是(　　) A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 答案　ABC 解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等的向量或相反向量． 2．化简－＋所得的结果是(　　) A. B. C．0 D. 答案　C 解析　－＋＝＋＝－＝0. 3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 答案　A 解析　∵＋＝＋， ∴＝. ∴∥且||＝||. ∴四边形ABCD为平行四边形． 4．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若＝＋x＋y，则x＝________，y＝________. 答案　－　－ 解析　由图可知， 因为＝－ ＝－(＋) ＝－－， 所以x＝y＝－. 　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1．下列说法中正确的是(　　) A．空间中共线的向量必在同一条直线上 B.＝的充要条件是A与C重合，B与D重合 C．在数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D．在四边形ABCD中，一定有＋＝ 答案　C 解析　对于A，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A错误；对于B，＝的充要条件是||＝||，且，同向．但A与C，B与D不一定重合，所以B错误；对于C，λ既决定大小又决定方向，所以C正确；对于D，满足＋＝的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，因而D错误． 2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 答案　A 解析　由向量加法知＋＝＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b＝2，又，有公共点B，故A，B，D三点共线． 3.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　D 解析　对于A，与的方向相反，因而不是相等的向量，所以A错误；对于B，与的方向相反，因而不是相等的向量，所以B错误；对于C，与的方向不同，因而不是相等的向量，所以C错误；对于D，与的方向相同，大小相等，是相等的向量，因而D正确． 4．如图，在三棱锥O－ABC中，设＝a，＝b，＝c，若＝，＝2，则等于(　　) A.a＋b－c B．－a－b＋c C.a－b－c D．－a＋b＋c 答案　A 解析　连接OM，ON(图略)，＝－＝(＋)－(＋)＝(＋)－－＝(＋)－－(－) ＝＋－＝a＋b－c. 5．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　) A．P∈AB B．P∉AB C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上 D．以上都不对 答案　A 解析　因为m＋n＝1，m＝1－n，所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以与共线． 又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB. 6.在空间四边形ABCD中，若△BCD是正三角形，且E为其中心，连接DE，则＋－－的化简结果为(　　) A．0 B. C. D. 答案　A 解析　延长DE，交BC于点F(图略)，则F为BC的中点，所以＝，＝， 所以＋－－ ＝＋＋＋＝0. 7．(5分)已知A，B，C三点共线，若对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，则λ＋m＋n＝________. 答案　0 解析　因为λ≠0，所以＝－－.由A，B，C三点共线得－－＝1，所以λ＋m＋n＝0. 8．(5分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是AA1的中点，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________. 答案　－a－b＋c 解析　 ∵＝＋＋ ＝－－＋， 又∵M是AA1的中点，∴＝， ∴＝－－＋， ∵＝a，＝b，＝c， ∴＝－a－b＋c. 9．(9分)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)＋；(3分) (2)＋＋；(3分) (3)－－.(3分) 解　(1)＋＝. (2)因为M是BB1的中点，所以＝. 又＝， 所以＋＋＝＋＝. (3)－－＝－＝.向量，，如图所示． 10．(12分)如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若＝＋x＋y，求x，y的值． 解　∵＝＋＋ ＝－＋－－ ＝－＋＝－＋(＋) ＝－＋(＋) ＝－＋＋(－) ＝＋－， 又＝＋x＋y， ∴x＝，y＝－. 11．(多选)在空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则下列各式中不正确的是(　　) A.＋＋＋＝0 B.＋＋＋＝0 C.＋＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 答案　ACD 解析　＋＋＋＝＋＋＝＋＝≠0，故A不正确； ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＝0，故B正确； ＋＋＋＝＋＋＝＋＝≠0，故C不正确； ＋＋＋＝＋＋＝＋＝≠0，故D不正确． 12.如图，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，AC与BD的交点为O，点M在BC′上，且BM＝2MC′，则等于(　　) A．－＋＋ B．－＋＋ C.＋＋ D.－＋ 答案　C 解析　 因为BM＝2MC′，所以＝， 在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中， ＝＋＝＋ ＝＋(＋) ＝(－)＋(＋) ＝＋＋. 13．(5分)光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其中AB与EF之比约为9∶10，则化简＋＋＝________. 答案　 解析　延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，如图，则＝＝，又＝，且＝， 所以＋＋＝＋ ＋＝＋＋ ＝＋＝＋＝. 14．(5分)如图所示，P，Q分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，M是PQ上靠近P的三等分点，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________. 答案　 解析　因为P，Q分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，M是PQ上靠近P的三等分点， 所以＝＋＝＋＝＋(＋＋) ＝＋ ＝＋ ＝＋＋， 所以x＝，y＝，z＝， x＋y＋z＝＋＋＝. 15．(多选)已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有(　　) A.＋与＋是一对相反向量 B.－与－是一对相反向量 C.＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量 D.－与－是一对相反向量 答案　ACD 解析　如图所示，＝－，＝－， 所以＋＝－(＋)，是一对相反向量，A正确； －＝，－＝，而＝，故不是相反向量，B错误； C是正确的； －＝，－＝＝－，是一对相反向量，D正确． 16．(12分)如图，已知ABCD－A′B′C′D′是平行六面体． (1)化简＋＋，并在图中标出其结果；(6分) (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC′B′对角线BC′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．(6分) 解　(1)如图，取AA′的中点E，在D′C′上取一点F，使D′F＝2FC′，连接EF， 则＝＋＋. (2)因为＝＋ ＝＋＝(＋)＋(＋) ＝＋＋，所以α＝，β＝，γ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $