第二章 §2.1 坐标法（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件围绕平面直角坐标系中的距离公式、中点公式、重心公式及坐标法应用展开，通过笛卡尔观察蜘蛛运动的故事导入，从点的坐标刻画自然过渡到直线及几何对象的坐标描述，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以“数学眼光”引导发现，如从蜘蛛运动抽象出坐标思想，用“数学思维”通过坐标法转化几何问题，如证明直角三角形斜边中点性质时建立坐标系推理运算。通过反思感悟和分层训练，帮助学生用“数学语言”表达几何关系，提升数形结合能力，也为教师提供系统教学资源和清晰知识脉络。

§2.1 第二章 <<< 坐标法 1.通过数轴上两点间的距离公式的探索，掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式. 2.理解坐标法的意义，并会用坐标法解决有关问题. 学习目标 漫画故事 导 语 有一天，法国数学家笛卡尔生病卧床，但他头脑一直没有休息，在反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程则比较抽象，能不能用几何图形来表示方程呢？他就拼命琢磨，通过什么样的办法，才能把“点”和“数”联系起来. 导 语 突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，在上边左右拉丝.蜘蛛的“表演”，使笛卡尔思路豁然开朗.如果把蜘蛛看作一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？后来在蜘蛛的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系.平面内建立直角坐标系后，点的位置可以用坐标来刻画.此时，平面内的直线是否可以通过直线上点的坐标来刻画呢？平面内其他几何对象能否也用类似的方法来描述？这些都是本章我们要一起去探讨的问题. 一、平面直角坐标系中的基本公式 二、用坐标法证明几何问题 课时对点练 三、坐标法的应用 随堂演练 内容索引 平面直角坐标系中的基本公式 一 提示　可以解决一些有关距离和中点的问题. 利用平面直角坐标系中的基本公式可以解决哪些问题？ 问题1 提示　(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上； (2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴； (3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点，将图形的对称轴作为坐标轴. 如何建立平面直角坐标系？ 问题2 1.数轴上的基本公式 如果数轴上点A对应的数为x1(即A的坐标为 ，记作 )，且B(x2). (1)向量 的坐标为 . (2)A，B两点之间的距离为|AB|＝| |＝ . (3)A，B两点的中点坐标为x＝ . x1 A(x1) x2－x1 |x2－x1| 知识梳理 2.平面直角坐标系中的基本公式 已知A(x1，y1)，B(x2，y2). (1) ＝ . (2)两点间的距离公式： |AB|＝| |＝ . (3)中点坐标公式：若M(x，y)为AB的中点，则x＝ ，y＝ . (x2－x1，y2－y1) (1)已知数轴上A(－4)，B(3)，则|AB|＝_____. (2)若A(－5,6)，B(a，－2)两点之间的距离为10，则a＝_________. ∴a＝1或－11. 例 1 7 1或－11 11 (3)已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(－3,4)，求另外两顶点C，D的坐标. 12 设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点， 设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点， 故C点的坐标为(－10,6)，D点的坐标为(－11,1). 13 (1)两点间的距离公式应用的两种形式 ①在求到某点的距离满足某些条件的点P(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可. ②利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状. (2)利用中点坐标公式可求得以A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)为顶点的△ABC的重心坐标为 反 思 感 悟 14 　(1)已知点A(－3,4)，点B(2,1)，试在x轴上找一点P，使得 d(P，A)＝d(P，B)，则d(P，A)＝______. 跟踪训练 1 设P(x,0)，由题意得 由d(P，A)＝d(P，B)， 15 (2)点M(4,3)关于点N(5，－3)的对称点的坐标为___________. 设所求点的坐标为(x，y)， 故所求对称点的坐标为(6，－9). (6，－9) 16 二 用坐标法证明几何问题 通过建立平面直角坐标系，将几何问题转化为 ，然后通过____ _____等解决问题的方法称为坐标法. 代数问题 代数 运算 知识梳理 18 证明：直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 例 2 19 如图所示，以直角三角形的直角顶点C为坐标原点，直角边CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则C(0,0). 设A(a,0)，B(0，b)， 20 所以|OM|＝|BM|＝|MA|. 即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等. 21 反 思 感 悟 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论. 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 　如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：|AE|＝|CD|. 跟踪训练 2 23 令△ABD的边长为a，△BCE的边长为b， 如图，以点B为坐标原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系， ∴|AE|＝|CD|，即证原等式成立. 24 坐标法的应用 三 已知正△ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求此最小值. 例 3 26 以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示. 设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2 27 28 反 思 感 悟 (1)建立平面直角坐标系. (2)分类讨论所有可能的情况. (3)分别进行代数运算. (4)回归几何问题. 坐标法解决问题的一般解题步骤 　已知一平行四边形三个顶点的坐标分别为(－1，－2)，(3,1)，(0,2)，求这个平行四边形第四个顶点的坐标. 跟踪训练 3 30 设A(－1，－2)，B(3,1)，C(0,2)，第四个顶点D的坐标为(x，y)， (1)若四边形ABCD是平行四边形， ∴点D的坐标为(－4，－1). 31 (2)若四边形ABDC是平行四边形， ∴点D的坐标为(4,5). (3)若四边形ACBD是平行四边形， 32 ∴点D的坐标为(2，－3). 综上所述，满足条件的平行四边形第四个顶点的坐标为(－4，－1)或(4,5)或(2，－3). 33 1.知识清单： (1)数轴上的基本公式. (2)平面直角坐标系中的两点间距离公式、中点坐标公式和重心坐标公式. (3)坐标法的应用. 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. 3.常见误区：用坐标法解决几何问题时，最后需还原到原几何问题. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.下列各组点中，点C位于点D的右侧的是 A.C(－3)和D(－4) B.C(3)和D(4) C.C(－4)和D(3) D.C(－4)和D(－3) √ 1 2 3 4 2.已知A(－8，－3)，B(5，－3)，则线段AB的中点坐标为 √ 3.已知点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)，且|PQ|＝|PM|，则a的值是 1 2 3 4 √ 因为点P(a,2)，Q(－2，－3)，M(1,1)， 且|PQ|＝|PM|， 1 2 3 4 4.已知△ABC的三个顶点坐标是A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7).则△ABC的形状是________________. 等腰直角三角形 ∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2且|AB|＝|AC|， ∴△ABC是等腰直角三角形. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在数轴上从点A(－2)引一线段到点B(1)，再同向延长同样的长度到点C，则点C的坐标为 A.13 B.0 C.4 D.－2 √ 如图所示，故C(4)为所求. 2.若点P(x，y)到两点M(2,3)，N(4,5)的距离相等，则x＋y的值为 A.5 B.6 C.7 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.若x轴的正半轴上的点M到原点与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为 A.(2,0) B.(1,0) 设M(x,0)(x>0)， 则由已知得x2＝52＋(－3)2＝34. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于 设A(a,0)，B(0，b)， 解得a＝4，b＝－2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是 A.(6,4) B.(2,0) C.(4,6) D.(0,2) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)对于 ，下列说法正确的是 A.可看作点(x,0)与点(1,2)的距离 B.可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离 C.可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离 D.可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可看作点(x,0)与点(－1，－2)的距离， 可看作点(x,0)与点(－1,2)的距离， 可看作点(x，－1)与点(－1,1)的距离，故选项A不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.在△ABC中，A(1，－2)，B(－3,2)，C(－4,12)，其重心坐标为_______，AB边的中线长为______. (－2,4) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵在△ABC中,A(1，－2)，B(－3,2)，C(－4,12)，设重心坐标为G(xG，yG)， ∴重心坐标为(－2,4). ∴AB的中点坐标为(－1,0)， 9.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，－1)，B(－1,3)，C(3,0). (1)判断△ABC的形状； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得， ∵|AB|2＋|AC|2＝|BC|2， ∴△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形. (2)求△ABC的面积. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由角A为直角，得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知AO是△ABC中BC边的中线，证明：|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 取BC边所在直线为x轴，BC边的中点为原点， 建立平面直角坐标系，如图所示. 设A(m，n)，B(－a,0)，C(a,0)(a>0)， 则|AB|2＋|AC|2＝(m＋a)2＋n2＋(m－a)2＋n2＝2(m2＋a2＋n2)， 又|AO|2＋|OC|2＝m2＋n2＋a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|OC|2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 ∴|CA|＝|CB|＋|BA|＝8且A在C右侧， ∴D在A左侧，且|AD|＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 12.已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射之后经过点B(2,10)，则光线从点A到点B的距离为 √ 点B(2,10)关于x轴的对称点为B′(2，－10)，由光线反射的对称性可知，从点A到点B的光线距离就是线段AB′的长度. 14.使得|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－∞，4] 设函数y＝|x－3|＋|x＋1|， 则y表示到点A(3)和B(－1)的距离的和， 即y≥4， 所以使|x－3|＋|x＋1|≥a恒成立的a的取值范围为(－∞，4]. 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，则A′(－2，－4). 要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值， 当且仅当A′，M，B三点共线时等号成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(定义新知)在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2，可以用绝对值表示点M，N两点间的距离d(M，N)，即d(M，N)＝|x1－x2|. (初步应用)(1)在数轴上，点A，B，C分别表示数－1，2，x，解答下列问题： ①d(A，B)＝____； 3 d(A，B)＝|－1－2|＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②若d(A，C)＝2，则x的值为________； －3或1 ∵d(A，C)＝2， ∴|－1－x|＝2，即－1－x＝2或－1－x＝－2. ∴x＝－3或x＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x为整数，则符合条件的x的取值有_____个. 4 ∵d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，∴|－1－x|＋|2－x|＝3， 当x≤－1时，|－1－x|＋|2－x|＝－1－x＋2－x＝3，x＝－1； 当－1<x≤2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋2－x＝3，符合条件的x的取值为0,1,2； 当x>2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋x－2＝3，x＝2(舍去)， 综上所述，符合条件的x的取值有4个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (综合应用)(2)在数轴上，点D，E，F分别表示数－2，4,6.动点P沿数轴从点D开始运动，到达点F后立刻返回，再回到点D时停止运动.在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位.设点P的运动时间为t秒. ①当t＝________时，d(D，P)＝3； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，d(D，F)＝8，点P从D到F的时间为4秒，运动路程为2t， 当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2，则 d(D，P)＝|－2－(2t－2)|＝3， 当4<t≤8时，点P表示的数为14－2t，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示d(E，P). 答案　当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2， 则d(E，P)＝|4－(2t－2)|＝|6－2t|； 当4<t≤8时，点P表示的数为14－2t， 则d(E，P)＝|4－(14－2t)|＝|2t－10|. ∵|AB|＝＝10， 得解得 得解得 .  d(P，A)＝ ＝. d(P，A)＝＝， d(P，B)＝＝. 即＝， 化简得x＝－2，故点P的坐标为， 则解得 则斜边中点M的坐标为. 因为|OM|＝＝， |BM|＝＝， |MA|＝＝， 则A(－a,0)，C(b,0)，D，E. |AE|＝＝， |CD|＝＝， ＝3x2＋32＋a2≥a2， 则A，B，C， ＝x2＋2＋2＋y2＋2＋y2 ＝3x2＋3y2－ay＋a2 当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立， 所以所求最小值为a2，此时点P的坐标为. 则由中点坐标公式得 解得 则由中点坐标公式得解得 则由中点坐标公式得 解得 A. B. C. D. 解得a＝－. A.－2 B.2 C.－ D. 所以＝， |AC|＝＝2， 又|BC|＝＝2， ∵|AB|＝＝2， 由两点间距离公式，得＝，两边平方，得x＋y＝7. 又x>0，∴x＝，∴M(，0). C. D.(，0)   A.5 B.4 C.2 D.2 则＝2，＝－1， ∴|AB|＝2. 设B(x，y)，＝(3，－1)，＝(x－3，y－3)， 则 解得或 由题意，可得 ＝ ＝ ＝， 由题意知，解得 ∴d＝＝. 3 ∴xG＝＝－2，yG＝＝4， 又∵AB中点的横坐标为x＝＝－1， 纵坐标为y＝＝0， ∴AB边的中线长为＝3.  d(A，B)＝＝2，  d(A，C)＝＝，  d(B，C)＝＝5. S△ABC＝|AB|·|AC|＝×2×＝5. 11.若A，B，C，D是数轴上的四个点，且＝6，＝－2，＝6，则等于 A.0 B.－2 C.10 D.－10 如图，＝6，|BA|＝6，且A在B右侧，  ＝－2，|BC|＝2，且C在B左侧， 又＝6，∴|CD|＝6且D在C右侧， ∴＝－2.  A.－ B.－ C. D. |AB|＝ ＝，所以当a＝时，|AB|最小. A.5 B.2 C.10 D.5  |AB′|＝＝5. 15.著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)间的距离.结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为 A.2 B.5 C.4 D.8 ∵f(x)＝＋ ＝＋， 利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝5， 即f(x)＝＋的最小值为5. 或 解得t＝或t＝－(舍去)；  d(D，P)＝|－2－(14－2t)|＝3，解得t＝(舍去)或t＝， 综上所述，t＝或. $