第一章 再练一课(范围：§1.1)（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，涵盖空间直角坐标系、向量运算、几何体中向量应用等核心内容，从基础概念判断到坐标问题再到综合运算，逐步深入形成学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过空间直角坐标系建模，结合向量运算解决几何问题，如圆台轴截面向量夹角计算、正方体中点坐标应用，体现数学眼光的空间观念、数学思维的推理能力和数学语言的模型表达。学生能提升空间想象与运算能力，教师可借助典型例题和详细解析提高教学效率。

第一章 <<< 再练一课(范围：§1.1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 一、单项选择题 1.下列命题中为真命题的是 A.向量 的长度相等 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一 个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于选项B，其终点构成一个球面； 对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但不是有向线段； 对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可能相等. 2.空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于zOx平面对称，则点Q的坐标是 A.(－3,2,5) B.(3，－2,5) C.(3,2，－5) D.(－3，－2，－5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 空间直角坐标系中，点P(3，－2，－5)， 因为点Q与点P关于zOx平面对称， 所以点Q的坐标是(3,2，－5). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 3.在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知向量a＝(－1,1,2)，b＝(2，－1,0)，则a在b上的投影的数量为 √ a在b上的投影的数量为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设圆台的上底面圆心为M，下底面圆心为O， 过点C作CN⊥AB于点N， 连接OE，因为E为 的中点，所以OE⊥AB，以O为原点，分别以OE，OB，OM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 6.△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 二、多项选择题 7.已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若 则Q点的坐标为 A.(2,5,0) B.(－4，－1，－6) C.(3,4,1) D.(－3，－2，－5) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1,2，－2)，B(0,1,1)，下列结论正确的有 C.点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1，－2,2) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1,2,2)，故C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 如图所示建立空间直角坐标系， 则A(1,0,0)，B(1,1,0)，设点P(a，a,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由E为PD的中点知， 11.如图，设边长为2的正方形ABCD的中心为O，过点O作平面ABCD的垂线VO，VO＝2，E为VO的中点， 则 夹角的余弦值为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz， 则B(1,1,0)，E(0,0,1)， V(0,0,2)，C(－1，1,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点P在线段AC1上(不含端点). 若∠BPD是锐角，则线段C1P长度的取值范围为__________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,2)，A(2,0,0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为∠BPD是锐角， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别在B1B和D1D上，且 (1)证明：A，E，C1，F四点共面； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以A，E，C1，F四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.已知向量a＝(2,1，－2)，c＝(－1，0,1)，若向量b同时满足下列三个条件：①a·b＝－1；②|b|＝3；③b与c垂直. (1)求向量b的坐标； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴b＝(2，－1,2)或b＝(－2，－1，－2). (2)若向量b与向量d＝ 共线，求向量a－b与2b＋3c夹角的余 弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴b＝(2，－1,2). 又∵a＝(2,1，－2)，c＝(－1,0,1)， ∴a－b＝(0,2，－4)，2b＋3c＝(1，－2,7)， ∴(a－b)·(2b＋3c)＝－32， ∴a－b与2b＋3c夹角的余弦值为 15.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍，P为侧棱SD的中点，试用向量法解决下面的问题. (1)求证：AC⊥SD； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 连接BD， 交AC于点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD. 以O为坐标原点， 的方向分别为x轴、 y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图 所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若BC＝2，求线段BP的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为BC＝2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 与  A. B.3 C. D. 在空间直角坐标系中，点M(1,2,3)到z轴的距离为＝. A.－ B. C.－ D.  |a|cos〈a，b〉＝＝＝－. 5.如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，AD＝CD＝AB＝2，E为 的中点，F为母线BC的中点，则和所成角的正切值为 A. B. C. D.2 则OM＝CN＝ ＝＝， 则A(0，－2,0)，C(0,1，)，E(2,0,0)，F， ＝(0,3，)，＝， cos〈，〉＝＝＝， 设和所成的角为θ，θ∈[0，π]， 可得tan θ＝. A.5 B. C.4 D.2 设＝λ， 又＝(0,4，－3)，则＝(0,4λ，－3λ). 又∵＝(4，－5,0)，∴＝(－4,4λ＋5，－3λ). 由·＝0，得λ＝－， ∴＝，∴||＝5. ||＝3||且∥， 设Q(x，y，z)，则＝(x＋1，y－2，z＋3)，＝(1,1,1)， ∴ 解得或 A.＝(－1，－1,3) B.若m＝(2,1,1)，则m⊥ D.||＝ ∵A(1,2，－2)，B(0,1,1)，∴＝(－1，－1,3)，故A正确； ||＝＝，故D错误； 若m＝(2,1,1)，则m·＝2×(－1)＋1×(－1)＋1×3＝0，则m⊥， 故B正确； 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，点P为B1D1上一点且·＝1，则等于 A. B. C. D.1 ∴＝(a－1，a,1)，＝(a－1，a－1,1)， ∴·＝(a－1)2＋a(a－1)＋1＝1， 解得a＝1或a＝. 当a＝1时，点P在B1处，∴＝1， 当a＝时，P为D1B1的中点，∴＝. 三、填空题 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点， 若＝a，＝b，＝c，则＝_____________(用a，b，c表示). a－b＋c ＝(＋)＝－＋(＋) ＝－＋＋ ＝－＋(－)＋(－) ＝－＋＋＝a－b＋c. 与 则＝(－1，－1,2)， ＝(1，－1，1)， 故cos〈，〉＝＝＝， 即与夹角的余弦值为. ＝(2，－2，－2)， 设＝λ，λ∈(0,1)， 则＝(2λ，－2λ，－2λ)，则P(2λ，2－2λ，2－2λ)， 所以＝(－2λ，2λ－2,2λ－2)，＝(2－2λ，2λ，2λ－2)， 显然与不可能同向， 所以·＝12λ2－16λ＋4>0， 解得λ>1或λ<，又λ∈(0,1)， 所以λ∈，又||＝2， 所以||＝λ||∈，即线段C1P长度的取值范围为. BE＝BB1，DF＝DD1. 因为＝＋＋ ＝＋＋＋ ＝＋ ＝(＋)＋(＋)＝＋， (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值. 因为＝－ ＝＋－(＋) ＝＋－－ ＝－＋＋， 所以x＝－1，y＝1，z＝， 所以x＋y＋z＝. 设b＝(x，y，z)，则由题意可知 解得或 ∵向量b与向量d＝共线， 且|a－b|＝2，|2b＋3c|＝3， cos〈a－b,2b＋3c〉＝＝－. 设底面边长为a，则高SO＝a， 于是O(0,0,0)，S，D，C， ，， 所以＝，＝， 所以·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD. 所以B(，0,0)，S(0,0，)，D(－，0,0). 由中点坐标公式，可得P， 所以＝， 所以||＝＝， 即线段BP的长为. $