第一章 空间向量与立体几何全章高频重点题型突破（十大高频+七大重难题型+三大易错点，专项训练）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何，以基础概念→核心应用→易错规避为逻辑主线，覆盖高频题型与创新考法，培养空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|10题型|空间向量概念辨析、线性运算、平行垂直证明等基础题型|从概念生成到简单应用，构建向量工具基础| |核心提升|7题型|线面角、二面角、探究性/轨迹/新定义问题等综合题型|从运算深化到复杂场景，体现知识迁移应用| |易错归纳|3归纳|向量夹角与异面直线角、法向量与二面角关系等易错点|针对认知盲区，强化逻辑辨析能力|

第一章 空间向量与立体几何全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 空间向量的概念辨析 题型6 根据平行垂直求参数 题型2 空间向量的线性运算 题型7 空间向量证明平行问题 题型3 空间向量共线共面问题 题型8 空间向量证明垂直问题 题型4 求空间向量的数量积 题型9 空间向量的投影向量 题型5 空间向量数量积求模长与夹角 题型10 空间向量求异面直线夹角 核心提升·重难题型归纳 题型1 空间向量求线面角 题型2 空间向量求二面角 题型3 空间向量求点到直线的距离 题型4 点面、线面、面面距 题型5 空间中的探究性问题 题型6 空间中的轨迹问题 题型7 立体几何中的新定义问题 易错归纳·查缺补漏避陷阱 易错归纳1 弄错两向量夹角为锐角或钝角的等价条件 易错归纳2 混淆向量所成角与异面直线所成角的关系 易错归纳3 混淆平面法向量所成角与二面角的关系 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 空间向量的概念辨析 1．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 2．（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 3．（多选）（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 【答案】ABD 【分析】根据单位向量、相等向量、共线向量、向量的数量积等逐项进行分析判断即可. 【详解】选项A：单位向量的模长均为1，但方向任意，而相等向量需要模长和方向都相同，因此空间任意两个单位向量不一定相等，A错误. 选项B：因为为非零向量，所以可化为，故，无法推出，B错误. 选项C：若，则，即， 所以，说明反向共线； 当共线时，①同向时，，②反向时，， 所以不一定等于. 因此是共线的充分不必要条件，C正确. 选项D：向量是既有大小又有方向的量，不能直接比较大小，故D错误. 故选：ABD. 4．（多选）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项, 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 5．（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期中）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 【答案】BD 【分析】A：根据直线可能平行或重合作出判断；B：由单位向量的模长均为作出判断；C：根据数量积小于，向量夹角为钝角或作出判断；D：根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A：若空间向量共线，则向量所在直线平行或重合，故A错误； B：若与是空间单位向量，则，故B正确； C：若，则与的夹角为钝角或，故C错误； D：由空间中任意两个向量共面，可知D正确； 故选：BD. ◆题型2 空间向量的线性运算 1．（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 2．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 是的中点，故， 故． 3．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在梯形中，， 所以， 所以. 5．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． 【答案】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】由，则，即， 则. ◆题型3 空间向量共线共面问题 1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据空间向量共线和共面的定义逐一判断即可. 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由上可知：因为任意两个空间向量总是共面的， 所以，是共面向量，又与共线，即， 所以向量可以平移到向量，所在的平面内， 所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 3．（多选）（25-26高二下·浙江·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 【答案】AC 【分析】使用空间向量的坐标表示及其运算即可求得A，使用空间向量共线定理结合数乘运算解B，使用空间向量的模的运算解C，由空间向量垂直的判定结合空间向量数量积的坐标运算解D即可. 【详解】对于A，由题意得，故A正确； 对于B，由题意得， 若三点共线，则存在实数，使得， 即，无解，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，由题意得， ， 即与不垂直，故D错误. 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 【答案】/ 【分析】根据共面向量定理，点在平面内，等价于向量可由不共线的向量线性表示，通过坐标对应相等，列方程组求解. 【详解】因为点在平面内，所以共面，且不共线， 根据共面向量定理，存在实数，使得， 将各向量坐标代入，得， 根据向量相等，对应坐标相等， 得，解得. 6．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ 【答案】 【分析】利用空间四点共面的向量充要条件，对已知向量等式变形后列方程求解参数m. 【详解】根据向量线性运算的三角形法则，， 则，即， 因为，，，四点共面，所以，解得. ◆题型4 求空间向量的数量积 1．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由题意可得，则． 2．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量加法运算可得，，再利用数量积的运算律计算，并由的取值范围，结合余弦函数的图象性质得到最终结果. 【详解】由题意得,, 所以 . 由,得, 所以. 故选：A. 3．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 【答案】 【详解】因为，所以 . 4．（2026·山东聊城·三模）在三棱柱中，为等腰直角三角形，且，，若直线与平面所成的角为60°，则的最小值为________． 【答案】8 【分析】可通过空间向量分解和线面角性质来求解，核心是利用线面角的约束条件，将向量正交分解，转化为平面向量求最值即可. 【详解】， 即， 因为直线与平面所成的角为60°，故在平面内的投影满足：， 即投影点在底面以为圆心，半径为的圆上，故的竖直分量垂直于平面， 因此，等价于投影向量，其中，， 根据向量性质，， 当且仅当与同向时取得最大值24， 故. 5．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又， ． ◆题型5 空间向量数量积求模长与夹角 1．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以. 2．（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，平方后求解即可． 【详解】点是的重心，以为起点，则 ， ，， 故选：D． 3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用直棱柱的结构特征及空间向量数量积求解. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面，平面， 则，由，，得，则， 由，得E为的中点，则， 由，得，则， 因此＝， 所以向量与的夹角的余弦值是. 4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 【答案】 【分析】先得到，两边平方，从而得到模长 【详解】， ， 所以. 5．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【分析】由题意得，，两两之间夹角都是，展开后利用数量积的定义直接运算再开方即可得解. 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. ◆题型6 根据平行垂直求参数 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 3．（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 4．（多选）（25-26高二上·云南文山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 【答案】ABC 【详解】已知在空间直角坐标系中，，，原点， 则 ，，. 选项A：的模长， 因此A正确； 选项B：，因此B正确； 选项C：已知，且，因此，解得，因此C正确； 选项D：已知，且，因此，解得，因此D错误. 5．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 6．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． 【答案】 【详解】由A，B，C三点共线，即，共线， 显然存在实数使得，即可得 所以可得. ◆题型7 空间向量证明平行问题 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 【答案】B 【分析】通过计算直线的方向向量与平面的法向量的数量积，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，所以， 所以或. 2．（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 【答案】B 【详解】若，由于是直线的方向向量，这意味着直线的方向向量与平面的法向量垂直。 此时直线可能与平面平行，但也可能在平面内，因此不能推出，故充分性不成立； 若，则直线的方向向量必定与平面的法向量垂直，即一定成立，故必要性成立， 综上，“”是“”的必要不充分条件. 3．（25-26高二下·上海宝山·期末）空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 【答案】 【详解】若直线，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，即， 由，，则， 解得：. 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； 【答案】证明见解析 【详解】依题意，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，，，分别是棱，，，的中点，． 所以，，，． 所以，， 则，而点直线，所以． ◆题型8 空间向量证明垂直问题 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 【答案】C 【详解】如图建立空间直角坐标系：以为原点，分别以为轴， 根据已知边长，，，写出各点坐标： ，是中点，得； 是中点，得, 求向量： , 计算向量的数量积可得：， 由数量积为0可判断两向量垂直，即与垂直. 2．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，应用空间向量的数量积计算判断各个选项． 【详解】在堑堵中，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 不妨设，因，， 则得. 对于A，因，由可得不成立，故A错误； 对于B, 因，由，可得不成立，故B错误； 对于C，因，由，可得，故C正确； 对于D，因，由，可得不成立，故D错误. 3．（多选）（25-26高二下·甘肃平凉·期中）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【分析】根据空间向量减法的坐标运算及空间向量垂直的坐标表示、法向量的概念即可求解. 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 4．（多选）（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别是的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BC 【分析】根据异面直线、线面平行、线线垂直、线面垂直、空间向量运算等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】选项A，由于，所以四边形是平行四边形， 所以，由于与是异面直线，所以PQ与不平行，故A错误； 选项B，取的中点，连接PM，QM，由于是的中点，所以， 由于平面，平面，所以平面. 由于，所以四边形是平行四边形， 所以，由于平面，平面，所以平面. 由于平面， 所以平面平面，由于平面，所以平面，故B正确； 选项C，在中，，则四边形是菱形，. ， ，所以， 由于平面， 所以平面，因为平面，所以，故C正确； 选项D，设，不妨设， 则， 因， 则 所以AQ不垂直于，故D错误. 5．（多选）（2026·广西贵港·三模）正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（   ） A．与平面平行 B． C．平面 D．四边形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理判断ABC；求出四边形面积判断D. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于A，，即，而直线， 因此，又平面，平面， 则平面，A正确； 对于B，，， 因此，B正确； 对于C，，， 因此不垂直，直线与平面不垂直，C错误； 对于D，， 等腰梯形的高， 因此四边形的面积，D正确. ◆题型9 空间向量的投影向量 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为. 2．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积及向量模的坐标表示计算，再利用投影向量的意义求解. 【详解】空间向量，则，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：B 3．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得：，因为在的投影向量为， 所以，即：，且， 代入，，化简得：，解得：， 所以. 4．（25-26高三上·广东深圳·期末）在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，并用坐标表示向量 和 ，再求出空间向量的点积及模长，最后运用向量在另一向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】 设正方体棱长为 ，且 为 中点，并以 为原点，分别以 为 轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， ， 所以， ， 所以向量在向量上的投影向量为：. 故选：D. 5．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 【答案】 【分析】先利用共面向量定理求出参数的值，再根据向量投影公式及模的公式计算即可得. 【详解】由，，，共面，则可设， 即有，解得，即， 则， 故在上的投影向量的模为. 6．（25-26高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，，若在上的投影向量为，则______. 【答案】4 【分析】由投影向量计算公式即可求解. 【详解】若在上的投影向量为， 即， 则，解得. 故答案为：4 7．（25-26高二上·福建福州·期中）空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出在上的投影向量即可得解. 【详解】由向量，得，， 因此在上的投影向量，所以. 故答案为： ◆题型10 空间向量求异面直线夹角 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，， 设直线与所成的角为，则， 即直线与所成角的余弦值为. 2．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成的角相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解． 【详解】因为为直线的方向向量，为直线的方向向量，与的夹角的余弦值为， 所以，解得． 故选：C 4．（24-25高二上·全国·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出的坐标，结合条件运算得解. 【详解】以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，    则， 所以，， ， 可得， 所以， 所以，可得． 故选：C. 5．（2026·福建龙岩·三模）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部（不含边界）的一点，且 ，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据椭圆的定义的动点的轨迹方程，根据异面直线所成角空间向量法得其表达式，利用换元法结合二次函数性质计算可得取值范围. 【详解】如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 设，在平面内，由，符合椭圆的定义． 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为， 由题意可知， 所以椭圆方程为：， 显然， 又，则， 直线与所成角的余弦值 又，代入得， 当时，令，， 由二次函数性质可知，在上单调递增，所以， 所以. ◆题型1 空间向量求线面角 1．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法求线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则. 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量与平面法向量的夹角的余弦值从而求得直线与平面夹角的正弦值. 【详解】连接，以为原点，分别以方向为轴建立空间直角坐标系，如下图所示 设正方体棱长为1，则， ，，， 设平面的法向量为，则， 代入可得，令，则， 所以， 设直线与平面的夹角为，与平面的法向量夹角为， ， 即直线与平面所成角的正弦值为. 3．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 4．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，求和面的一个法向量，由得到关系，再结合二次函数性质计算即可求解. 【详解】由题意可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则，而平面的一个法向量， 由直线与平面所成的角为得， 整理得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故选：D 5．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在正三棱柱中，，点分别在棱上，已知，则与平面所成角的正弦值为__________． 【答案】 【分析】利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用数量积公式求解. 【详解】取的中点，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则， 设平面的法向量， 则，，取，解得， 故平面的法向量，，， ， 设与平面所成的角为， 则， 故与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 6．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. ◆题型2 空间向量求二面角 1．（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式列式求解. 【详解】设二面角的大小为，由， 得，， 则， 而，由对角线与所成角的余弦值为，得， 解得，又，解得， 所以二面角的大小为. 2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，建系，写出相关点的坐标，设，求出两平面的法向量，利用空间向量的夹角公式，结合余弦函数的性质即可求得. 【详解】如图，设正方体的棱长为1，则， 设，则，， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面的法向量为， 则，故可取， 设二面角的平面角为，由题意，为锐角，则 ， 当时，，则； 当时，， 因在单调递减，故， 此时，则得， 综上，可得， 故二面角的最大值为. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】先判断二面角的平面角为，然后根据向量的模的公式以及向量数量积的定义进行计算即可. 【详解】因为正方形和正方形，所以， 因为平面平面，二面角的大小是， 所以，因为， 所以， 因为正方形和正方形的边长都是2，所以， 因为，所以， 而， 所以. 故选：A. 4．（25-26高二下·西藏昌都·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小． 【答案】(1)因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 底面ABCD为正方形，，，平面PBD，平面PBD， 所以平面PBD，平面PBD，所以， 平面ABCD，平面ABCD，所以， 在中，，，又点E为线段PO中点，所以， 因为，平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及性质证明即可. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法求解即可. 【详解】（1）略 （2）如图所示，建立空间直角坐标系，    则，，，，， 则，，，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即，令，则，所以． 由（1）可知，为平面PAC的法向量， 设平面PAC与平面PBC夹角为，则， 又，所以，即平面PAC与平面PBC夹角为． 5．（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． 【答案】(1)连接，，， 所以，均在的垂直平分线上，即垂直平分． 又平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以． (2)． 【分析】（1）求证平面，再利用线面垂直的定义即可； （2）以为坐标原点建系，利用法向量计算面面角即可. 【详解】（1）略 （2）设，交于，，，为正三角形， ，， 又，所以． 以为坐标原点，分别以，为，轴，以平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 因为，所以，则，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 又，， 设平面的法向量为， 则，设，则． 因为平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得． 故． ◆题型3 空间向量求点到直线的距离 1．（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出向量、，利用空间向量法求解即可. 【详解】由题意可得，， 所以点到直线的距离为. 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 3．（25-26高一下·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由向量关系求解. 【详解】由题意，建立如图所示空间直角坐标系： 则，所以， 所以点到直线的距离为. 4．（25-26高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 【答案】/ 【详解】依题意，，，，， 所以. 5．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.    因为点是棱的中点，所以. 设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即，即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. ◆题型4 点面、线面、面面距 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PMN的法向量，由求解. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，可得. 因为， 所以点A到平面PMN的距离. 2．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 3．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      4．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 5．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得的长度最小值即异面直线和的距离，建立如图所示空间直角坐标系，再求出直线和的法向量，利用空间点面距离公式求解即可. 【详解】点在上，点在上， 则的长度最小值即异面直线和的距离， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 设为直线和的法向量， 又因为，，， 则，令，则， 所以异面直线和的距离为， 即的长度最小值为. 故选：C. 6．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． 【答案】(1)取的中点，连接，， 因为点是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 由于，分别为正方体的棱，的中点， 所以，，所以四边形为平行四边形，即， 因为平面，平面，所以平面， 由于，平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）略 （2）如图建立空间直角坐标系， 则、、，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以， 所以，令，则，所以， 设点到平面的距离为，则， 由（1）知，∥平面， 则线段到平面的距离即为点到平面的距离， 故线段到平面的距离为． ◆题型5 空间中的探究性问题 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）在正三棱柱中，底面边长，侧棱，点在侧棱上，且满足． (1)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 【答案】(1)存在，，取的中点，连接，则， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，过点作平行的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意，，则，，，， ，，设， 由，，，得，即， 所以，， 若，则，得，满足，符合， 所以，存在，使得； (2) 【分析】（1）取的中点，连接，则，构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，设，根据已知得，再写出的坐标，根据垂直关系列方程求参数，即可得结论； （2）由题意，求出相关平面的法向量，应用向量法求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）若，则，设平面的一个法向量为， 由，，得，取，得， 设平面的一个法向量为， 由，，得，取，则得， 设平面与平面所成的锐二面角为，则， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 2．（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，. (1)证明：平面； (2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)法一：证明：∵，平面，平面， ∴平面. 同理：平面. ∵，平面，平面， ∴平面平面. 又∵平面， ∴平面. 法二：证明：依题意，建立以为原点，分别以，，为轴，轴，轴的空间直角坐标系（如图）， 则，，，，， 设，则. 依题意，是平面的一个法向量. 又因为， ∴，即. ∴. 又∵因为直线平面， ∴平面. (2)存在，点为线段上靠近的三等分点. 【分析】（1）由面面平行的判定定理证明平面平面，从而可证明平面. （2）建立空间直角坐标系，假设存在点满足题意，利用等体积法可得到三棱锥的体积，即可计算出点的位置. 【详解】（1）略. （2） 由（1）可得：，，，，， ∴，，，， 假设存在这样的点，且满足：， ∴. ∴. 设平面的法向量为，则 ，即. 假设，则，，∴ 设点到平面的距离为， ∴. 在△中，，. . ∴. ∴. ∵， ∴，符合题意， ，即点为线段上靠近的三等分点. 3．（25-26高一下·河南郑州·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 证明：取PB的中点D，连接CD； 因为，D为PB的中点， 故； 因为平面平面，且交于PB， 故平面； 因为平面，故； 又因为，且，平面， 故平面； (2)； (3)存在一点，使得二面角的正切值为；． 【分析】(1)根据面面垂直的性质得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合已有的线线垂直，根据线面垂直的判定定理，证明线面垂直； (2)根据第一问的结论，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，写出法向量，代入点到平面的距离公式计算距离； (3)假设存在，根据向量的共线定理设出点的坐标，根据已知条件计算参数，能求出满足题意的值说明存在，否则不存在． 【详解】（1）略 （2） 取BC的中点O，AC的中点F，连接OF，PO； 因为O，F为BC，AC的中点，故； 由(1)可知，平面，故平面； 故，； 又因为为等边三角形，故； 故以O为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系； 因为，， 故，，； 故，，，， ，，； 设为平面的法向量，则 ，故，令，则； 则点到平面的距离为； （3） 设存在点E，使得，； 则； 设为平面的法向量； 为平面的法向量； 则，故， 令，则； 设二面角为， 则，故； 因为， 整理化简可得： 即，化简得：，解得：； 故，则； 综上，存在一点，使得二面角的正切值为． 4．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． (1)证明：． (2)若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：在中，是线段的中点， .∵平面平面，平面平面平面， ∴平面.又∵平面，∴， ∵，即，，平面， ∴平面，∵平面 ∴ (2)(2)①；②存在实数 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得出平面，进而证明，再结合已知证明平面，最后应用线面垂直的定义得出线线垂直； （2）①根据题意，建立恰当的空间直角坐标系，先求出平面与平面的法向量，再根据求平面与平面夹角余弦公式计算求解参数； ②计算得出，进而得出，再应用线面平行的向量关系列式求解. 【详解】（1）略 （2）解：①取的中点，连接，则，由（1）可知，平面. 平面，即两两互相垂直. 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则. 设平面的法向量为， 则即令，则. 设平面的法向量为， 则即令，则. . 设二面角的平面角为， 则. ，解得，即. ②假设实数存在，设点，则. 由，得则 由，得，则， 由（1）知平面的一个法向量. 由平面，得，解得. ∴存在实数，使得当时，平面. 5．（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)因为四边形是正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面平面， 所以平面，又因为平面，所以， 在中，， 因为，所以， 又因为，且平面，所以平面. (2)存在 【分析】（1）通过面面垂直可以证明平面，从而得到，再使用勾股定理证明，最后证明平面； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量，使用空间向量表示出直线BP的方向向量，求出是否存在直线与平面所成角的正弦值为. 【详解】（1）略 （2）如图，过点作， 因为平面平面，所以， 所以，又，所以两两垂直， 如图，以为原点，分别以为轴建立 空间直角坐标系， ，， ， 设，因此的坐标为， 所以. 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 即，解得（舍去）， 因此存在，使得直线与平面所成角的正弦值为. ◆题型6 空间中的轨迹问题 1．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段，进而求解即可. 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 2．（多选）（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）空间直角坐标系中，点，定义.如图，正方体的棱长为3，为棱的中点，点是平面内两个动点，，，则以下结论正确的是（    ） A．点的轨迹是正方形 B．点的轨迹是圆 C．点的轨迹是直线 D．的取值范围 【答案】AB 【分析】建系，求出的轨迹方程，可判断ABC；利用点到圆距离最值可判断D. 【详解】以 为原点，、、 分别为 、、 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则各点坐标为：，，，，， 由 为 中点，故 ， 点 在平面 内，设 ，， 由 得： 在平面 上，方程 表示一个中心在 、 顶点为 、、、 的边长为 的正方形，选项 A 正确； ， ， 由 得 ， ， 两边平方：， 化简得：， 整理得： 在平面 上，这是圆心为 、半径为 的圆，选项 B 正确，选项 C 错误； 表示点 （在正方形边界上）与点 （在圆上）之间的欧几里得距离， 最小距离：圆心 到正方形边界的最短距离为 （在线段 到 上取得）， 圆的半径为 ，故两图形不相交，最小距离为 最大距离：圆心到正方形边界的最远距离为 （在点 处取得）， 故最大距离为而选项 D 给出的上界为 ，因此，选项 D 错误. 故选：AB 3．（多选）（25-26高二上·四川眉山·期末）在棱长为4的正方体中，N为的中点，O为的中点，M是棱上靠近的四等分点，Q是棱上靠近D点的四等分点，点P在正方体的表面上运动，则下列说法正确的是（    ）    A．若点P在棱上运动，则三棱锥的体积不变 B．若点P在棱上运动，则线段与的长度之和最小为 C．若平面，则点P的轨迹长度为 D．若，则点P的轨迹是长方形 【答案】AD 【分析】对于A，证明平面，结合即可判断；对于B，将平面展开与平面共面，当三点共线时，距离之和最小判断；对于C，作出点P的轨迹三角形，再计算周长即可判断；对于D，利用坐标法求得点P在棱，，，的交点，再判断对应的矩形满足条件即可. 【详解】对于A选项，因为点在棱上运动，故平面即为平面， 因为，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面 所以平面，即点到平面距离不变， 又，的面积为定值， 所以三棱锥的体积不变，为定值,故正确；      对于B，将平面展开与平面共面，如图    当三点共线时，线段与的长度之和最小，最小值为，故错误； 对于C，如图，分别取棱中点，连接，，，， 因为分别为棱的中点， 所以四边形， 所以四边形，均为平行四边形 所以，，即平面即为平面， 又平面，平面， 所以平面，平面， 又，平面 所以平面平面， 在平面中，过点作交于点， 在平面中，过点作交于点，连接， 则为点P的轨迹， 因为Q是棱上靠近D点的四等分点， 所以， 所以的周长为，故错误；    对于D，如图，建立空间直角坐标系，则，，， 设，则，， 所以当时，，即 当时，，即与的交点为，与的交点为， 当时，，即与的交点为，与的交点为 连接，，， 所以四边形是矩形，且， 所以，，，平面， 所以平面， 又，所以是的中点，即平面， 所以要使必有平面， 又点P在正方体的表面上运动， 所以点的轨迹为矩形，故正确.    故选：AD 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为__________. 【答案】 【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，设，根据题意，求得点的轨迹为一个球面，求得球心到平面的距离，结合截面圆的性质，得到截面圆的半径为，即可求解. 【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，设为的中心， 可得平面，且， 则， 设，因为， 可得， 整理得， 即点的轨迹为以为球心，半径为的球面， 则球心到平面的距离为，即球心到平面的距离为， 又由截面圆的性质，可得截面圆的半径为， 所以截面圆的周长为. 故答案为：. 5．已知棱长为1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，若点P在正方体内部且满足 则点 P到AB的距离为_________________; 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，Q是平面ABCD 内一动点，若A₁Q与A₁D所成角为 则动点Q 的轨迹是___________(写曲线名称) 【答案】 抛物线 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，再利用点到线的距离公式即可求得结果；利用向量数量积的定义即可得到方程，进而得到轨迹是什么曲线. 【详解】 如图，建立空间直角坐标系，则, 又因为，所以. 因动点Q是平面ABCD 内一点，若A₁Q与A₁D所成角为 设，,,又 即， 整理得，所以动点Q 的轨迹是抛物线. 故答案为：，抛物线. ◆题型7 立体几何中的新定义问题 1．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设定义得平面的法向量为，结合直线方向向量，求线面角的正弦值. 【详解】由过，可化为， 所以平面的法向量为，而直线的方向向量为， 所以直线与平面的所成角的正弦值. 故选：D 2．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 【答案】C 【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即可判断. 【详解】对于A，，而，故，正确； 对于B，，当时，有意义，则，正确； 对于C，因为，，所以，，所以，错误； 对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知， 就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确． 故选：C 3．（多选）（25-26高二上·山西太原·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 【答案】BCD 【分析】根据新定义得出A、B，根据新定义计算等式两边的结果得出C选项，计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断选项D. 【详解】选项A：向量同时与向量垂直， 且向量三个向量构成右手系， ， ，所以， 故A不正确， 选项B：由， ， 所以， 故B选项正确， 选项C：因为 ， 且与同向共线， 又， 且与同向共线， 又因为与同向共线， 所以， 故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ， 故， 所以D选项正确， 故选：BCD. 4．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（   ） A．已知，，则 B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C．已知，，则 D．已知，，，则三棱锥的表面积 【答案】BC 【分析】根据已知，借组图形，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解. 【详解】对于A，， 因为，且，所以，故A错误； 对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上，    由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， ，故C正确； 对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误． 故选：BC． 5．我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. 【答案】(1)； (2)①的方向是平面的法向量；②； (3) ， 三棱锥的体积为 【分析】（1）根据向量新定义应用坐标运算即可； （2）①得出方向是平面的法向量；②应用线面角正弦公式计算； （3）应用定义计算证明；结合点到平面距离公式计算应用体积公式计算即可. 【详解】（1），. （2）①的方向是平面的法向量； 因为，， ， 所以， ， 所以的方向是平面的法向量； ②由题意知， 设平面的法向量为， 则设，则， 则直线与平面的所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角们大小为. （3）由题意知点到平面的距离为， ◆易错归纳1 弄错两向量夹角为锐角或钝角的等价条件 1.（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知空间向量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用空间向量数量积的坐标表示及共线向量，列式求解即得. 【解答过程】由向量，得， 由与的夹角是钝角，得且与不共线， 因此，解得且， 所以的取值范围是. 故选：A. 2.（25-26高二上·天津·阶段检测）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【解题思路】先求出向量与的坐标，由向量与的夹角为锐角， 可以得到且与不平行，再计算求解即可. 【解答过程】，， ，向量与的夹角为锐角， 且向量与不平行， ，， 向量与不平行，， 的取值范围为且，选项B正确. 故选：B. 3.（25-26高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两个向量夹角为钝角则两个向量数量积为负数，但是两个向量反向时夹角为不是钝角，要排除. 【解答过程】由题意，与的夹角为钝角，得且与不共线， 可知：，∴， 又∵时，即时，共线， ∴由与不共线，可得， ∴. 故选：A. 4.（25-26高三上·江苏淮安·开学考试）已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意且与不共线，利用向量共线和数量积的坐标运算求解. 【解答过程】， 当时，有，解得，此时，与夹角为， 所以与夹角不可能为， 与夹角为锐角时，有，解得， 则实数的取值范围是. 故选：D. 5.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）写出后，运用向量夹角公式计算即可； （2）若两个向量夹角为锐角，则两者的数量积大于0，并且要注意排除共线的情况. 【解答过程】（1）解：(1)因为, 所以. ， . 所以, 所以与的夹角余弦值为. （2）, 因为与的夹角为锐角，故两者不共线，且数量积大于0. 当与共线时，有,得, 故当时，与不共线. ,得,解得 综上，. ◆易错归纳2 混淆向量所成角与异面直线所成角的关系 1．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，以D为原点，分别以，，所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为3，则，，，， 所以，， 故， 所以向量与夹角的余弦值为.   2．（多选）（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知异面直线，所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】先由异面直线所成角确定方向向量夹角，再求夹角的余弦值. 【详解】空间向量夹角范围为，所以当与所成角大小为时，向量与所成角为或，所以或. 3．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 【答案】/0.8 【详解】由题意知在直三棱柱中，， 故以B为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则， 故， 设直线与所成角为， 则. 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    【答案】 【分析】建系并标出点，设，，利用空间向量得坐标运算结合线线夹角求得，进而可求锥体的体积. 【详解】因为四棱锥的底面为正方形，且平面， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则点，，，，， 可得，， 设，， 则，即， 可得， 设异面直线与所成角为， 则， 整理可得，解得或（舍去）， 即，则. 所以. 故答案为：. 5．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】选取基底向量 ，利用向量的数量积运算求解线段长度及异面直线夹角的余弦值. 【详解】（1）设，由题意可得，， 所以 ， 所以，即的长为； （2）因为， 所以 ， 又， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为. ◆易错归纳3 混淆平面法向量所成角与二面角的关系 1．（25-26高二上·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得异面直线与的夹角为，即与的夹角为，由空间向量的运算法则可得，则，结合条件即可计算. 【详解】由题意得： 过点作，垂足为，过点作，垂足为，如下图： 因为二面角为，则异面直线与的夹角为， 即与的夹角为，易得， 因为，且， 则， 即，解得， 故选：D. 2．（广东省汕头市金砂中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷）锐二面角两平面的法向量分别为，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二面角的向量求法，代入计算即可求得答案. 【详解】因为二面角的法向量分别为，， 设所求二面角的大小为， 则， 因为二面角是锐角，所以该二面角的余弦值， 故选：A 3．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 【答案】 【分析】将向量分解为，利用向量模长公式展开计算，结合二面角的大小得到向量夹角，进而求出的长度. 【详解】由题意可知，且，，二面角的大小为， 故与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为. 所以 因此. 故答案为： 4．（25-26高二下·北京·期中）如图,在多面体ABCDEF中,梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直,,,,,. (1)求证：平面CDE； (2)求二面角B-EF-D的余弦值； 【答案】(1) 由底面是平行四边形，可知， 又因为平面，平面，所以平面， 同理平面，又因为，所以平面平面， 又因为平面，所以平面. (2) 【分析】（1）通过面面平行即可证明线面平行； （2）证得两两垂直，从而建立以为原点的空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，根据法向量的夹角求得二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2） 如图所示，连接，因为平面平面，平面平面，， 所以平面，又平面， 则， 又因为，，，所以平面，则， 故两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴和轴，如图所示建立空间直角坐标系， 由于 则，，，，，， 所以，，是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则有，即， 令，则，得， 设为二面角的平面角，且为锐角， 则， 即二面角的余弦值为. 5．（25-26高二下·四川成都·期中）如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，. (1)求证：； (2)若M为棱的中点，求二面角的余弦值. 【答案】(1) 连接，∵在中，且为的中点， ∴， 又∵平面， 故以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 又，， 故，，，，， ∵，， ∴，即， ∴； (2) 【分析】（1）连接，进而结合题意，建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可； （2）结合（1）的坐标系，利用向量法求解二面角的余弦值即可. 【详解】（1）略 （2）平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， ∵，∴，， ∴，即，令，则，， ∴， ∴， 又∵二面角为锐二面角， ∴二面角的余弦值为. 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由，得， 由，得， 所以， 因为， 所以 即 2．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 3．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合空间向量的模长公式和二次函数的性质求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，作面， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 则，，， 而，由两点间距离公式得， 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 代入可得，解得（负根舍去）， 得到，则， 因为，所以， 设，则，可得，解得， 而，可得， 则，而，， 设面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 因为平面，所以， 得到，化简得， 此时变为， 则，由模长公式得， 令，由二次函数性质得在处取得最小值， 而，则. 4．（2026·陕西西安·三模）如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过面面平行可推出线面平行，找到P的轨迹，再求解轨迹长度. 【详解】    取 中点 ， 中点 ，连接, , , 为中点，为中点,所以, 平面，平面 所以; 设正方体 ，以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，棱长为 2，则，，，， 所以，, 所以, 所以 ∵ 平面，平面,所以 又平面内，两条相交直线， 所以, 因为点在正方体的表面上运动，且平面， 因此的轨迹是平面与正方体表面相交形成的闭合折线段： , , , , 总轨迹长度：. 5．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为是对棱相等的棱锥，所以将三棱锥放在长方体更容易求解. 【详解】 令长方体长、宽、高分别为由图的 由图可得：, 令平面法向量， 所以：所以， 点D到平面的距离即在投影向量的模长， ， 所以点D到平面的距离为. 6．（多选）（25-26高二下·福建福州·期末）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则下列结论正确的是（     ） A．存在平面，截此正方体所得截面为正三角形 B．存在平面，棱与平面夹角的正弦值为 C．不存在平面，截此正方体所得截面为正六边形 D．截此正方体所得截面面积的最大值为 【答案】ABD 【分析】A. 当平面是平面满足；B. 当平面是平面满足；C. 举反例，取棱的中点，连接得到正六边形截面；D. 正六边形截面面积取得最大值. 【详解】选项 A, 当平面是平面，因为的三边都是面对角线长，为正三角形,所以存在平面，截此正方体所得截面为正三角形，A 正确; 选项 B, 建立如图所示空间直角坐标系，则,,,, 所以，,， 设平面的法向量是，则,所以，取 设与平面的夹角为，则， 当平面是平面时满足题意，所以存在平面，棱与平面夹角的正弦值为，B 正确； 选项 C，取棱的中点，连接得到正六边形截面，因此存在这样的平面，C 错误； 选项 D，每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截面之间互相平行，由正方体的对称性，要求截面的面积最大， 则当截面的位置是过棱的中点的正六边形（过正方体的中心）时，面积最大，此时正六边形的边长是， 此时截面面积，所以截面面积最大值为，D 正确. 7．（多选）（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】在正三棱柱中，，，为的中点,所以, 以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    求得, 选项A:,, 设平面的法向量,则,,列方程可得, 代入向量得,令,则,所以, 计算,所以直线不垂直平面,选项A错误； 选项B:因为,所以点到平面的距离,选项B正确； 选项C:因为, 所以异面直线和所成角的余弦值,选项C正确； 选项D:,,设平面的法向量, 则,,列方程可得,代入向量得, 可知,令,则,所, 由前面可知平面的法向量，计算, 所以平面不垂直平面，选项D错误. 8．（多选）（25-26高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点P的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，由线面平行的性质，线面角，线面垂直的性质以及平面对称的向量求法即可求解. 【详解】依题意，如图以A为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 因为，则， 对于A，设平面的法向量为， 因为，，， 所以，故可取 ，由平面可得，即， 即点三条共线，故的轨迹为线段，而，故A正确； 对于B，当时，，所以，， 设与所成角为， 则， 当时，在，，故， 则有，故B错误； 对于C，设平面法向量为， 因为，， 则，故可取， 设平面的法向量为， 当时，，， ，故可取， ，故平面平面，即C正确； 对于D，当时，点在平面内， 关于平面的对称点，连接交平面于点， 连接，则，因， 由图知 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D正确. 9．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________． 【答案】1 【分析】利用体积法求出三棱锥内切球半径，再建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标，利用向量法求出球心到平面的距离即可. 【详解】在三棱锥中，底面，，设三棱锥内切球的球心为，半径为， ，，， 中边上的高为，则， 三棱锥的体积，解得， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 因此点到平面的距离， 所以点到平面的距离的最大值为． 10．（25-26高二下·北京海淀·期中）如图，为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，，.点在平面内，是等腰三角形. ①若，直线与平面所成角的正弦值为__________； ②若二面角为，四棱锥的体积为__________. 【答案】 / 【分析】①问求线面角的正弦值，由等腰三角形条件确定点的坐标特征，再利用空间中两点距离公式及线面角的定义，将正弦值转化为垂线段与斜线段的比值直接求解； ②建立空间直角坐标系，依次求出底面梯形几何量（下底长、高、面积），并利用法向量（定义法列方程组）与二面角的余弦值建立方程解出高，最后代入棱锥体积公式得出结果. 【详解】已知直四棱柱底面是等腰梯形，，，. 过点分别作底边的垂线，垂足分别为. 因为，所以四边形为矩形，. 在中，，（腰长），由三角函数定义： ， 由等腰梯形的对称性，得. 因此下底. 上底面与底面全等，其面积：高 以为原点，方向为轴，梯形高方向（在底面内垂直于）为轴， 侧棱方向为轴.设侧棱长为，得各点坐标： ， 平面即为平面.点在该平面内，且为等腰三角形， 故在的垂直平分线上，得. 记为到上底面的距离， 已知，则解得. 设直线与平面所成角为，则 ②在平面内 设平面的法向量，则， 取，，则，故. 设平面的法向量， 点坐标为，取，则.另取. 则，取，则，代入得， 又，故，因此. 二面角的大小为，其余弦值为. 两法向量夹角的余弦值为： ， ， ， 所以：， 结合二面角方向判断，二面角为钝角，余弦值为负， 得：，解得（取正值）. 四棱锥体积： 代入得： 11．（25-26高三下·辽宁沈阳·阶段检测）平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面． (2)在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】(1)在平面四边形中，，，则， 在中，， 翻折后，，则，即， 又，平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. (2)（i）由分别为线段的中点，得， 而平面平面，所以平面. （ii） 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的判定，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）（i）利用线面平行的判定推理得证；（ii）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）在三棱锥中，，则， 即，由（1）知，而平面， 于是平面ABD，又，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 而， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 而平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 由，得，则，， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 1 / 93 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 空间向量的概念辨析 题型6 根据平行垂直求参数 题型2 空间向量的线性运算 题型7 空间向量证明平行问题 题型3 空间向量共线共面问题 题型8 空间向量证明垂直问题 题型4 求空间向量的数量积 题型9 空间向量的投影向量 题型5 空间向量数量积求模长与夹角 题型10 空间向量求异面直线夹角 核心提升·重难题型归纳 题型1 空间向量求线面角 题型2 空间向量求二面角 题型3 空间向量求点到直线的距离 题型4 点面、线面、面面距 题型5 空间中的探究性问题 题型6 空间中的轨迹问题 题型7 立体几何中的新定义问题 易错归纳·查缺补漏避陷阱 易错归纳1 弄错两向量夹角为锐角或钝角的等价条件 易错归纳2 混淆向量所成角与异面直线所成角的关系 易错归纳3 混淆平面法向量所成角与二面角的关系 题型专练·高频重难特训 ◆题型1 空间向量的概念辨析 1．（25-26高二上·全国·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 2．（多选）（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 3．（多选）（25-26高二上·山东济南·期中）下列四个命题中，说法不正确的是（   ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．对于非零向量，由，则 C．是共线的充分不必要条件 D．若向量满足，则 4．（多选）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 5．（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期中）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 ◆题型2 空间向量的线性运算 1．（25-26高二下·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建莆田·期末）在四面体中，是的中点，则（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏扬州·期末）在空间四边形中，，，，若，，则_____（用向量，，表示）． ◆题型3 空间向量共线共面问题 1．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 2．（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·浙江·开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，则下列结论正确的是（    ） A． B．三点共线 C． D． 4．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 5．（25-26高二下·江苏苏州·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，，，若点在平面内，则实数的值为______． 6．（25-26高二下·广东东莞·期末）已知，，三点不共线，对空间任意一点，满足.若，，，四点共面，则_________ ◆题型4 求空间向量的数量积 1．（25-26高二上·河北秦皇岛·期末）已知向量，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）在平行六面体中,,,且,则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知正四面体的棱长为2，F，G分别为的中点，则_____________． 4．（2026·山东聊城·三模）在三棱柱中，为等腰直角三角形，且，，若直线与平面所成的角为60°，则的最小值为________． 5．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． ◆题型5 空间向量数量积求模长与夹角 1．（2026高二·全国·专题练习）已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖南长沙·期末）三棱锥中，，点是的重心，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·甘肃白银·期中）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角的余弦值是（　　） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，平行六面体中，，，则__________． 5．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． ◆题型6 根据平行垂直求参数 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江宁波·期末）已知向量，，若，则（     ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 3．（25-26高二下·广西河池·期末）在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（25-26高二上·云南文山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，，下列结论正确的有（     ） A． B． C．若，且，则 D．若且，则 5．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 6．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）已知向量，，若A，B，C三点共线，则______． ◆题型7 空间向量证明平行问题 1．（25-26高二下·甘肃平凉·期末）设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 2．（25-26高二下·上海·期末）已知和是直线上两个不同的点，是平面的一个法向量，则“”是“”的（     ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分又非必要 3．（25-26高二下·上海宝山·期末）空间中，已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为（常数）．若，则实数的值为__________． 4．（25-26高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是棱，，，的中点，．求证：； ◆题型8 空间向量证明垂直问题 1．（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与的位置关系为（   ） A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 2．我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中把底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，在堑堵中，，，分别是线段，上的点，且，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·甘肃平凉·期中）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 4．（多选）（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别是的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 5．（多选）（2026·广西贵港·三模）正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（   ） A．与平面平行 B． C．平面 D．四边形的面积为 ◆题型9 空间向量的投影向量 1．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·河北邢台·期末）已知空间向量，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东中山·阶段检测）已知，在的投影向量为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·广东深圳·期末）在正方体中，为中点，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）已知向量，，，若，，，共面，则在上的投影向量的模为__________. 6．（25-26高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，，若在上的投影向量为，则______. 7．（25-26高二上·福建福州·期中）空间向量，向量与夹角为，且，若在上的投影向量为，则等于________． ◆题型10 空间向量求异面直线夹角 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则直线与所成角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 4．（24-25高二上·全国·期中）如图，已知多面体中，底面是边长为的正方形，，，平面，平面，，若异而直线与所成的角的余弦值为，则的值为（   ）    A． B． C． D． 5．（2026·福建龙岩·三模）在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部（不含边界）的一点，且 ，则直线与直线所成角的余弦值的取值范围为（   ） A． B． C． D． ◆题型1 空间向量求线面角 1．（25-26高二下·安徽阜阳·期末）若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江西南昌·期末）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北荆州·期末）在正三棱柱中，，点分别在棱上，已知，则与平面所成角的正弦值为__________． 6．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. ◆题型2 空间向量求二面角 1．（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏镇江·期中）已知正方体中，P，Q分别为棱，上的动点，则二面角的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，正方形和正方形的边长都是2，且二面角的大小是，则（   ） A． B． C． D．4 4．（25-26高二下·西藏昌都·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，与相交于点O，平面，，，点E为线段中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的大小． 5．（25-26高二下·河南信阳·期末）如图，在四棱锥中，，，，，平面． (1)求证：； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求． ◆题型3 空间向量求点到直线的距离 1．（25-26高二下·陕西安康·期中）若、、，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·四川成都·期中）四面体满足，， ，. 设的中点分别为，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃·期中）在空间直角坐标系中，已知点，，，为的边上的高，则_____． 5．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为_____. ◆题型4 点面、线面、面面距 1．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 2．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南邵阳·阶段检测）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·福建漳州·期中）在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北·阶段检测）正方体的棱长为1，若点在上，点在上，则的长度最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知正方体的棱长为分别为正方体的棱的中点． (1)求证：平面； (2)求线段到平面的距离． ◆题型5 空间中的探究性问题 1．（25-26高二下·河南信阳·期末）在正三棱柱中，底面边长，侧棱，点在侧棱上，且满足． (1)是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． (2)当时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 2．（2026高二·全国·专题练习）如图，平面，，，，，. (1)证明：平面； (2)若.判断在线段上是否存在一点，使得三棱锥的体积为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 3．（25-26高一下·河南郑州·阶段检测）如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 4．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）在四棱锥中，平面平面，，，，，，O是线段的中点． (1)证明：． (2)若二面角的平面角的正弦值为． ①求线段的长； ②若E为线段的中点，点N在线段上，是否存在实数，使得当时，平面?若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 5．（2026·云南·三模）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，平面平面， (1)证明：平面； (2)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. ◆题型6 空间中的轨迹问题 1．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 2．（多选）（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）空间直角坐标系中，点，定义.如图，正方体的棱长为3，为棱的中点，点是平面内两个动点，，，则以下结论正确的是（    ） A．点的轨迹是正方形 B．点的轨迹是圆 C．点的轨迹是直线 D．的取值范围 3．（多选）（25-26高二上·四川眉山·期末）在棱长为4的正方体中，N为的中点，O为的中点，M是棱上靠近的四等分点，Q是棱上靠近D点的四等分点，点P在正方体的表面上运动，则下列说法正确的是（    ）    A．若点P在棱上运动，则三棱锥的体积不变 B．若点P在棱上运动，则线段与的长度之和最小为 C．若平面，则点P的轨迹长度为 D．若，则点P的轨迹是长方形 4．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知在棱长为的正四面体中，动点满足，记所在平面为，则平面截点的轨迹所形成的图形的周长为__________. 5．已知棱长为1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，若点P在正方体内部且满足 则点 P到AB的距离为_________________; 正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，Q是平面ABCD 内一动点，若A₁Q与A₁D所成角为 则动点Q 的轨迹是___________(写曲线名称) ◆题型7 立体几何中的新定义问题 1．（25-26高二上·湖北·阶段检测）在空间直角坐标系中，经过点，且以为法向量的平面的方程为.若平面的方程化简为，直线的方向向量为，则直线与平面的所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）．在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（    ）    A． B．当时， C．若，，则 D．平行六面体的体积 3．（多选）（25-26高二上·山西太原·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 4．已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（   ） A．已知，，则 B．已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C．已知，，则 D．已知，，，则三棱锥的表面积 5．我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记. (1)若，求； (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）. ②若，求直线与平面的所成角的大小； (3)证明，并用表示三棱锥的体积. ◆易错归纳1 弄错两向量夹角为锐角或钝角的等价条件 1.（25-26高二上·贵州毕节·阶段检测）已知空间向量，若与的夹角是钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高二上·天津·阶段检测）已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（    ） A． B．且 C． D．且 3.（25-26高二上·福建福州·期中）已知，且与的夹角为钝角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·江苏淮安·开学考试）已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知空间中三点,设,. (1)求向量与夹角的余弦值； (2)若与夹角为锐角，求实数的取值范围. ◆易错归纳2 混淆向量所成角与异面直线所成角的关系 1．（25-26高一下·湖南岳阳·期中）如图，在正方体中，点P满足，则向量与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知异面直线，所成角的大小为，设的一个方向向量为，的一个方向向量为，则的可能值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二下·浙江·学业考试）如图，在直三棱柱中，，，分别是，的中点．若，则直线与所成角的余弦值为____________． 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知四棱锥中，底面为正方形，底面，，分别为线段，的中点，是线段上的一点，.若异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的体积为________.    5．如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为4，且，求：    (1)的长； (2)直线与AC所成角的余弦值. ◆易错归纳3 混淆平面法向量所成角与二面角的关系 1．（25-26高二上·云南楚雄·期末）在长方形中，，将沿所在直线进行翻折，二面角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（广东省汕头市金砂中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷）锐二面角两平面的法向量分别为，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东潍坊·期末）已知二面角的棱上有两点，，若二面角的大小为，且，则__________. 4．（25-26高二下·北京·期中）如图,在多面体ABCDEF中,梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直,,,,,. (1)求证：平面CDE； (2)求二面角B-EF-D的余弦值； 5．（25-26高二下·四川成都·期中）如图，在三棱锥中，，，O为的中点，平面，. (1)求证：； (2)若M为棱的中点，求二面角的余弦值. 1．（25-26高二下·江苏连云港·期中）在空间四边形中，，点，分别在上，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·云南昆明·模拟预测）在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西西安·三模）如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，点在正方体的表面上运动，且平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）在三棱锥中，，，，则D到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高二下·福建福州·期末）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则下列结论正确的是（     ） A．存在平面，截此正方体所得截面为正三角形 B．存在平面，棱与平面夹角的正弦值为 C．不存在平面，截此正方体所得截面为正六边形 D．截此正方体所得截面面积的最大值为 7．（多选）（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）如图，在正三棱柱中，，，为的中点，则（    ）    A．直线平面 B．点到平面的距离是 C．异面直线和所成角的余弦值为 D．平面平面 8．（多选）（25-26高二下·浙江温州·期末）已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点P的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 9．（25-26高二下·江西吉安·阶段检测）在三棱锥中，底面，分别为棱的中点，为三棱锥内切球球面上的动点，则点到平面的距离的最大值为__________． 10．（25-26高二下·北京海淀·期中）如图，为直四棱柱，底面ABCD是等腰梯形，，.点在平面内，是等腰三角形. ①若，直线与平面所成角的正弦值为__________； ②若二面角为，四棱锥的体积为__________. 11．（25-26高三下·辽宁沈阳·阶段检测）平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． (1)证明：平面平面． (2)在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $