第一章 1.1.3 第3课时 空间直角坐标系及空间向量坐标的应用（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件围绕空间直角坐标系的建立、点坐标确定、对称问题及空间向量坐标应用展开，通过类比平面直角坐标系导入，结合建系条件、坐标分量等知识梳理，搭建从概念到应用的学习支架。 其亮点是以正方体、正棱锥等例题和跟踪训练为载体，引导学生用数学眼光观察空间图形，用数学思维推理对称点“谁对称谁不变”等规律，用数学语言规范向量坐标表达。帮助学生形成空间观念和解题方法，为教师提供系统教学资源和分层练习，提升教学效率。

第3课时 第一章 <<< 空间直角坐标系及 空间向量坐标的应用 1.了解空间直角坐标系. 2.会求空间中的点的坐标，两点间的距离以及两点的中点坐标. 3.掌握空间向量坐标的简单应用. 学习目标 在平面向量中，我们以平面直角坐标系中与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，建立了向量的坐标与点的坐标的一一对应关系，从而把平面向量的运算化归为数的运算.类似地，为了把空间向量的运算化归为数的运算，能否利用空间向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间点的坐标的一一对应呢？下面我们就来研究这个问题. 导 语 一、空间直角坐标系 二、空间点的对称问题 课时对点练 三、空间向量的坐标 随堂演练 内容索引 四、利用坐标研究几何问题 空间直角坐标系 一 我们画空间几何图形用的什么方法？ 问题1 提示　斜二测画法，它是空间几何直观图的画法基础.它的口诀是：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；眼见为实遮为虚，空间观感好体现. 1.空间直角坐标系的建立 在空间中任意选定一点O作为坐标原点，选择合适的平面先建立平面直角坐标系 .然后过O作一条与 的数轴z轴，这样建立的空间直角坐标系，记作 . (1)x轴、y轴、z轴是两两互相 的，都称为 . (2)通过每两个坐标轴的平面都称为 ，分别记为 ，____ ， . xOy平面垂直 xOy Oxyz 垂直 坐标轴 坐标平面 xOy平面 yOz 平面 zOx平面 知识梳理 (3)在平面内画空间直角坐标系Oxyz时，一般把x轴、y轴画成水平放置，x轴正方向与y轴正方向夹角为135°(或45°)，z轴与y轴(或x轴) .如图(1)(2)所示. 垂直 2.在空间直角坐标系中，点M的坐标为(x，y，z)，x，y，z都称为点M的_________，且x称为点M的 (或 )，y称为点M的 (或y坐标)，z称为点M的 (或 ). 3.卦限及各卦限内的符号：在空间直角坐标系中，三个坐标平面将不在坐标平面内的点分成了八个部分，每一部分都称为一个卦限，各卦限的点(x，y，z)的坐标符号为：第Ⅰ卦限(＋，＋，＋)，第Ⅱ卦限(－，＋，＋)，第Ⅲ卦限(－，－，＋)，第Ⅳ卦限(＋，－，＋)，第Ⅴ卦限(＋，＋，－)，第Ⅵ卦限(－，＋，－)，第Ⅶ卦限(－，－，－)，第Ⅷ卦限(＋，－，－). 坐标分量 横坐标 x坐标 纵坐标 竖坐标 z坐标 注 意 点 <<< (1)基向量：|e1|＝|e2|＝|e3|＝1，e1·e2＝e1·e3＝e2·e3＝0. (2)建系的条件：特殊图形以及有垂直关系的条件可考虑建系. (3)建系的要求：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，充分利用几何图形的对称性. (4)坐标原点选择的不同，会导致点的坐标不同，但不会影响结果. 10 　如图所示，AF，DE分别是圆O，圆O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8，BC是圆O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标. 例 1 11 因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD， 所以OE⊥平面ABC. 又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC， 所以OE⊥AF，OE⊥BC， 又BC是圆O的直径，所以OB＝OC， 又AB＝AC＝6， 12 如图所示，以O为坐标原点，以OB，OF，OE所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 13 (1)垂线法：向坐标轴或坐标平面作垂线.注意坐标符号. (2)公式法：利用中点坐标公式、重心坐标公式求出坐标. (3)方程(组)法：利用向量平行或共线相等关系，设出所求点坐标，建立方程组. 反 思 感 悟 确定点的坐标的常用方法 14 　如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E，F分别为BC，CD的中点.已知AB＝2，VO＝3，建立如图所示的空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标. 跟踪训练 1 ∵点V在z轴上，且OV＝3， ∴点V的坐标为(0,0,3). 同理得A(－1，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,1,0)，D(－1，1,0). 15 二 空间点的对称问题 例 2 　在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4). (1)求点P关于x轴对称的点P1的坐标； 由于点P关于x轴对称后，它在x轴上的分量不变，在y轴、z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P1(－2，－1，－4). 17 (2)求点P关于xOy平面对称的点P2的坐标； 由点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴上的分量不变，在z轴上的分量变为原来的相反数，所以对称点的坐标为P2(－2,1，－4). 18 (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点P3的坐标. 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6， y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12). 19 反 思 感 悟 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 空间点对称问题的解题策略 跟踪训练 2 　已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为___________. 点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1). (2，－3,1) 21 空间向量的坐标 三 在平面直角坐标系下，O为坐标原点， 的坐标和P点的坐标是否相同？ 问题2 提示　相同；若O(0,0)，P(x，y)，则 ＝(x，y)，也就是说有向线段的向量坐标表示为终点坐标减去起点坐标. 23 1.空间直角坐标系下向量坐标 在空间直角坐标系下，如果指定单位向量e1，e2，e3的始点都在原点O，且它们的方向分别与x轴、y轴、z轴的正方向相同，则{e1，e2，e3}为____ _________，且向量 的坐标与P点的坐标 .即 ＝xe1＋ye2＋ze3＝ ⇔ . 单位 正交基底 相同 (x，y，z) P(x，y，z) 知识梳理 24 2.空间向量坐标的计算及应用 在空间直角坐标系中，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则(1) ＝ . (3)线段AB中点M的坐标为 . (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 25 注 意 点 <<< 在空间直角坐标系中，有向线段表示的向量坐标为终点坐标减去起点坐标.特别地，当始点为坐标原点时，其坐标与终点坐标相同. 26 如图，在棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，G分别为棱DD′，D′C′，BC的中点，以 为基底，求下列向量的坐标. 例 3 27 方法二　以A为原点，以AB为x轴，AD为y轴，AA′为z轴建立空间直角坐标系Axyz， 28 ∴A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，A′(0,0,1)，B′(1,0,1)，C′(1,1,1)，D′(0,1,1)， 29 30 31 32 延伸探究 以点D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)， ∵A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A′(1,0,1)，B′(1,1,1)， C′(0,1,1)，D′(0,0,1)， 33 反 思 感 悟 用坐标表示空间向量的步骤 　设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求 的坐标. 跟踪训练 3 35 如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正 方形的中心，P1P2⊥y轴，P1P4⊥x轴，SO在z轴上. ∵|P1P2|＝2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上， ∴P1(1,1,0)，P2(－1,1,0). 在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称， ∴P3(－1，－1,0)，P4(1，－1,0). 36 (答案不唯一) 37 利用坐标研究几何问题 四 　棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点. 例 4 39 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 40 41 (3)求CE的长. 42 反 思 感 悟 通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内，以便写点的坐标时便捷.建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题. 跟踪训练 4 44 如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1， 由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)， 所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a， 45 由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)， 46 故λ＝－4. 47 1.知识清单： (1)空间直角坐标系. (2)空间点的对称问题与空间向量的坐标. (3)空间向量坐标的应用. 2.方法归纳：数形结合、类比. 3.常见误区：x，y，z轴的选择不是随意的，应符合正确的建系要求. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(－1,2,1)，B(1,3,4)，则 √ 1 2 3 4 2.在空间直角坐标系中，点P(1,3，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是 A.(－1,3，－5) B.(1,3,5) C.(1，－3,5) D.(－1，－3,5) √ 1 2 3 4 √ 52 1 2 3 4 53 1 2 3 4 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝ ，E，F分 别是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为______. 1 2 3 4 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 课时对点练 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在空间直角坐标系Oxyz中，点(1，－2,4)关于y轴对称的点为 A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2,4) C.(1,2，－4) D.(1,2,4) √ 关于y 轴对称，则y值不变，x和z的值变为原来的相反数，故所求的点的坐标为(－1，－2，－4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则 的夹角为 A.30° B.45° C.60° D.90° 又0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知A(1，－2,0)和向量a＝(－3,4,12)，且 ＝2a，则点B的坐标为 A.(－7,10,24) B.(7，－10，－24) C.(－6,8,24) D.(－5,6,24) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即点B的坐标为(－5,6,24). 4.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，向量 ＝(x2＋4,4－y,1＋2z)， ＝(－4x,9,7－z)且A，B两点关于y轴对称，则x，y，z的值依次是 A.1，－4,9 B.2，－5，－8 C.2,5,8 D.－2，－5,8 由A，B两点关于y轴对称， √ 解得x＝2，y＝－5，z＝－8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知点A(－1,2,0)，B(－3,4,2)，点P在直线AB上，且 则点P的坐标为 A.(－2,3,1) B.(2，－3，－1) C.(0，－1,1) D.(0,1，－1) √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴点P(－2,3,1)； ∴点P(0,1，－1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)在△ABC中，点A(1,2，－3k)，B(－2,1,0)，C(2，－3,1)，若△ABC为直角三角形，则k的值为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则－3＋5＋3k(1＋3k)＝0，即9k2＋3k＋2＝0，方程无解； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝_____. 0 所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c). 8.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中PA＝a，PB＝b，PC＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则 △ABC的重心G的坐标是___________. 9.已知点A(0,1,2)，B(1，－1,3)，C(1,5，－1). (1)若D为线段BC的中点，求线段AD的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求三棱柱的侧棱长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为M为BC1的中点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵点Q在直线OP上运动， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图，在边长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中， ，点P在底面正方形ABCD上移动(包含边界)，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,3)，E(1,3,0)，B1(3,3,3)， 设P(x，y,0)(x，y∈[0,3])， 所以0≤3－3y≤3⇒y∈[0,1]， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由二次函数的单调性可知 14.已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标为__________. (－1,1,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点D(x，y，z)， 因为DB∥AC，DC∥AB， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以D(－1,1,2). 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知空间四点A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，D(x，－1,3)共面，则x的值为 A.4 B.1 C.10 D.11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(x－4，－2,0)＝(－2λ－v,2λ＋6v，－2λ－8v)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝ ，AF＝1，M是线段EF的中点. 求证：(1)AM∥平面BDE； ∵平面ABCD⊥平面ACEF， 平面ABCD∩平面ACEF＝AC，EC⊥AC， ∴EC⊥平面ABCD，又BC⊥DC， 如图，建立空间直角坐标系， 设AC∩BD＝N，连接NE， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又NE与AM不共线，∴NE∥AM. 又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE， ∴AM∥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)AM⊥平面BDF. 又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF， ∴AM⊥平面BDF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以OA⊥BC，BC＝6， 所以OA＝OB＝OC＝OF＝3. 所以A(0，－3，0)，B(3，0,0)，C(－3，0,0)， D(0，－3，8)，E(0,0,8)，F(0，3，0).(答案不唯一) (2)||＝_____________________________. {，，} (1)，，； 方法一　＝＋＝＋＝＋ ＝， ＝＋＝＋＝，  ＝＋＋＝＋＋＝. 由中点坐标公式得E，F，G. ∴＝，＝，＝， (2)，，. 方法一　＝－＝－＝＋＝， ＝－＝－ ＝－－＝， ＝－＝＋－ ＝－＝. 方法二　＝－＝， ＝－＝， ＝－＝. 本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标. ∴E，F，G， ∴＝，＝，＝. ， 又|SP1|＝2，|OP1|＝， ∴在Rt△SOP1中，|SO|＝， ∴S(0,0，). ∴＝－＝(1,1，－)， ＝－＝(0，－2,0). (1)求证：⊥； 则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)， F，G. 所以＝，＝， ＝，＝. 因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥. (2)求与夹角的余弦值； 因为·＝×1＋×0＋×＝， ||＝ ＝， ||＝ ＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. CE＝||＝＝. 　 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值. 则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)， 因为3＝， 所以·＝0， 即－－＝0， 解得b＝， 解得a＝， 所以点P的坐标为. 因为·＝0， 所以＝－1， 所以点Q的坐标为. 因为＝λ， 所以(－1，－1,0)＝λ， A.＝(－1,2,1)  B.＝(1,3,4) C.＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3) ＝－＝(2,1,3). 3.已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若＝，则C的坐标是 A. B. C. D. ∵＝(－3,7，－5)， ∴＝(－3,7，－5)＝， ∴C. 则E(1,1，)，F， 所以||＝＝. 与 设与的夹角为θ. 由题意，得＝(－1,1,0)，＝(0,3,3)， ∴cos θ＝＝＝， ∵a＝(－3,4,12)，＝2a， ∴＝(－6,8,24). 设B(x，y，z)，则＝(x－1，y＋2，z)， ∴解得 得 ||＝||， ∵＝(x＋1，y－2，z)，＝(－2,2,2)， ∵||＝||， ∴＝或＝－. 当＝时，(x＋1，y－2，z)＝(－2,2,2)， ∴解得 当＝－时， (x＋1，y－2，z)＝－(－2,2,2)， ∴解得  A. B. C.－1 D.－ ＝(－3，－1,3k)，＝(1，－5,1＋3k)， ＝(4，－4,1). 若A＝90°，则·＝0， 若B＝90°，则·＝0， 则－12＋4＋3k＝0，解得k＝； 若C＝90°，则·＝0， 则4＋20＋1＋3k＝0，解得k＝－. 因为＝(m－1,1，m－2n－3)， ＝(2，－2,6)， 由题意得∥，所以＝＝， 由重心坐标公式得点G的坐标为. 由题意得，D(1,2,1)，∴＝(1,1，－1)，||＝＝， 即线段AD的长为. 易知＝(1，－2,1)， ∴·＝2－2a＋1＝1，解得a＝1， ∴＝(2,1,1). ∴cos〈，〉＝＝＝， 即向量与夹角的余弦值为. (2)若＝(2，a,1)，且·＝1，求a的值，并求此时向量与夹角的余弦值. 设侧棱长为b，则A(0，－1,0)，B1(，0，b)， B(，0,0)，C1(0,1，b)， 所以＝(，1，b)，＝(－，1，b). 因为AB1⊥BC1， 所以·＝(，1，b)·(－，1，b)＝－()2＋12＋b2＝0， 解得b＝. 所以＝(＋)＝(＋＋). (2)若M为BC1的中点，试用基底{，，}表示向量； (3)求与夹角的余弦值. 由(1)知＝(，1，)，＝(－，1,0)， 因为||＝＝， ||＝＝2， ·＝(，1，)·(－，1,0) ＝－()2＋1×1＝－2， 所以cos〈，〉＝＝＝－. 所以与夹角的余弦值为－. 11.已知O为坐标原点，＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为 A. B. C. D. ∴存在实数λ使得＝λ＝(λ，λ，2λ)， ∴＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)， ∴·＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝62－， 当且仅当λ＝时，·取得最小值，此时Q. 12.已知A(1,0,0)，B(0，－1,1)，若＋λ与(O为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为 A. B.－ C.± D.± ＋λ＝(1，－λ，λ)，＝(0，－1,1)， cos 120°＝＝＝－， 可得λ<0，解得λ＝－. ＝3 A. B. C.3 D. 所以＝(x－3，y－3，－3)，＝(1,3，－3)， 即·＝x＋3y－3＝0⇒x＝3－3y， 而||＝＝，  t＝10y2－6y＋18＝102＋18－， 当y＝1时，tmax＝22，则||max＝. 则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)， ＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)， 所以∥，∥， 则解得 ＝(－2,2，－2)，＝(－1,6，－8)， ＝(x－4，－2,0)， 因为A，B，C，D共面，所以，，共面， 所以存在λ，v，使＝λ＋v， 所以解得 ∴＝. 则点N，E的坐标分别为，(0,0,1). ∴＝. ∴＝. 又点A，M的坐标分别是，， 由(1)知＝. ∵D(，0,0)，F(，，1)， ∴＝(0，，1)，∴·＝0， ∴⊥. 同理，⊥. $