第一章 1.1.3 第2课时 空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量平行与垂直的坐标表示，通过生活中斑马线、电线杆等实例导入，类比平面向量知识，构建从平面到空间的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以问题链驱动学习，结合生活实例培养数学眼光，通过参数求解例题和综合应用训练发展数学思维，课堂小结明确坐标分量非零时比例关系等易错点强化数学语言。学生能提升逻辑推理与运算能力，教师可借助分层练习提升教学效率。

第2课时 第一章 <<< 空间向量的坐标与空 间向量的平行、垂直 1.能利用坐标表示空间向量的平行与垂直关系. 2.能根据空间向量的平行与垂直关系解决简单的问题. 学习目标 同学们，生活中有非常多的平行与垂直的关系，比如十字路口的斑马线、马路上的两根电线杆、教室里的灯管，阳光下你和你的影子，任何直棱柱与上、下底面的棱之间的关系等等，而我们今天要研究的是在用平面向量解决平行与垂直的基础上，继续采用类比的方法来研究空间向量的平行与垂直关系. 导 语 一、空间向量平行的坐标表示 二、空间向量垂直的坐标表示 课时对点练 三、空间向量平行、垂直的坐标表示的综合问题 随堂演练 内容索引 空间向量平行的坐标表示 一 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a∥b，你还记得如何用坐标表示它们的平行关系吗？ 问题1 空间向量的平行 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0). 平行：a∥b⇔b＝λa⇔ x2＝ ， y2＝ ， z2＝ . 当a的每一个坐标分量都不为零时， a∥b⇔ . λx1 λy1 λz1 知识梳理 注 意 点 <<< (1)空间向量的平行不一定有传递性，比如a∥b，a∥c，其中当a＝0，时b，c不一定平行. (2)若两个向量平行，其中一个向量的坐标分量为0时，则相应的另一个向量的坐标分量也一定为0. 8 已知a＝(2x,1,0)，b＝(－2,3,1－z)，若a与b为共线向量，则x＝ ______，z＝____. 例 1 1 ∵a＝(2x,1,0)与b＝(－2,3,1－z)共线， 9 空间向量的平行常见题型：平行的判断；利用平行求参数或解其他问题. 解空间向量平行应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以λ为变量表示坐标，以达到简化运算的目的. 反 思 感 悟 10 　(多选)下列每组中的两个向量满足平行的是 A.(5,0,5)，(0,5,0) B.(0,0,1)，(0,0,3) C.(2,3，－1)，(2,3,1) D.(1，－1,2)，(－2,2，－4) 跟踪训练 1 √ 逐个检验每组中是否满足b＝λa即可. √ 11 二 空间向量垂直的坐标表示 已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，且a⊥b，你还记得如何用坐标表示它们的垂直关系吗？ 问题2 13 空间向量的垂直 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(a≠0). 垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔ . x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 知识梳理 14 例 2 15 16 反 思 感 悟 空间向量的垂直常见题型：垂直的判断；利用垂直求参数或解其他问题. 解空间向量垂直应注意的问题：适当引入参数，建立关于参数的方程；最好选择坐标的形式，以达到简化运算的目的. 跟踪训练 2 　已知向量a＝(3,1，－2)，b＝(1,0,3)，c＝a＋kb.若a⊥c，则k ＝______. 因为向量a＝(3,1，－2)，b＝(1,0,3)，c＝a＋kb，a⊥c，所以a·(a＋kb)＝|a|2＋ka·b＝32＋12＋(－2)2＋k·[3×1＋1×0＋(－2)×3]＝14－3k＝0， 18 空间向量平行、垂直的坐标表示的综合问题 三 已知a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2). (1)若|c|＝3，且c∥(a－b)，求c； 例 3 a－b＝(2,1，－2). ∵c∥(a－b)， 设c＝λ(a－b)， 即c＝λ(2,1，－2)＝(2λ，λ，－2λ)， ∴c＝(2,1，－2)或c＝(－2，－1,2). 20 (2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k. ∵ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4). 又(ka＋b)⊥(ka－2b)， ∴(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 21 反 思 感 悟 (1)适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a＝λb)，建立关于参数的方程. (2)选择坐标形式，以λ为变量表示坐标，以达到简化运算的目的. 平行与垂直的应用 　已知a＝(1，－2,4)，b＝(2,1，－3)，c＝(2，x，y). (1)若a∥c，求x，y的值； 跟踪训练 3 因为a＝(1，－2,4)的每一个坐标分量均不为零，a∥c，设c＝λa， 所以(2，x，y)＝λ(1，－2,4)， 23 (2)是否存在x，y∈R，使得c⊥a且c⊥b，如果存在，求出c的坐标，如果不存在，说明理由. 即存在x＝11，y＝5，使得c⊥a且c⊥b，此时c＝(2,11,5). 24 1.知识清单： (1)空间向量平行的坐标表示. (2)空间向量垂直的坐标表示. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：当两向量共线时，两向量的坐标比例相同的前提是坐标分量均不为0. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.与向量m＝(0,1，－2)共线的向量坐标是 A.(2,0，－4) B.(3,6，－12) √ 1 2 3 4 2.已知向量a＝(1,2，－1)，则下列向量与a垂直的是 A.(0,0,1) B.(－2,1,0) C.(1,1,2) D.(4，－1,1) (1,2，－1)·(0,0,1)＝－1≠0， (1,2，－1)·(－2,1,0)＝－2＋2＋0＝0， (1,2，－1)·(1,1,2)＝1＋2－2＝1≠0， (1,2，－1)·(4，－1,1)＝4－2－1＝1≠0， 只有B满足与a垂直. √ 3.向量a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为 A.－3 B.1 C.3或1 D.－3或1 1 2 3 4 √ 29 1 2 3 4 因为a·b＝2x＋4y＋4＝0， 所以x＋y＝1或x＋y＝－3. 30 1 2 3 4 ∵a∥b，∴a＝tb， 4.已知a＝(λ＋1,0,2λ)，b＝(6,2μ－1,2)，且a∥b，则λ＋μ＝_____. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是 A.(1,1,1) B.(－2，－3,5) C.(2，－3,5) D.(－4,6，－2) √ 设b＝(－4,6，－2)，又a＝(2，－3,1)， 所以b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知两个非零向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，它们平行的充要条件是 根据空间向量平行的充要条件，易知选D. B.a1·b1＝a2·b2＝a3·b3 C.a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 D.存在非零实数k，使a＝kb √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知向量a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x，2)，若(a＋b) ⊥c，则x等于 由已知，得a＋b＝(－2,1,3＋x). 又(a＋b)⊥c，所以－2－x＋2(3＋x)＝0， 解得x＝－4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.已知向量a＝(－1,1,0)，b＝(1,0,2)，且ka＋b与a－2b互相平行，则k 等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6，2)，则下列结论正确的是 A.a∥b，a∥c B.a∥b，a⊥c C.a⊥b，a∥c D.a⊥b，a⊥c √ 因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a， 所以a∥c. 又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0， 所以a⊥b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)同时垂直于a＝(2,2,1)和b＝(4,5,3)的单位向量是 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设同时垂直于a＝(2,2,1)，b＝(4,5,3)的单位向量为e＝(x，y，z)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设向量a＝(2,2m－3，n＋2)，b＝(4,2m＋1,3n－2)，且a∥b，则a·b的值为______. 168 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a∥b，不妨设a＝λb， 又因为a＝(2,2m－3，n＋2)，b＝(4,2m＋1，3n－2)， 所以(2,2m－3，n＋2)＝λ(4,2m＋1,3n－2)， 所以a＝(2,4,8)，b＝(4,8,16)， 所以a·b＝2×4＋4×8＋8×16＝168. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)， a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)， 所以(a＋b)·(a－b)＝0，所以〈a＋b，a－b〉＝90°. 8.已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是______. 90° 9.已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5). (1)当(λa＋b)∥(a－3b)时，求实数λ的值； λa＋b＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)， a－3b＝(7，－4，－16)， 当(λa＋b)∥(a－3b)时，存在实数t使得(λa＋b)＝t(a－3b)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当(λa＋b)⊥(a－3b)时，求实数λ的值. 当(λa＋b)⊥(a－3b)时，(λa＋b)·(a－3b)＝0， 所以7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知向量a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，且a∥b，b⊥c.求向量a，b，c及向量a＋c与向量b＋c夹角的余弦值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得x＝2，y＝－4， 此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1). 又由b⊥c得b·c＝0， 故(－2，－4，－1)·(3，－2，z)＝－6＋8－z＝0，得z＝2， 此时c＝(3，－2,2). a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因此向量a＋c与向量b＋c夹角θ的余弦值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a⊥b， 所以sin θcos θ＋cos θsin θ＋1＝0， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为____. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知a∥b， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 向量a，b反向，不符合题意，所以舍去. a与b同向，此时x＋y＝4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知向量a＝(1，x2，－1)，b＝(y2－1,2,1)，若向量a⊥b，则xy的最大 值为______. 由题意，知1×(y2－1)＋2x2－1×1＝0， 即2＝2x2＋y2. 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为BP⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以BP⊥AB，BP⊥BC， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知a＝(1,2,3)，b＝(2,1,2)，c＝(1,1,2)，且向量p∥c，求(p－a)·(p－b)的最小值，并求此时向量p的坐标. 因为向量p∥c，所以设p＝λc， 则p－a＝λc－a＝(λ－1，λ－2,2λ－3)， p－b＝λc－b＝(λ－2，λ－1,2λ－2)， 所以(p－a)·(p－b)＝(λ－1，λ－2,2λ－3)·(λ－2，λ－1,2λ－2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 提示　a∥b⇔b＝λa⇔当x1，y1都不为0时，有＝＝λ，即x1y2－x2y1＝0，而此时x1，y1，x2，y2可以是任意实数. ＝＝ － ∴解得 提示　a⊥b⇔〈a，b〉＝90°⇔cos 90°＝＝0⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 在空间直角坐标系中，若有△ABC，其中＝(1，a＋1，－a)，＝(0，a＋1，－2－a)，＝(－1,0，－2)，并且满足(－2)⊥，则 实数a的值为________. － 由题意知＝(1，a＋1，－a)， ＝(0，a＋1，－2－a)，＝(－1,0，－2)， 则－2＝(1，－a－1，a＋4)， 所以(－2)·＝－1－2(a＋4)＝0， 解得a＝－. 解得k＝. ∴|c|＝＝3|λ|＝3，∴λ＝±1， 解得k＝2或k＝－，故所求k的值为2或－. 即解得 因为c⊥a且c⊥b，所以 解得解得 ∴与m共线的向量是. C.(1,1，－2) D. ∵＝m， 解得或 又|a|＝＝＝6， 所以联立 ∴λ＋μ＝＋＝. ∴解得 A.a＝b A.4 B.－4 C. D.－6 A.－ B. C. D.－ ka＋b＝(－k＋1，k,2)，a－2b＝(－3,1，－4)，则＝＝，解得k＝－. A.  B. C. D. 则即 解得或 故e＝或e＝. 所以解得 所以解得λ＝－. 解得λ＝. 因为a∥b，所以＝＝，且y≠0， cos θ＝＝＝－. 11.已知a＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b＝，且a⊥b，则 θ为 A.－ B. C.2kπ－(k∈Z) D.kπ－(k∈Z)  a＝(sin θ，cos θ，tan θ)，b＝， 即sin 2θ＝－1，所以2θ＝－＋2kπ，k∈Z， 即θ＝－＋kπ，k∈Z. 12.(多选)已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2,1,4)，＝(1，－2,1)，＝(4,2,0)，则 A.PA⊥AB B.AP⊥BP C.BC＝ D.AP∥BC 因为·＝0，故A正确； ＝(3，－3，－3)，·＝3＋6－3＝6≠0，故B不正确； ＝(6,1，－4)，||＝＝，故C正确； ＝(1，－2,1)，＝(6,1，－4)，各个对应分量的比例不同，故D不正确. 所以＝＝， 即 解得或 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a， 当时，b＝(1,2,3)＝a， 又2x2＋y2≥2xy(当且仅当y＝x时等号成立)， 所以2xy≤2， 所以xy≤，即xy的最大值为. 15.已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)， 且BP⊥平面ABC，则x＋y＋z＝______. 因为⊥，所以·＝3＋5－2z＝0， 所以z＝4，所以＝(3,1,4)， 所以 解得因此x＋y＋z＝. ＝2(3λ2－8λ＋5)＝62－. 当λ＝时，(p－a)·(p－b)取得最小值，最小值为－，此时p＝c＝ . $