第一章 1.1.3 第1课时 空间向量的坐标与运算（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件系统讲解空间向量的坐标表示与坐标运算，从回顾平面向量坐标运算入手，通过类比迁移搭建从二维到三维的学习支架，帮助学生理解单位正交基底、向量坐标定义及坐标运算规律。 其亮点在于以问题驱动和分层训练为主线，结合例题辨析与综合应用，培养学生的数学思维和抽象能力。例如通过单位正交基底定义辨析、坐标运算公式推导，让学生用数学眼光发现空间形式与数量关系，用数学语言规范表达，既帮助学生夯实基础，也为教师提供系统教学资源。

第1课时 第一章 <<< 空间向量的坐标与运算 1.了解空间中向量的坐标的定义. 2.掌握空间向量运算的坐标表示. 3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角. 学习目标 一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力分别为F1，F2，F3，它们两两垂直，且|F1|＝ 3 000 N，|F2|＝2 000 N，|F3|＝ N，若以F1，F2，F3的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示. 导 语 一、空间中向量的坐标 二、空间向量的运算与坐标的关系 课时对点练 三、空间向量坐标运算的综合应用 随堂演练 内容索引 空间中向量的坐标 一 提示　p＝xe1＋ye2；其中有序数组(x，y)是向量p的坐标.实际上，对于平面中任意不共线的向量{a，b}，若p＝xa＋yb，则有序数组(x，y)是基底{a，b}下的坐标. 平面中{e1，e2}是向量p的单位正交基底，你能用{e1，e2}表示向量p吗？ 问题1 空间中向量的坐标 (1)单位正交基底：一般地，如果空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是 ，而且这三个向量 ，就称这组基底为单位正交基底. (2)单位正交分解：在单位正交基底下向量的分解称为向量的__________ _____. (3)向量p的坐标：在单位正交基底下向量p＝xe1＋ye2＋ze3，则称有序实数组(x，y，z)为向量p的坐标，记作p＝ ，其中x，y，z都称为p的 . 单位向量 两两垂直 单位正交 分解 (x，y，z) 坐标分量 知识梳理 注 意 点 <<< (1)零向量的坐标为(0,0,0). (2)书写向量坐标等号莫漏掉. (3)书写点的坐标等号不能要. 8 　已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，a＝3e1＋2e2－e3，b＝－e1＋3e3，试写出a与b的坐标. 例 1 a＝(3,2，－1)；b＝(－1,0,3). 9 在空间向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是单位向量，且这三个向量两两垂直，若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z). 反 思 感 悟 10 　已知{e1，e2，e3}是单位正交基底，下列说法正确的是 A.若p＝2e1－e2＋3e3，则p＝(2,1,3) B.若q＝－e1＋2e2，则q＝(－1,2) C.若r＝e1＋3e2－e3，则r＝(1,3，－1) D.若s＝－3e2，则s＝(0,0，－3) 跟踪训练 1 √ A中，p＝(2，－1,3)； B中，q＝(－1,2,0)； C中，r＝(1,3，－1)； D中，s＝(0，－3,0). 11 二 空间向量的运算与坐标的关系 在平面中，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，你还记得这两个向量的加法、减法、数乘等一系列的运算吗？ 问题2 提示　a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2)；λa＝(λx1，λy1)；a·b＝x1x2＋y1y2；|a|＝ 等. 13 空间向量的坐标运算 若空间中两个向量a，b满足a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则： 向量运算 向量表示 坐标表示 相等 a＝b _____________________ 加法 a＋b ______________________ 线性运算 μa＋vb ____________________________ x1＝x2，y1＝y2，z1＝z2 (x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) (μx1＋vx2，μy1＋vy2，μz1＋vz2) 知识梳理 14 向量运算 向量表示 坐标表示 数量积 a·b _______________ 模 ____________ 夹角 _______________________ x1x2＋y1y2＋z1z2 15 例 2 (1)向量a＝(2,0,5)，b＝(3,1，－2)，c＝(－1,4,0)，则a＋6b－8c＝_________________. (28，－26，－7) a＋6b－8c ＝(2,0,5)＋6(3,1，－2)－8(－1,4,0) ＝(2,0,5)＋(18,6，－12)－(－8,32,0) ＝(28，－26，－7). 16 (2)已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b·(a＋b)等于 A.36 B.26 C.46 D.30 依题意，得b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)，则a＋b＝(3，－6,3)， 所以b·(a＋b)＝(2，－4,2)·(3，－6，3)＝6＋24＋6＝36. √ 17 反 思 感 悟 空间向量坐标运算问题，一是直接计算，首先将空间向量用坐标表示，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算；二是通过解方程组求其坐标. 跟踪训练 2 已知a＋b＝(－2,5,4)，a－b＝(4，－1，2)，则a＝_______， b＝_________. (1,2,3) (－3,3,1) 19 空间向量坐标运算的综合应用 三 　已知向量a＝(2，－3,1)，b＝(2,0,3)，c＝(0,2,2). 求：(1)|a＋b－2c|； 例 3 a＋b－2c＝(2，－3,1)＋(2,0,3)－2(0,2,2) ＝(2，－3,1)＋(2,0,3)－(0,4,4)＝(4，－7,0). 21 (2)cos〈a－b，b－c〉. a－b＝(0，－3，－2)，b－c＝(2，－2,1)， (a－b)·(b－c)＝0＋(－3)×(－2)＋(－2)×1＝4. 22 反 思 感 悟 空间向量的数量积、模、夹角公式的坐标表示a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2). (1)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2. 　(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且满足条件 (c－a)·(2b)＝－2，则x＝_____. 跟踪训练 3 由题意，得c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)， 由(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，解得x＝2.l 2 24 (2)已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，则k＝________. 25 1.知识清单： (1)空间中向量的坐标. (2)空间向量的坐标运算. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区： (1)正确运用坐标表示空间的向量以及向量的运算. (2)向量坐标与点的坐标书写时的规范性. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，则4a＋2b等于 A.(16,0,4) B.(8，－16,4) C.(8,16,4) D.(8,0,4) √ 4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0) ＝(12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4). 1 2 3 4 √ 2.已知向量a＝(0,2,1)，b＝(－1,1，－2)，则a与b的夹角为 3.已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝ ，且λ>0，则λ等于 A.5 B.4 C.3 D.2 1 2 3 4 √ 30 1 2 3 4 ＝2＋sin 2α≤3， 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知{i，j，k}是单位正交基底，且 ＝－i＋j－k，则 的坐标为 A.(－1,1，－1) B.(－1,1,1) C.(1，－1，－1) D.(1，－1,1) √ 根据空间向量坐标的定义， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.已知向量a＝(2,3,1)，b＝(1,2,0)，则|a＋b|等于 由题意可得，a＋b＝(3,5,1)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，则实数x的值是 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 因为a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)， 所以a·b＝－3＋2x－5＝2，解得x＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 4.已知a＝(x,3,1)，b＝(2，y,4)，若a＝zb且c＝(x，y，z)，则c等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得(x,3,1)＝z(2，y,4)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c的坐标为 A.(5，－1,4) B.(5,1，－4) C.(－5,1,4) D.(－5，－1,4) √ 向量a＝(3,5，－1)，b＝(2,2,3)，c＝(1，－1,2)，则向量a－b＋4c＝(3,5，－1)－(2,2,3)＋4(1，－1,2)＝(5，－1,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三个向量能构成空间的一组基底，则实数λ的值可为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)， 假设a，b，c三个向量不能构成空间的一组基底， 则a，b，c三个向量共面， 又a与b不平行， ∴存在实数x，y，使得c＝xa＋yb， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知空间向量a＝(1,0,1)，b＝(1,1，n)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角 为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于a，b不共线，且和c共面，根据共面向量定理，有c＝ma＋nb，即(x，－1,2)＝(m－n，m,2n)， －2 8.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，c＝(x，－1,2)，若a，b，c是共面向量，则x＝______. 9.已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组单位正交基底，试求a·b及a，b之间夹角的余弦值. 由题意知a＝(4,3，－1)，b＝(5，－4,2)， 所以a·b＝(4,3，－1)·(5，－4,2)＝4×5＋3×(－4)＋(－1)×2＝6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)，求： (1)a＋b； a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)＝(2，－2,2). (2)a－b； a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)＝(2,0，－6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)a·b； a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7. (4)2a·(－b)； 因为2a＝(4，－2，－4)，所以2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (5)(a＋b)·(a－b). (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 ＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8. 11.已知向量a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为 √ 由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t,1－t，t)＝(1＋t,2t－1,0). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知向量a＝(1,0，－1)，b＝(0,1,1)，则a在b上的投影为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝ ，若(a＋b)·c＝7， 则a与c的夹角为_______. 120° a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a， 故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7， 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知向量a，b，c是空间的一组单位正交基底，向量a＋b，a－b，c是空间的另一组基底，若向量p在基底{a，b，c}下的坐标是(1,3,4)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为 A.(2,1,4) B.(2，－1,4) C.(－2，－1,4) D.(－2,1,4) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设a＝(1,0,0)，b＝(0,1,0)，c＝(0,0,1). p＝a＋3b＋4c. 设p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc ＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc. 所以向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(2，－1,4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，求x的取值范围. ∵〈a，b〉为钝角， ∴cos〈a，b〉<0且〈a，b〉≠π. 若cos〈a，b〉<0，则a·b<0， 即3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0， 解得x>－2. 若〈a，b〉＝π，则a与b反向，则a＝λb(λ<0)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵〈a，b〉≠π， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 000 |a|＝ cos〈a，b〉＝ a＝ ＝ ＝(2,4,6)＝(1,2,3). b＝＝ ＝(－6,6,2)＝(－3,3,1). ∴|a＋b－2c|＝＝. ∴|a－b|＝，|b－c|＝＝3， ∴cos〈a－b，b－c〉＝＝＝. (2)|a|＝＝. (3)cos〈a，b〉＝＝. － ∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝， ∴cos〈a，b〉＝＝－， ∴k<0，且＝， 解得k2＝39，∴k＝－(正值舍去).  A.0 B. C. D.π ∵cos〈a，b〉＝＝＝0， 〈a，b〉∈[0，π].∴〈a，b〉＝. λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝＝，且λ>0，解得λ＝3. ∵＝＋＝(cos α＋sin α，cos α，－sin α)， ∴||2＝(cos α＋sin α)2＋cos2α＋(－sin α)2 ∴||的最大值为. 4.设＝(cos α＋sin α，0，－sin α)，＝(0，cos α，0)，则||的最大值 为______. 知＝(－1,1，－1). A. B.3 C. D.9 故|a＋b|＝＝. A. B. C.  D. 即解得x＝，y＝12，z＝， 所以c＝. A.0 B. C.9 D. 即解得λ＝， ∴当λ＝时，a，b，c三向量共面，当λ≠时，a，b，c三向量不共面.即能作为一组基底. ∵a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，又|a|＝＝，b＝(1,1,2)， ∴cos〈a，b〉＝＝＝，且〈a，b〉∈[0，π]， ∴a与b的夹角为. 即解得 因为|a|＝＝， |b|＝＝＝3， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 所以a·b＝6，a与b夹角的余弦值为. A. B. C.4 D.8 ∵|a|＝＝3， |b|＝＝3， ∴cos〈a，b〉＝＝＝， ∴sin〈a，b〉＝， ∴以a，b为邻边的平行四边形的面积为S＝|a|·|b|·sin〈a，b〉＝. A. B. C. D.1 所以|b－a|＝ ＝＝. 所以当t＝时，|b－a|的最小值为. A. B. C.(0，－1，－1)  D. 根据题意a在b上的投影为·＝×＝. 而|a|＝＝， 所以cos〈a，c〉＝＝－，且〈a，c〉∈[0,180°]，所以〈a，c〉＝120°. 所以解得 ∴解得 ∴x≠， 即x>－2且x≠， 故x的取值范围是∪. $