第一章 1.1.1 第2课时 空间向量的数量积（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量的夹角、数量积的概念、性质及应用，课堂导入通过类比平面向量线性运算的推广，以“类比”为关键词衔接前后知识，构建平面到空间的学习支架。 其亮点在于注重数学思维培养，通过正方体、正四面体等模型例题及数量积符号与夹角关系的辨析，提升逻辑推理能力，结合几何直观发展空间观念。学生能深化概念理解与应用，教师可借助分层例题和系统练习提高教学效率。

第2课时 第一章 <<< 空间向量的数量积 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法. 2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律. 3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直. 学习目标 同学们，上节课我们体会了用类比的思想把平面中向量的加法、减法以及数乘运算推广到了空间中的线性运算，我们知道以上三种运算的结果仍是一个向量，其性质没有变化，而我们平面中还有两个向量的数量积的运算，显然本节课的关键词仍是“类比”. 导 语 一、空间向量的夹角及数量积的概念 二、空间向量的数量积的性质 课时对点练 三、空间向量数量积的简单应用 随堂演练 内容索引 空间向量的夹角及数量积的概念 一 提示　可以，可以. 空间中任意两个向量可以平移到同一起点吗？此时两个向量所形成的角可以找到吗？ 问题 1.两个空间向量的夹角 (1)定义：给定两个非零向量a，b，任意在空间内选定一点O，作 ＝a， ＝b，则大小在[0，π]内的 称为a与b的夹角，记作〈a，b〉. (2)如果〈a，b〉＝ ，则称向量a与向量b ，记作 . (3)约定零向量与任意向量都垂直. ∠AOB 垂直 a⊥b 知识梳理 2.空间向量的数量积 定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉称为a，b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉. 规定：零向量与任何向量的数量积都为0. (1)数量积必须是点乘，其结果是一个实数. (2)当两个向量的夹角θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，夹角θ不一定为锐角，因为θ可能为0. (3)当两个向量的夹角θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，夹角θ不一定为钝角，因为θ可能为π. (4)找两个向量夹角时，起点必须相同. 注 意 点 <<< 9 　(1) 对于空间中任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝ 0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件. 例 1 √ 10 90° 120° 11 ∵AB⊥平面BCC1B1，C1B⊂平面BCC1B1， ∴AB⊥C1B， 连接BD，A1D(图略)， ∵△A1BD为等边三角形， 12 找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]. 反 思 感 悟 13 　在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则 与 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150° 跟踪训练 1 √ 14 二 空间向量的数量积的性质 1.数量积的几何意义 (1)向量的投影：一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线， 假设垂足为A，B，则向量 称为a在直线l(或平面α)上的投影.如图所示. (2)数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的 .特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的 数量. 乘积 知识梳理 16 2.空间向量的数量积的性质 向量数量 积的性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝___ 共线 同向：a·b＝______ 反向：a·b＝________ 模 (1)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝ ； (2)|a|＝ ； (3)|a·b|≤|a|·|b| 夹角 若θ为a，b的夹角，则cos θ＝ 运算律 (1)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)； (2)交换律：a·b＝b·a； (3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c 0 |a|·|b| －|a|·|b| |a|2 17 (1)向量a在向量b方向上的投影是一个向量. (2)投影的数量为|a|cos θ(θ为a与b的夹角). (3)向量的数量积不满足结合律，对于三个非零向量a，b，c，等式(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立. 注 意 点 <<< 18 已知在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面 A1B1C1D1的中心.求： 例 2 19 20 取AB的中点E，∴O1E⊥AB， 21 反 思 感 悟 (1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积公式计算. (2)利用数量积的几何意义求解. (3)如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝|a|2及数量积公式进行计算. 　如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： 跟踪训练 2 23 24 25 空间向量数量积的简单应用 三 　如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为 . (1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； 例 3 27 ∵BB1⊥平面ABC， 又△ABC为正三角形， 28 29 反 思 感 悟 利用数量积的公式可求空间向量的夹角、模以及解决与垂直有关的问题.(a，b为非零向量) (1)a⊥b⇔a·b＝0. (3)|a|2＝a2. 　(1)已知a，b是异面直线，且a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为 A.－6 B.6 C.3 D.－3 跟踪训练 3 √ 由a⊥b，得a·b＝0， 所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， 所以2k－12＝0，所以k＝6. 31 ∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉， 又〈a，b〉∈[0，π]， 32 1.知识清单： (1)空间向量的夹角及数量积的概念. (2)空间向量的投影. (3)空间向量的数量积的性质. 2.方法归纳：数形结合. 3.常见误区：求向量夹角时需平移到同一个起点，向量的投影仍是一个向量. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是 √ √ 1 2 3 4 2.(多选)对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中的假命题是 A.若a·b＝0，则a＝0或b＝0 B.若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C.若a2＝b2，则a＝b或a＝－b D.若a·b>0，则〈a，b〉是锐角 √ √ √ 对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0； 对于C，a2＝b2，只能推出|a|＝|b|，而不能推出a＝±b； 对于D，当a，b同向时，a·b>0，而〈a，b〉不是锐角. 3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则 ＝______. 1 2 3 4 如图， －a2 1 2 3 4 4.已知空间向量a，b，|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝______. ∵|a＋b|＝24，∴(a＋b)2＝576， 则a2＋2a·b＋b2＝576， ∴2a·b＝576－132－192＝46. 又|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2 ＝132＋192－46＝484，∴|a－b|＝22. 22 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.下列命题中正确的是 A.(a·b)2＝a2·b2 B.|a·b|≤|a||b| C.(a·b)·c＝a·(b·c) D.若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2， ∴左边≤右边，故A错误； 对于B项，∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，－1≤cosa，b≤1， ∴|a·b|≤|a||b|，故B正确； 对于C项，数量积不满足结合律，故C错误； 对于D项，∵a·(b－c)＝0， ∴a·b－a·c＝0， ∴a·b＝a·c，但a·b与a·c不一定等于零，故D错误. 2.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2a－b)·a＝2a2－b·a ＝2|a|2－|a||b|·cos 120° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知空间向量a，b，|b|＝4，|a|＝2，〈a，b〉＝ ，则b在a上的投影的数量为 A.1 B.－1 C.2 D.－2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，体对角线AC1与BD1相交于点O，则有 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 6.(多选)已知在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，且AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，则 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0， 所以a2＋λb2＋(1＋λ)a·b＝0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________. －13 ∵a＋b＋c＝0， ∴(a＋b＋c)2＝0， ∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0， 9.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0， (a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)AM的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝ ，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －4 ∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0， ∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0， 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1,2，…，8)是上底面上其余的八个点，则 (i＝1,2，…，8)的不同值的个数为 A.8 B.4 C.2 D.1 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝3，AD＝1，且∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝ . (1)求B1D的长； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的夹角〈，〉＝______；向量与的夹角〈，〉＝________. ∴∠A1BD＝60°，∴〈，〉＝120°. 故〈，〉＝90°， ∵∥， ∴〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1BD， 所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 由题意，可得＝， ∴·＝||||cos〈，〉 ＝a×a×cos 60°＝a2. (1)·； 〈，〉＝〈，〉＝60°， 又||＝||＝a， ∵||＝a， ∴·＝||·||＝a×a＝a2. (2)·； 如图所示，||＝a， 在上的投影为， ∴·＝||·||＝a×a＝a2. (3)·. ∴在上的投影为， 又||＝a，|A|＝a，  ＝||||·cos〈，〉＝cos 60°＝. (1)·； ·＝· (3)·；  ·＝· ＝||·||cos〈，〉 ＝cos 120°＝－. (2)·；  ·＝·＝||2＝. ＝·－· ＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos 60°－cos 60°＝0. (4)·.  ·＝·(－) ∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝. ∵·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋＋· ＝||||cos，＋＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1. ＝＋，＝＋. ∴·＝0，·＝0. ∴cos，＝＝， ∴||＝2，即侧棱长为2. (2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长. 由(1)知·＝||||cos，＋＝－1. 又||＝＝＝||， (2)cos〈a，b〉＝. ∴〈a，b〉＝. (2)已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2，|b|＝，a·b＝－， 则〈a，b〉＝______. ∴cos〈a，b〉＝＝－， A.与 B.与 C.与 D.与 ＝||·||cos〈，〉 ＝a·a×cos 120°＝－a2.  · · ＝2×4－2×5×＝13. A.12 B.8＋ C.4  D.13 b在a上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝4×cos ＝－2. 4.已知正四面体ABCD的棱长为1，且＝2，＝2，则· 等于 A. B. C.－ D.－ 由正四面体ABCD的棱长为1，且＝2，＝2，得＝，则·＝·＝×1×1×cos 120°＝－. A.·＝2a2 B.·＝a2 C.·＝a2 D.·＝a2 ·＝·(＋)＝2＝a2； ·＝·(＋＋)＝2＝a2； ·＝·＝·(＋＋)＝2＝a2； ·＝·(＋)＝－2＝－a2. A.||＝ B.||＝3 C.·＝－9 D.异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为 设＝a，＝b，＝c， 则a·b＝0，a·c＝3，b·c＝4， ＝b＋c，＝－a＋b－c， 则·＝－a·b＋b2－b·c－a·c＋b·c－c2＝9， ||＝＝2， ||＝＝3， 所以cos〈，〉＝＝. 即18＋25λ＋(1＋λ)×3×5×cos 135°＝0， 7.已知空间向量a，b，|a|＝3，|b|＝5，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝ 135°，若m⊥n，则λ的值为________. － 所以λ＝－. ∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13. 所以a·b＝|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|， 所以cos〈a，b〉＝＝＝， 所以〈a，b〉＝60°. 10.如图，在三棱柱OAB－CA1B1中，＝a，＝b，＝c，三向量夹角均为，M，N分别在CA1，BA1上，且＝，＝，||＝2，||＝2，||＝4，求 因为＝＋＋ ＝－＋＋ ＝－a＋c. 又因为a·c＝4， 所以||＝＝， 即AM的长为. (2)与夹角的余弦值. ＝(＋)＝(＋＋) ＝(a＋b＋c). 因为a·b＝2，b·c＝c·a＝4， 所以·＝·(a＋b＋c)＝， 又||＝＝， 所以cos〈，〉＝＝， 即与夹角的余弦值为. A.2· 　　 B.2· C.2· 　　 D.2· 2·＝－a2，故A错误； 2·＝－a2，故B错误； 2·＝－a2，故D错误，只有C正确. 12.在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则〈，〉等于 A.60° B.45° C.120° D.90° ∵·＝·(－) ＝·－· ＝||·||cos －||·||cos ＝0， ∴〈，〉＝90°. 13.已知空间中有AB⊥BC，CD⊥BC，且AB＝1，BC＝2，CD＝3，〈，〉＝60°，则A，D两点间的距离为 A. B. C. D.2 ＝＋＋， 所以||＝ ＝ ＝＝. 由已知得t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4. · ·＝·(＋) ＝2＋·， ∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥， ∴·＝0， ∴·＝||2＝1， 则·(i＝1,2，…，8)的不同值的个数为1. 由题可知，＝＋＋＝－－， 则||＝ ＝ ＝ ＝， 因此，B1D的长为. (2)求与夹角的余弦值. 由题知，＝＝－， 则||＝＝ ＝＝， 所以·＝(－)·(－－) ＝·－·－－·＋＋· ＝·－2－·＋ ＝1×3×－32－1×2×＋22＝－， 所以cos〈，〉＝ ＝＝－. $