精品解析：江苏省常州高级中学2025-2026学年高二上学期10月阶段考试数学试题

江苏省常州高级中学 2025~2026学年第一学期高二年级10月阶段考试 数学试卷 命题人：张子睿、杨丽蕾 审卷人：曹浩东 2025.10 说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷上. 2.本卷总分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据和进行分类讨论，结合余弦函数的值域计算出的范围，则倾斜角的取值范围可知. 【详解】当时，此时直线方程，垂直于轴，所以倾斜角； 当时，此时直线的斜率， 因为，所以， 结合正切函数的图象可知， 综上所述，倾斜角的取值范围是， 故选：C. 3. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知点与圆心的距离大于圆的半径，由此可以列出与有关的不等式，从而解不等式即可求解. 【详解】一方面：将圆：化为标准方程可得， 首先有圆心，其次圆的半径满足，解得， 另一方面：又因为点在圆：的外部， 所以，即，解得； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 4. 已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据得到，代入圆中，得到轨迹方程. 【详解】设，因为，所以， 又在圆：上， 故，即的方程为． 故选：C 5. 已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，求出与圆相切时且时的取值即可得答案. 【详解】由题意可知圆心在直线上， 设， 又因为圆与轴相切， 所以， 因为当与圆相切时，取最大值， 所以当， 则， 此时， 所以， 整理得， 解得或， 因为圆上存在两点使得， 所以，即圆圆心的横坐标的取值范围为. 故选：D. 6. 过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ） A. B. ． C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案. 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 7. 已知为曲线上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件可得曲线是以为圆心，半径为的半圆，又表示点与连线的斜率，再数形结合，即可求解. 【详解】由，得到，由，得到， 又易知，所以曲线是以为圆心，半径为的半圆，其图象如图所示， 因为表示点与连线的斜率， 令，得到， 由图知，当与半圆相切时，有，整理得到， 解得或（舍），此时最小， 当过点时，最大，此时 综上，的取值范围是， 故选：C. 8. 若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题可知圆与圆相交，故，所以点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）.分析可得代表点到直线的距离的5倍.根据圆内点到直线距离最值的求法即可求解. 【详解】由题可知圆，半径，圆，半径. ∵圆与圆有且仅有2条公切线，∴圆与圆相交，∴， ∴点在以原点为圆心，半径分别为2和4的圆所夹的圆环内部（不含边界）. 又，∴代表点到直线的距离的5倍. ∵圆心到直线的距离为1， ∴圆环内的点到直线的距离， ∴的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，举出反例；B选项，求出恒过，求出直线，的斜率，数形结合得到或，求出实数的取值范围；C选项，当三条直线交于一点时，，C错误；D选项，当直线的斜率不存在时，不满足要求，当斜率存在时，设直线方程为，从而得到平移后的解析式，从而得到方程，求出. 【详解】A选项，当直线经过原点时，且经过，此时直线方程为，也符合题意，故 A错误， B选项，直线，恒过定点， 直线，的斜率分别为，， 又直线的斜率为，所以或， 解得或，故实数的取值范围为，B正确；  对于C，当直线，平行时，解得， 当直线，平行时，解得， 显然直线，交于点， 当点在直线时，， 实数的取值集合为，故 C错误； 对于D，当直线的斜率不存在时，不满足要求， 当斜率存在时，设直线方程为， 沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后， 得到，即，故，解得， 则该直线的斜率为，故D正确． 故选：BD． 10. 在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C，则（ ） A. C的方程为 B. 若直线与C有公共点，则k的取值范围是 C. 当O，A，P三点不共线时，若，则射线PD平分 D. 过C外一点作C的切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据条件列出方程化简可判断A，利用圆心到直线的距离列出不等式求解判断B， 根据角平分线定理计算即可判断C，利用切线的切点在圆上，求出圆的方程，根据切点为两圆的交点，两圆方程作差求出切点所在直线方程即可判断D. 【详解】设， 由，得，即， 故A正确； 圆心为，半径为，直线与C有公共点，则圆心到直线的距离， 解得或，故B错误； 如图， 当O，A，P三点不共线时，， 则，，，则， 所以，所以射线PD平分，故C正确； 如图， 设，因为，，所以M，N在以CE为直径的圆上． CE中点为，所以CD为直径的圆方程为， 即， 与C方程相减得直线MN的方程为， 令，，解得，， 则直线MN过定点，故D正确． 故选：ACD 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为.设点，，，点是圆上的任意一点，过点作于，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 点的轨迹方程为 C. 的最小值为 D. 圆上存在唯一点，使得取到最小值 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，根据直线与圆的位置关系可得；对于B，易得，即可得到点M的轨迹方程；对于C，设，则，在中，根据余弦定理得，再由即可得到；对于D，设，得到点，利用几何意义可判断； 【详解】对于A，因为圆心到直线的距离， 又圆上恰有3个点到直线的距离为， 所以，即，故A正确 ； 对于B，由题知，所以在以为直径的圆上（与B不重合）， 所以点M的轨迹方程为，故B正确； 对于C，设，则， 在中，， 即， 又 ， 当，即时取等，故C正确； 对于D，设在轴上一点，使， 所以，整理得， 又点在圆上， 所以，解得， 则，当三点共线时取等， 又，原点到直线的距离， 所以，如图符合题意的点有两个，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】解方程组求得交点坐标，再结合已知建立不等式并求解. 【详解】由，解得，即直线与直线交于点， 依题意，，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 13. 已知圆，若从点发出的光线经过直线：，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是______. 【答案】 【解析】 【分析】设关于直线的对称点为，列出方程组，求得，根据反射后恰好平分圆C的圆周，得到反射光线经过两点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】如图所示，由圆，可得圆心为， 设关于直线的对称点为， 则满足，解得，即， 因为反射后恰好平分圆C的圆周，所以反射光线经过两点， 又由，所以反射光线的方程为，即. 故答案为：. 14. 1765年，数学家欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线称为欧拉线. 中，已知，，且的欧拉线方程为，则点的横坐标为_________. 【答案】5或 【解析】 【分析】先求得AB的垂直平分线方程，与欧拉线联立，可得的外心坐标，进而可得外接圆半径，即可求得外接圆方程，设，可得重心坐标，代入欧拉线方程，可得，与外接圆方程联立，即可求得答案. 【详解】因为，， 所以AB的中点，AB所在直线的斜率， 则AB的垂直平分线的斜率， 所以AB的垂直平分线的方程为，整理得， 因为欧拉线方程为， 联立，解得，即外心为， 则外心到点A的距离即为外接圆半径， 所以外接圆方程为， 设，则的重心坐标为， 因为重心在欧拉线上， 所以，整理得， 联立，得， 整理可得， 所以，即或， 所以点的横坐标为5或. 故答案为：5或. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上. （1）求点的坐标； （2）求矩形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为矩形，得，故，点在边所在直线上，点斜式写出边所在直线的方程，最后由直线、的方程联立，求出点的坐标； （2）由点到的距离求出，即可求出矩形的面积. 【小问1详解】 为矩形，. 边所在的直线方程为：，， 所在直线的斜率为， 在边所在直线上， 边所在直线的方程为， 即. 联立，所以， 得； 【小问2详解】 矩形的两条对角线相交于点， 因为点到的距离为，得； 因为点到的距离为，得； 矩形的面积为. 16. 已知圆与圆关于直线对称，且点在圆上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于另一点，若的面积为12，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】（1）根据圆的标准方程和点关于直线对称点的求法，求出圆的圆心，进而根据圆经过的点，求出圆的方程； （2）对直线斜率分情况讨论，进而根据半径、弦心距和勾股定理，求出弦长，再根据三角形面积列出方程，求出直线斜率，写出直线解析式. 【小问1详解】 由圆方程为，得圆心为， 设圆的圆心，则两圆心的中点坐标为， 因为两圆心关于直线对称，则，解得； 圆的方程为， 由点在圆上可得，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为，可得交圆上两点为， 此时，弦心距为，则，符合题意； 当斜率存在时，直线方程设为，即； 此时弦心距为，半径为5，则， 可得， 等式两边同时平方得， 令，则，解得或， 当时，，解得， 此时直线方程为，即； 当时，，解得或， 此时直线解析式为或，即或； 综上所述，直线解析为：或或或. 17. 已知圆，，为坐标原点. （1）若，求圆与圆的公共弦长； （2）若圆上存在点，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两圆的公共弦的方程，利用圆的弦长公式求得答案； （2）设，由可求得M的轨迹方程，结合M在圆C上，可判断两圆有公共点，列出不等式即可求得答案. 【小问1详解】 当时，圆即为圆， 的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 则，即两圆相交， 将与相减得， 即两圆公共弦的方程为， 到直线的距离为， 故圆与圆的公共弦长为； 【小问2详解】 设，由，得， 即得， 即M的轨迹为以为圆心，2为半径的圆； 又因为M在圆上，即圆D和圆C有公共点， 故，即，即， 解得， 即a的取值范围为. 18. 已知圆的圆心在轴的非负半轴上，且经过，，，中的三个点. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆交于点，点，分别在直线和圆上，若，求点的横坐标的取值范围； （3）求圆与圆的公切线的方程. 【答案】（1） （2） （3），，. 【解析】 【分析】（1）判断点在圆上，然后分别考虑在圆上，分别求解，即得答案； （2）由题意结合圆的切线性质，以及圆的对称性，即可求解； （3）判断两圆外切，可得公切线有3条，然后逐一求出方程，即得答案. 【小问1详解】 由于，关于x轴对称，圆的圆心在轴的非负半轴上， 故圆M必过两点， 设，则圆的方程为， 假设圆M还过点，则， 将代入圆的方程得， 解，得， 故此时圆的方程为， 将的坐标代入得，即所求圆不过D，符合题意； 假设圆M还过点，则， 将代入圆的方程得， 解，得，不合题意； 综上所述可知圆的方程为； 【小问2详解】 联立和，解得， 则或， 不妨先取，如图，设，且此时和圆相切， 设， 则，故，解得， 结合圆的对称性可知，要满足题意，使得， 只需将沿方向向下平移，使得Q到达位置，此时也与圆相切， 则可得Q点横坐标的取值范围为； 【小问3详解】 圆:的圆心为半径, 圆的圆心为，半径, 则，故两圆外切, 则两圆有3条公切线；显然是两圆的一条公切线； 又过两圆公共点处的切线与两圆的连心线垂直，而， 故该条公切线的斜率为，设其方程为， 则，解得，故此条公切线方程为； 设第三条公切线方程为， 则，则，则或， 将代入，即， 解得，（舍），则， 此时切线方程为，即； 将代入，即， 解得，不合题意； 综上，可知切线方程为： ，，. 19. 平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记动点的轨迹为曲线.过点作两条直线，分别与曲线交于点，和，四点（其中点、在上方）. （1）求曲线的方程； （2）若，求四边形面积的取值范围； （3）设交轴于点，交轴于点，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 设直线，其中均不为0， 联立直线与可得, 设则， 同理设则， 则直线， 令，则,故， 同理可得, 则 ， 因此，故， 因此，得证. 【解析】 【分析】（1）根据向量的坐标运算即可代入化简求解， （2）根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式，即可根据垂直求解面积的表达式，进而利用基本不等式求解范围，即可得解， （3）联立直线与圆的方程，得韦达定理，进而根据点斜式求解直线的方程，令,可得，同理可得,进而代入韦达定理计算得证. 【小问1详解】 设，则 故，化简可得， 故曲线方程为 【小问2详解】 由题意可知直线均有斜率，且不为0，由于， 设直线， 曲线为圆心为，半径的圆， 则到的距离为，同理可得到的距离为， 故， 故当时，，当且仅当时取到等号，当时，，当且仅当时取到等号， 因此，当且仅当时取到等号， 故，即，因此， 故， 故， 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学 2025~2026学年第一学期高二年级10月阶段考试 数学试卷 命题人：张子睿、杨丽蕾 审卷人：曹浩东 2025.10 说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷上. 2.本卷总分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 2. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为圆：上的动点，点满足，记的轨迹为，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知定点，圆与轴相切，直线是圆的一条对称轴．若圆上存在两点使得，则圆圆心的横坐标的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（ ） A. B. ． C. D. 7. 已知为曲线上任意一点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若圆：与圆：有且仅有2条公切线，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列四个命题中正确的有（ ） A. 过点，且在轴和轴上的截距的绝对值相等的直线方程为， B. 若直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为 C. 若三条直线不能构成三角形，则实数所有可能的取值组成的集合为 D. 若直线沿轴向左平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为 10. 在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C，则（ ） A. C的方程为 B. 若直线与C有公共点，则k的取值范围是 C. 当O，A，P三点不共线时，若，则射线PD平分 D. 过C外一点作C的切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点 11. 如图，在平面直角坐标系中，已知圆上恰有3个点到直线的距离为.设点，，，点是圆上的任意一点，过点作于，则下列说法中正确的有（ ） A. B. 点的轨迹方程为 C. 的最小值为 D. 圆上存在唯一点，使得取到最小值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是______． 13. 已知圆，若从点发出的光线经过直线：，反射后恰好平分圆C的圆周，反射光线所在直线的方程是______. 14. 1765年，数学家欧拉在他的著作《三角形的几何学》中首次提出：三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线称为欧拉线. 中，已知，，且的欧拉线方程为，则点的横坐标为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上. （1）求点的坐标； （2）求矩形的面积. 16. 已知圆与圆关于直线对称，且点在圆上. （1）求圆的方程； （2）过点的直线交圆于另一点，若的面积为12，求直线的方程. 17. 已知圆，，为坐标原点. （1）若，求圆与圆的公共弦长； （2）若圆上存在点，使得，求的取值范围. 18. 已知圆的圆心在轴的非负半轴上，且经过，，，中的三个点. （1）求圆的方程； （2）设直线与圆交于点，点，分别在直线和圆上，若，求点的横坐标的取值范围； （3）求圆与圆的公切线的方程. 19. 平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记动点的轨迹为曲线.过点作两条直线，分别与曲线交于点，和，四点（其中点、在上方）. （1）求曲线的方程； （2）若，求四边形面积的取值范围； （3）设交轴于点，交轴于点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $