专题05 因式分解 阶段复习（高效培优期中专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题05 因式分解 阶段复习 考点01 辨析因式分解 考点02 因式；公因式 考点03 因式分解 考点04 根据因式分解求参数 考点05 分类讨论 考点06 求值问题 考点07 几何应用；新定义题 考点08 解答题 考点01 辨析因式分解 1．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列整式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．下列整式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 考点02 因式；公因式 6．整式的公因式是 ． 7．整式与整式的公因式是（   ） A． B． C． D． 8．把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 9．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 10．用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 11．小明把整式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 考点03 因式分解 12．因式分解： ． 13．若，则 ． 14．分解因式： ． 15．因式分解： 16．分解因式： ． 17．因式分解： ． 18．因式分解： 19．因式分解： ． 20．因式分解： 21．因式分解： ． 22．因式分解： . 23．因式分解： 考点04 根据因式分解求参数 24．把整式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 25．已知整式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 26．在对整式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 27．因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 28．有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 考点05 分类讨论 29．整式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 30．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个 考点06 求值问题 31．已知：，则 ； 32．已知，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．3 D．2 33．已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 34．已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．50 D．32 35．无论、为任何实数，代数式的值总是（   ） A．非正数 B．非负数 C．0 D．正数 考点07 几何应用；新定义题 36．如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 37．如图，“L形图形的面积为7，如果，那么 ． 38．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．39 C．61 D．68 39．如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 40．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 考点08 解答题 41．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 42．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 43．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 44．因式分解：． 45．因式分解： 46．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 47．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 48．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的整式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 49．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 50．如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解 阶段复习 考点01 辨析因式分解 考点02 因式；公因式 考点03 因式分解 考点04 根据因式分解求参数 考点05 分类讨论 考点06 求值问题 考点07 几何应用；新定义题 考点08 解答题 考点01 辨析因式分解 1．下列分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查因式分解的方法，熟练掌握提取公因式法和公式法（如平方差公式、完全平方公式）是解题的关键． 利用提公因式法与公式法进行分解，逐一判断即可解答． 【详解】A．，故A错误； B．，故B正确； C．，故C错误； D．，故D错误， 故选：B． 2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是指将一个整式转化为几个整式（单项式或整式）的乘积形式的变形过程．根据因式分解的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是单项式，故不是因式分解，不符合题意； B、中不是整式，故不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、，等式右边不是整式的乘积，故不是因式分解，不符合题意． 故选：C ． 3．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断． 【详解】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意； D、是y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式，符合题意； 故选：D． 4．下列整式能用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 5．下列整式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个整式逐一分析即可． 【详解】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 考点02 因式；公因式 6．整式的公因式是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求公因式，公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂的乘积，据此求解即可． 【详解】解：整式的公因式是， 故答案为：． 7．整式与整式的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查公因式的确定，利用公式法分解因式是解本题的关键．利用平方差公式和完全平方公式分解因式，然后再确定公因式，即可解题． 【详解】解：，， 整式 与整式的公因式是． 故选 A． 8．把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故选：D． 9．把提公因式后一个因式是，则另一个因式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，先提取公因式把原式分解因式，从而可以得到另一个因式，掌握“利用提公因式的方法分解因式”是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 10．用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是， ∴， 则， ， 故选：B 11．小明把整式分解因式，有一个因式是，则的值为（　　） A． B．40 C． D．15 【答案】D 【分析】此题考查了整式的因式分解，设，将右边等式去括号展开后，再根据等式两边对应未知数的系数相等，即可求出的值及的值． 【详解】解：设， ∴ ∴ ∴， 故选：D 考点03 因式分解 12．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握如何找出整式各项的公因式是解题的关键．本题可先找出整式各项的公因式，再利用提取公因式的方法进行因式分解．确定公因式时，需从系数、字母以及字母的指数这几个方面来综合考虑． 【详解】解： 故答案为：． 13．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解——运用公式法．先对等式的左边进行因式分解，进而得出答案． 【详解】解：∵， 又， ∴． 故答案为：． 14．分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 直接根据平方差公式进行分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 15．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的几种常用方法．利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 16．分解因式： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 17．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，前三项先利用完全平方公式进行分解，再利用平方差公式即可完成分解． 【详解】解：， 故答案为：． 18．因式分解： 【答案】 【分析】先找出整式各项的公因式，提取公因式后，再观察剩余整式能否继续分解即可．本题主要考查了提公因式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的基本方法以及准确找出公因式是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 19．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可，熟练掌握公式法因式分解是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 20．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查利用完全平方公式分解因式，熟悉完全平方公式和因式分解的概念，是解题的关键．根据完全平方公式分解因式，即可． 【详解】解： 故答案为：． 21．因式分解： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了公式法分解因式，直接利用平方差公式分解因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：． 22．因式分解： . 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用分组法进行因式分解成为解题的关键. 将分成，然后各组分别因式分解，最后提取公因式即可. 【详解】解： 故答案为： 23．因式分解： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 考点04 根据因式分解求参数 24．把整式分解因式，结果是，则a，b的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，解二元一次方程组，因式分解的定义等知识点，根据整式乘法将因式展开，然后组成方程组，解方程组即可得解， 熟练掌握整式乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 25．已知整式分解因式为，则、的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用了因式分解的意义． 根据因式分解是把一个整式转化成几个整式积，可得答案． 【详解】解：由整式分解因式为，得 ． ，， 故选：D． 26．在对整式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则 ， ． 【答案】 6 9 【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 分别根据甲乙因式分解的结果确定出与的值，即可作答． 【详解】解：依题意，由甲的结果得：， 由乙的结果得：， 可得，， 故答案为：． 27．因式分解，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲看错了a的值可以知道，甲的分解结果中b的值是正确的，根据乙看错了b的值可以知道，乙的分解结果中a的值是正确的，据此即可得到a、b的值，进而得到答案． 【详解】解：∵甲看错了a的值， ∴， ∴； ∵乙看错了b的值， ∴， ∴， ∴分解因式正确的结果为： ， 故选：C． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是正确理解因式分解的定义． 28．有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（    ） A．16，2 B．16， C．， D．，2 【答案】B 【分析】本题考查用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：． 【详解】解：由，得出， 则，则． 故选：B． 考点05 分类讨论 29．整式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．无数个 【答案】B 【分析】本题考查了用十字相乘法进行因式分解．能够得出、之积为，、之和为是解题的关键．把分解为两个整数的积的形式，等于这两个整数的和． 【详解】解：时，； 时，； 时，； 时，； 的取值有4个． 故选：． 30．若能分解成两个因式的积，则整数a的取值可能有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．无数个 【答案】B 【分析】把18分解为两个整数的积的形式，a等于这两个整数的和． 【详解】解：18=1×18=2×9=3×6=（-1）×（-18）=（-2）×（-9）=（-3）×（-6）， 所以a=1+18=19或2+9=11或3+6=9或（-1）+（-18）=-19或（-2）+（-9）=-11或（-3）+（=6）=-9． ∴整数a的值是±9或±11或±19，共有6个． 故选：B． 【点睛】本题考查了十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解题的关键． 考点06 求值问题 31．已知：，则 ； 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式变形求值，积的乘方逆运算等知识点，熟练掌握各知识点是解题的关键． 先将原式分解为，然后再由完全平方公式变形为，最后再代入求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 32．已知，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解以及代数式求值，将转化为是解题关键．将转化为，然后将代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 33．已知，，则整式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，代数式求值，先利用分组分解法对整式进行因式分解，再把已知条件代入计算即可求值，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：． 34．已知，则的值为（    ） A．8 B．16 C．50 D．32 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出，再把所求式子先提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 35．无论、为任何实数，代数式的值总是（   ） A．非正数 B．非负数 C．0 D．正数 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把原式变形为，再利用完全平方公式分解因式得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 故选；B． 考点07 几何应用；新定义题 36．如图，一个大正方形被分割成四部分的面积分别为、、、，则大正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用完全平方公式因式分解的应用，掌握完全平方公式的结构特征是正确应用的前提．根据四部分的面积和为，即，因此正方形的边长为． 【详解】解：， 大正方形的边长为， 故选：D． 37．如图，“L形图形的面积为7，如果，那么 ． 【答案】7 【分析】本题考查整式的乘法与图形的面积，以及因式分解的应用．将图形分成两个长方形，根据图形的面积列出算式，然后因式分解即可得到答案． 【详解】解：如图， 由题意，得：， 即 ∵， ∴， 故答案为：7． 38．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．39 C．61 D．68 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可． 【详解】解：由图可知：， 正方形边长为a，正方形边长为b， ， ， ， ， ， 将，代入得： ， 故选：B． 39．如图，正方形分割成四个长方形、、、，它们的面积分别为、、、（其中，），请用含有、的代数式表示正方形的边长 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，根据求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：由题意得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 40．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ． 【答案】8100 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数字类的规律探索，利用平方差公式求出，据此得到是从8开始且能被4整除的正整数，再把代入中，计算出对应的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵m、n都是正整数， ∴是大于等于2的正整数， ∴是从8开始且能被4整除的正整数， ∴第2024个智慧优数是， 故答案为：． 考点08 解答题 41．把下列各式分解因式： (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】题目主要考查因式分解，熟练掌握运用因式分解的方法是解题关键． （1）利用提公因式法分解因式即可； （2）利用提公因式法分解因式即可； （3）先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可； （4）利用平方差公式因式分解即可； （5）先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：； （2） ； （3）； （4）； （5） 42．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将看出整体，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要彻底； （2）利用十字相乘法分解因式即可； （3）将看成整体，利用十字相乘法分解因式即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用． 43．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】（1）把6分成-6与-1的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （2）把-15分成-5与3的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （3）把3分成1与的3积，把10分成-2与-5的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （4）把b看作常数，把分成-3b与2b的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （5）把y看作常数，把12分成4与3的积，把分成3y与-5y的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可； （6）把看作一个整体，把-10分成-5与2的积，利用十字相乘法分解因式得出答案即可． 【详解】解：（1） = （2） = （3） = （4） = （5） = （6） = 【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解二次项系数及常数项是解题关键．有时要把某个字母看作常数或把某个整式看作一个整体. 44．因式分解：． 【答案】． 【分析】本题主要考查了整式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式以及因式分解要彻底的要求是解题的关键．先利用二次三项式的因式分解方法，将原式看作关于的二次三项式进行分解，再进一步分解到最简形式，解题思路是先运用一次平方差公式或完全平方公式分解，再看能否继续分解． 【详解】解： ． 45．因式分解： 【答案】． 【分析】本题主要考查了提取公因式法进行因式分解，熟练掌握找出式子的公因式并正确提取是解题的关键．先将式子中的和看作整体，然后通过提取公因式的方法对式子进行因式分解，解题思路是先找出公因式，再利用提取公因式法化简式子． 【详解】解： ． 46．因式分解 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对整式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． （1）此整式有公因式，应先提取公因式，再对余下的整式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解； （2）根据平方差公式计算即可求解； （3）根据十字相乘法分解因式即可求解； （4）分组法和提取公因式法分解因式即可求解． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 47．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ． (2)利用你从（1）中得出的等式，计算： ①已知，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键． （1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得． （2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：， 图2阴影部分的面积为：， ； （2）解：①，， ； ② ． 48．【阅读材料】19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． 【知识应用】（1）利用“热门定理”把分解因式． 【知识迁移】热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的整式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①，② 【分析】本题主要考查了分解因式： （1）把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可； （2）①把式子加上9，再减去9，再仿照题意分解因式即可； ②把式子加上，再减去，再仿照题意分解因式即可． 【详解】解：（1） ． （2）①原式 ． ②原式 ． 49．小王同学在学校开设的数学课后辅导时，听老师在讲完乘法公式( 的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式 的最值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， ∴ 当 时， 值最小，最小值是0． ∴ 当 时， 的值最小，最小值是1． ∴ 当 时， 的最小值是1．请你根据上述方法，解答下列各题： (1)当 时，代数式 有最小值，最小值是 ； (2)若 此时W有 值(填“最大”或“最小”)，即当 时， ； (3)若 则 （用含x的代数式表示） ，请求出 的最值． 【答案】(1)；； (2)大，， (3)，当时，的最小值为； 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的应用，非负数的性质； （1）由，再结合非负数的性质可得答案； （2）由，再结合非负数的性质可得答案； （3）由可得，结合，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：∵，而； ∴当时，有最小值2； （2）解：∵，而； ∴当时有最大值； 故有最大值，当时，最大值为． （3）解：∵， ∴， ∵，而； ∴当时，的最小值为； 50．如图，有A型、B型、C型三种不同的纸板，其中A型：边长为a厘米的正方形；B型：长为a厘米，为1厘米的长方形：C型：边长为1厘米的正方形． (1)A型2块，B型4块，C型4块．此时纸板的总面积为________； (2)从这10块纸板中拿掉1块A型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．这个大正方形的边长为________； (3)从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算说明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用： （1）由于1块型的面积为，1块型的面积为，1块型的面积为所以型2块，型4块，型4块的总面积为； （2）把减去，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长； （3）把减去2，然后根据完全平方公式得到，由此得到正方形的边长与面积，所以从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板满足要求，据此求出正方形边长，进而求出其面积即可． 【详解】（1）解：1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为，1块型纸板的面积为， ∴型2块，型4块，型4块的总面积为； 故答案为： （2）解：从这10块纸板中拿掉1块型纸板，剩下纸板的总面积为， ∵剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形，且 ∴此正方形的边长为； 故答案为：； （3）解：从这10块纸板中拿掉2块类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下： ， 此时正方形的边长为， ∴大正方形面积为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $